Maticové algoritmy II systém lineárnych rovníc riešenie SLR pomocou Gaussovej eliminačnej metódy (GEM) determinanty výpočet determinantu pomocou GEM
|
|
- Calvin Stokes
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Maticové algoritmy II systém lineárnych rovníc riešenie SLR pomocou Gaussovej eliminačnej metódy (GEM) determinanty výpočet determinantu pomocou GEM Priesvitka 1
2 M. C. Escher: Relativity Priesvitka 2
3 Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych a x + a x a x = b n n 1 a x + a x a x = b n n 2... a x + a x a x = b m1 1 m2 2 mn n m Zavedením matíc a11 a a1 n x1 b1 a21 a a 2n x 2 b 2 A=, x =, b = a a... a x b m1 m2 mn n m Priesvitka 3
4 prepíšeme systém do kompaktného maticového tvaru Ax = b kde A sa nazýva matica koeficientov, x sa nazýva vektor neznámych a b sa nazýva vektor konštantných členov (alebo vektor pravých strán) Riešenie systému môže byť reprezentované stĺpcovým vektorom c c1 c... cn 2 = ktorý keď dosadíme do Ax = b, x = c, dostaneme maticovú identitu Ac= b. Priesvitka 4
5 y ax+ay = b 1 2 y ax+ay +a z= b x x A B Geometrická interpretácia rovnice zo systému lineárnych rovníc pre (A) n = 2, rovnica je interpretovaná priamkou, (B) n = 3, rovnica je interpretovaná rovinou. z Priesvitka 5
6 Riešenie systému Ax = b je potom určené prienikom týchto geometrických útvarov priradených jednotlivým rovniciam. Označme nadrovinu priradenú i-tej lineárnej rovnici z Ax = b symbolom σ i, potom riešenie je zadané ich prienikom X = σ σ σm Z geometrického pohľadu vyplýva, že tento prienik buď obsahuje (i) len jeden element, (ii) má nekonečne mnoho elementov, (iii) je prázdny. Jeden z hlavných cieľov teórie systémov lineárnych rovníc je rozhodnúť za ktorých podmienok majú alebo nemajú riešenie a v prípade, že ho majú, tak ako ho zostrojiť. Priesvitka 6
7 Definícia. Štvorcová matica A, typu t(a) = (n,n), sa nazýva regulárna vtedy a len vtedy, keď je hodnosť h(a) = n. Rozšírená matica Definujme rozšírenú maticu (koeficientov) A' tak, že matica koeficientov A je rozšírená o stĺpcový vektor konštantných členov a11 a a1 n b1 a21 a a2n b2 A = ( A, b ) = am 1 a m2... amn b m Pomocou hodností matice koeficientov A a rozšírenej matice A môžeme stanoviť, kedy systém lineárnych rovníc má alebo nemá riešenie. Priesvitka 7
8 Veta (Frobeniova veta). Systém lineárnych rovníc Ax = b má riešenie vtedy a len vtedy, ak h( A) = h ( A ) Pričom, podrobnejšou analýzou tejto podmienky zistíme, že (1) ak h( A) h ( A ), potom systém nemá riešenie, (2) ak h( A) = h( A ) = n, potom systém má práve jedno riešenie, h A = h A < n, potom systém má nekonečne mnoho riešení. (3) ak ( ) ( ) Táto veta patrí medzi fundamentálny teoretický výsledok teórie lineárnych rovníc, špecifikuje nutné a postačujúce podmienky pre existenciu riešenia. Priesvitka 8
9 Systém lineárnych rovníc Príklad + x = x1 x2 = 0 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar A=, 1 1 A = Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h A = h A = ( ) ( ) 2 To znamená, že systém má práve jedno riešenie, = (, ) x x 1212 T. Priesvitka 9
10 Systém lineárnych rovníc Príklad 1 2 x1 x2 = 1 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar A =, A 1 1 = Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h A = h A = < x + x = ( ) ( ) 1 2 To znamená, že systém má nekonečne mnoho riešení, ( 1 ) 1 x = t, t, t R. T Priesvitka 10
11 Systém lineárnych rovníc Príklad + x = x1+ x2 = 2 Matica koeficientov a rozšírená matica majú tvar A =, A 1 1 = Hodnosti týchto matíc vyhovujú podmienke h( A) = 1 h ( A ) = 2 To znamená, že systém nemá riešenie. x Priesvitka 11
12 Komentár Frobeniova veta nám len zabezpečuje či systém Ax = b má alebo nemá riešenie, ale v prípade, že existuje, neumožňuje nám toto riešenie nájsť. Aplikácia vety vyžaduje stanovenie hodností tak matice koeficientov A, ako aj rozšírenej matice A, tento problém môže byť uskutočnený súčasne tak, že stanovíme hodnosť rozšírenej matice, pričom nebudeme používať elementárne operácie transpozície stĺpcových vektorov (menovite stĺpcového vektora konštantných členov b so stĺpcovými vektormi matice koeficientov, a taktiež, aj stĺpcových vektorov z matice A samotne). Upravená rozšírená matica v trojuholníkovom tvare je vhodná na konštrukciu riešenia pomocou metódy spätných substitúcií. Tento prístup tvorí obsah Gaussovej eliminačnej metódy (GEM), ktorá tvorí jeden z najefektívnejších algoritmov pre riešenie systému lineárnych rovníc. Priesvitka 12
13 Riešenie systému lineárnych rovníc Gaussovou eliminačnou metódou (GEM) Nad rozšírenou maticou A' sa vykonáva postupnosť nasledujúcich elementárnych operácií nad jej riadkami: (1) transpozícia dvoch riadkov, (2) vynásobenie riadku nenulovým číslom a (3) pripočítanie násobku vybraného riadku k inému riadku. Cieľom týchto úprav je pretransformovať rozšírenú maticu na trojuholníkový tvar. Riešenie získame z takto upravenej rozšírenej matice metódou spätných substitúcií. Priesvitka 13
14 Príklad Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 2x 3x + x = x + 2x x = x1+ x2 + x3 = 12 Rozšírená matica má tvar A = krok. Vykonáme vynulovanie prvkov pod diagonálou v prvom stĺpci Priesvitka 14
15 2. krok. Vykonáme vynulovanie prvku pod diagonálou v druhom stĺpci K tretiemu riadku pripočítame druhý riadok Posledná matica znamená, že pôvodný systém rovníc bol pretransformovaný do tvaru 2x1 3x2 + x3 = 0 7x2 + 3x3 = 6 3x = 15 x T = 3 ( 135,, ) Priesvitka 15
16 Príklad Použitím Gaussovej eliminačnej metódy riešte systém 2x x + 5x + 3x = 5 Rozšírená matica má tvar x + x + 4x + 3x = x + 3x + 2x = x + x + x = A = Priesvitka 16
17 1. krok, nulujeme prvky v 1. stĺpci pod diagonálou (i) Vynásobíme 2. a 3. riadok rozšírenej matice číslom 2 (ii) K druhému a tretiemu riadku pripočítame prvý riadok (iii) Posledné tri riadky sú lineárne závislé, tak napr. 2. a 3. riadok získame vynásobením 4. riadku číslom 3 resp. 1, môžeme teda vynechať 2. a 3. riadok. Priesvitka 17
18 2x x + 5x + 3x = x + x + x = Máme dve rovnice pre štyri neznáme, t. j. dve neznáme môžu byť charakterizované ako volné parametre, x3 = u,x4 = v, potom upravený systém prepíšeme do formálneho tvaru dvoch lineárnych rovníc pre dve neznáme 2x x = 5 5u 3v 1 2 x = 3 u v 2 Dosadením druhej rovnice do prvej dostaneme konečné riešenie pre neznámu x 1 1 x1 = ( 5 5 u 3 v+ ( 3 u v) ) = 4 3 u 2 v 2 Priesvitka 18
19 Stĺpcový vektor riešenia má tvar 4 3u 2v u v x = = u v = a ub vc u v a b c Môžeme teda uzavrieť, že systém má nekonečne mnoho riešení, ktoré tvoria množinu X = { a ub v c;u,v R}. Ak napríklad položíme u = v = 1, potom vektor riešení má tvar x = = a b c Priesvitka 19
20 Pseudopascalovský program pre riešenie systému lineárnych rovníc algoritmom GEM procedure GEM; begin for k:=1 to N-1 do {index through columns} begin for i:=k+1 to N do begin σ:=-a ik /A kk ; for j:=k to N do A ij :=A ij +σ*a kj ; b i :=b i +σ*b k ; end; end; x N :=b N /A NN ; for i:=n-1 downto 1 do begin σ:=b i ; for k:=i+1 to N do σ:= σ-a ik *x k ; x i := σ/a ii ; end; end {of procedure GEM}; Priesvitka 20
21 Poznámky Algoritmus GEM obsahuje len základné operácie, ktoré sú nutné k jeho implementácii. o Prvý vonkajší cyklu (s premennou k) obsahuje tzv. priamu fázu algoritmu, ktorá spočíva v nulovaní elementov pod diagonálou. o Druhý vonkajší cyklus obsahuje tzv. spätnú fázu algoritmu (s premennou i) v ktorej sa metódou spätných substitúcii počíta riešenie systému. Použiteľný algoritmus GEM musí ešte obsahovať v rámci priamej fáze (vonkajší cyklus premennou k) vyhľadávanie maximálneho elementu v k- tom stĺpci pod diagonálou (včítane aj diagonálneho elementu). Ak takýto element existuje (v l-tom riadku, kde l k), potom sa vykoná transpozícia k-teho a l-teho riadku. Týmto máme zabezpečené, že ak matica koeficientov je regulárna, potom maticový element A kk je nenulový. Ak sa nám nepodarí zaistiť nenulovosť tohto diagonálneho elementu, potom matica A je singulárna (t.j. systém lineárnych rovníc nemá jednoznačné riešenie). Priesvitka 21
22 Odhad zložitosti algoritmu GEM V priamej fáze algoritmu pre každý index k=1,2,...,n-1 existuje (k-1)k súčinov, potom celkový počet súčinov v tejto fáze je 1 1 k k k k N N N N N 6 2 N 1 N 1 N 1 2 ( 1) = = ( 1) ( 2 1) ( 1) k= 1 k= 1 k= 1 V nepriame fáze algoritmus je celkový počet súčinov určený formulou N 1 N 1 N 1 ( j 1) = j 1= N( N 1) ( N 1) i= 1 i= 1 i= 1 To znamená, že zložitosť GEM algoritmu asymptoticky pre N rastie kubicky s dimenziou problému 3 N tcpu 1 2 Priesvitka 22
23 Príklad x + 2x + 3x + 4x = x + 3x + 4x + x = x + 4x + x + 2x = x + x + 2x + 3x = A = Priesvitka 23
24 1.krok. 2.krok. 3.krok. ( ) r2 = r2 + 2 r ( ) r3 = r3 + 3 r ( ) r4 = r4 + 4 r Priesvitka 24
25 4. krok. 5. krok. 6. krok. ( ) r3 = r3 + 2 r ( ) r4 = r4 + 7 r ( 1) r = r + r Priesvitka 25
26 7. krok Výpočet neznámych pomocou metódy spätných substitúcií x4 = b 4 A 44 = = 4 x ( ) 3 = b 3 x4a 34 A33 = ( 4 4 4) ( 4) = 3 x = b x A x A A ( ) ( ( ) ( )) ( ) = = 2 x= b xa xa xa A ( ) ( ) = = 1 Priesvitka 26
27 Determinanty Nech A je množina všetkých možných matíc. Hodnosť matice môžeme formálne chápať ako zobrazenie množiny matíc A na množinu kladných celých čísel { } h : A 1,2,... Analogicky, pod pojmom determinant budeme rozumieť zobrazenie množiny štvorcových matíc A A na množinu reálnych čísel det : A R Determinant matice A z R priradené štvorcovej matici A. A budeme označovať symbolom A, je to reálne číslo Priesvitka 27
28 Prv než pristúpime k definícii determinantu uvedieme základné skutočnosti o permutáciách. Permutáciu P priradenú n objektom budeme vyjadrovať symbolom P = ( p 1, p 2,..., pn ) kde elementy p 1, p 2,..., p n sú prirodzené čísla z množiny { 12,,...,n}, ktoré vyhovujú podmienke i j p p i j Celkový počet permutácií n objektov je n!, tieto permutácie tvoria symetrickú grupu (množinu) permutácií S n. Priesvitka 28
29 Ku každej permutácii môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa nazýva počet inverzií: hovoríme, že prvky p i a p j tvoria inverziu v permutácia P = (p 1,...,p i,...,p j,...,p n ), vtedy a len vtedy, ak platí i < j p > p Celkový počet inverzií v permutácii P je označený I(P). Príklad Zostrojte všetky permutácie pre n = 2 a n = 3, charakterizujte každú permutáciu počtom inverzií. Permutácie pre n=2 majú tvar ( ) ( ) ( ) ( ) P = 12,, I P = 0 P = 21,, I P = 1 i j Priesvitka 29
30 Permutácie pre n=3 majú tvar ( 123) ( ) 0 ( 132) ( ) 1 ( 3 2) ( 213) ( ) 1 ( 2 1) ( 231) ( ) 2 ( ) ( 312) ( ) 2 ( ) ( 321) ( ) 3 ( ) P =,,, I P = Definícia 9.1. Nech = ( A ij ) matice je P =,,, I P = > P =,,, I P = > P =,,, I P = >, > P =,,, I P = >, > P =,,, I P = >, >, > A je štvorcová matica typu (n,n), determinant tejto P S n I ( ) ( P 1 ) A = A A...A (9.10) p p np kde sumácia obsahuje všetky možné permutácie z S n. Alternatívne označenie determinantu je det(a) alebo D(A). n Priesvitka 30
31 Determinant matice je podľa definície určený takto A Príklad A A = A21 A 22 A = P S 2 I ( 1) ( P ) A A 1p 2p 1 2 I ( ) ( 12, ) I ( ) ( 21, 1 A A 1 ) = + A A = A11A22 A12 A21 Diagramatická interpretácia výpočtu determinantu matice typu 2 2 A11 A12 A11A22 A12 A21 A A = Priesvitka 31
32 Determinant matice A Príklad A A A = A21 A22 A 23 A31 A32 A 22 je podľa definície určený v tvare, ktorý môžeme jednoducho vyjadriť pomocou diagramatickej interpretácie (Sarrusove pravidlo) A A A A A A A A A A A A A A A = A A A + A A A + A A A A A A A A A A A A Priesvitka 32
33 Základné vlastnosti determinantov (1) Nech A je štvorcová matica, potom T A = A Dôsledok tejto vlastnosti je, že ľubovolná vlastnosť, ktorá platí pre riadky determinantu musí platiť aj pre jeho stĺpce (a naopak). (2) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A výmenou dvoch stĺpcov (riadkov) A = s,..., s,..., s,..., s B= s,..., s,..., s,..., s potom ( 1 i j n) ( 1 j i n) B = A Priesvitka 33
34 Nech matica A obsahuje dva rovnaké stĺpce v polohe i a j A = ( s1,..., si,... sj 1, si, sj + 1,..., s n) Potom jednoduchým dôsledkom vlastnosti je, že táto matica je nulová A = 0 (3) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A tak, že jeden stĺpec (riadok) vynásobíme číslom α A = ( s1,..., si,..., sn) B= ( s1,..., αsj,..., s n) potom B = α A Dôsledok tejto vlastnosti je, že ak matica A obsahuje nulový stĺpec (riadok), potom determinant matice je nulový. Priesvitka 34
35 (4) Nech A je štvorcová matica a nech matica B vznikne z A tak, že násobok vybraného stĺpca (riadka) pripočítame k inému stĺpcu (riadku) A = s,..., s,..., s,..., s B = s,..., s +αs,..., s,..., s potom ( 1 i j n) ( 1 i j j n) B = A (5) Nech A je štvorcová matica a nech pre jej vybraný stĺpec platí s i = s i + s i A = ( s1,..., s i + si,..., s n) potom A = A + A kde matica A' (A'') vznikne z pôvodnej matice tak, že i-tý stĺpec s i je nahradený stĺpcovým vektorom s i ( s i ) A = s,..., s,..., s, A = s,..., s,..., s ( ) ( ) 1 i n 1 i n Priesvitka 35
36 Veta. Nech A je štvorcová matica typu n n. A =0 vtedy a len vtedy, ak h(a)<n. Dôsledkom tejto vety je, že štvorcová matica A má nenulový determinant vtedy a len vtedy, ak jej hodnosť sa rovná počtu riadkov A 0 h A = n ( ) ( ( ) ) Priesvitka 36
37 Príklad Dokážte, že vektory a = ( ), a = ( ) a = ( ) a sú lineárne nezávislé.. Tieto vektory môžeme formálne chápať ako riadkové vektory matice A typu A = Ak determinant tejto matice je nenulový, potom h(a)=3, t.j. jej riadkové vektory sú lineárne nezávislé = = Priesvitka 37
38 Veta. Nech A je štvorcová trojuholníková matica (nepožaduje sa, aby každý diagonálny element bol nenulový) A11 A A1 n 0 A A 2n A = Ann Determinant matice sa rovná súčinu jej diagonálnych elementov A = A11A 22...Ann Dôsledok tejto vety je, že determinant jednotkovej matice E sa rovná jednej E =1 Priesvitka 38
39 Táto veta umožňuje zostrojiť efektívny algoritmus pre výpočet determinantov ľubovolnej dimenzii n. Použijeme jednoduchý algoritmus, ktorý je veľmi podobný algoritmu stanovenia hodnosti matice a ktorý je založený na vlastnostiach determinantov. To znamená, že nad stĺpcami a riadkami budeme vykonávať jednoduché elementárne operácie tak, aby sme dostali trojuholníkovú maticu (t. j. nulujeme elementy pod diagonálou). Na rozdiel od stanovenia hodnosti matice, pri tomto výpočte determinantu jeho hodnota sa môže meniť, tak napríklad po transpozícii dvoch stĺpcov (riadkov) dochádza k zmene znamienka determinantu, alebo ak riadok vynásobíme číslom α, tak potom pred determinant musíme vytknúť číslo 1 α. To znamená, že súčasťou algoritmu musí byť aj premenná v ktorej sa kumuluje táto zmena numerickej hodnoty determinantu v priebehu aplikácií elementárnych operácií. Priesvitka 39
40 Vypočítajte determinant matice s n = 4 Príklad A = Postup transformácie determinantu na trojuholníkový tvar je prezentovaný na tejto schéme: Priesvitka 40
41 A = = = = 68 = A A A A = 683 = = A 5 6 A Priesvitka 41
42 Pseudopascalovský program pre výpočet determinantu metódou GEM function DET : real; begin for k:=1 to N-1 do {index through columns} begin for i:=k+1 to N do begin σ:=-a ik /A kk ; for j:=k to N do A ij :=A ij +σ*a kj ; end; end; σ:=1; for i:=1 to N do σ:=σ*a ii ; DET:= σ; end {of procedure DET}; Priesvitka 42
43 Poznámky Podobne, ako aj pre systém lineárnych rovníc, GEM algoritmus musí obsahovať hľadanie maximálneho elementu v každom stĺpci pod diagonálou. V prípade, ak maximálny prvok v nejakom stĺpci pod diagonálou je nulový, potom algoritmus sa môže zastaviť, determinant matice je nulový. Zložitosť algoritmu je podobná, ako pre systém lineárnych rovníc tcpu N 3 Priesvitka 43
44 Príklad A=, det( A ) = ? 1.krok. 2.krok. ( ) r2 = r2 + 2 r ( ) r3 = r3 + 3 r Priesvitka 44
45 3. krok. 4. krok. 5.krok. ( ) r4 = r4 + 4 r ( ) r3 = r3 + 2 r ( ) r4 = r4 + 7 r Priesvitka 45
46 6. krok. 7.krok. ( 1) r = r + r det ( A ) = 1 ( 1) ( 4) 40= Priesvitka 46
47 Veta. Nech A a B sú štvorcové matice rovnakého typu t( ) = t( ) = ( n,n) A B, potom determinant súčinu týchto matíc sa rovná súčinu ich determinantov AB = A B Jednoduchý dôsledok tejto vety je formula pre determinant inverznej matice A = 1 1 A 1 A Veta. Matica A je regulárna vtedy a len vtedy, ak jej determinant je nenulový A 0 Priesvitka 47
48 The End M. C. Escher: Waterfall Priesvitka 48
Príloha č. 3: k Cenníku služieb JELLYFISH Finport Professional a Individuálne riadené portfólio
Príloha č. 3: k Cenníku služieb JELLYFISH Finport Professional a Individuálne riadené portfólio Úrokové sadzby (úrokové sadzby pre kreditné úroky z hotovosti, debetné úroky z úverov poskytnutých brokerom
More informationAttachment No. 1 Employees authorized for communication
On behalf of Market Operator: Attachment No. 1 Employees authorized for communication Employees authorized for invoicing and payments: Head of billing Dana Vinická +421 917 931 470 dana.vinicka@okte.sk
More informationOdhady parametrov modelov
Odhady parametrov modelov časovej štruktúry úrokových mier Študentská vedecká konferencia Ivan Sutóris Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Katedra Aplikovanej Matematiky
More informationPokročilé metody kalibrace modelů
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Pokročilé metody kalibrace modelů úrokových sazeb Dominika Holotňáková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí
More informationfakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky
fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky Bratislava 2008 Martin Takáč Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského v
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Zaistené stratégie. Bc. Tomáš Miklošovič.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Zaistené stratégie Bc. Tomáš Miklošovič Diplomová práca Bratislava 200 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky,
More informationImport platobných príkazov vo formáte XML
Import platobných príkazov vo formáte XML Internet banking podporuje import platobných príkazov vo formáte XML, ktorého štruktúra je definovaná normou ISO 20022. Táto norma definuje viacero typov správ
More informationUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Oceňovanie reálnych opcií pomocou stochastického dynamického programovania Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Jozef Mesároš
More informationHEDGING PRIEMERU CENY S OPCIAMI V PODMIENKACH KONŠTANTNEJ VOLATILITY
International Scientific Conference YOUNG SCIENTISTS 2011 HEDGING PRIEMERU CENY S OPCIAMI V PODMIENKACH KONŠTANTNEJ VOLATILITY Marko LALIĆ Technická Univerzita v Košiciach, Ekonomická fakulta Katedra financií
More informationUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA Martin Lauko
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA 2009 Martin Lauko Numerické a analytické aproximácie hranice predčasného uplatnenia americkej put opcie DIPLOMOVÁ
More informationAnalytické aproximácie pri modelovaní cien opcií
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Analytické aproximácie pri modelovaní cien opcií Diplomová práca Bratislava 2014 Bc. Tomáš Karovič UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationWish List of Modifying National Statistical Infrastructures for Improved International Input-Output Databases
Wish List of Modifying National Statistical Infrastructures for Improved International Input-Output Databases Satoshi INOMATA (IDE-JETRO) Norihiko YAMANO (OECD) Bo MENG (IDE-JETRO) Workshop on the Fragmentation
More informationSadzobník kartových poplatkov firemné platobné karty / Schedule of Card Charges company payment cards
Sadzobník kartových poplatkov firemné platobné karty / Schedule of Card Charges company payment cards Citibank Europe plc., so sídlom Dublin, North Wall Quay 1, Írsko, registrovaná v registri spoločností
More informationOPTIMALIZÁCIA KAPITÁLOVEJ SKLADBY INVESTÍCIE
NATIONAL AND REGIONAL ECONOMICS VIII OPTIMALIZÁCIA KAPITÁLOVEJ SKLADBY INVESTÍCIE Ing. Radoslav BLAHOVEC Technická univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta Katedra regionálnych vied a manažmentu Radoslav.Blahovec@tuke.sk
More informationVyužitie aproximácie rozdelenia časovo spriemernenej hodnoty náhodnej premennej pri oceňovaní ázijských opcií
UNIVERZITA KOMENSKÉHO FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BRATISLAVA Martin Takáč Využitie aproximácie rozdelenia časovo spriemernenej hodnoty náhodnej premennej pri oceňovaní ázijských opcií Študentská
More informationI. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované stratégie
I. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované stratégie Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava I. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE RIZIKOVO-NEUTRÁLNYCH
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE RIZIKOVO-NEUTRÁLNYCH PRAVDEPODOBNOSTÍ VÝVOJA CIEN FINANČNÝCH NÁSTROJOV DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava, 23 Bc. Peter Štefko
More informationZásady zostavovania testov
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Zásady zostavovania testov v národnom projekte E-test Zvyšovanie kvality vzdelávania na ZŠ a SŠ s využitím elektronického
More informationVYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ. Currency risk hedging in Flash Steel, a. s.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Zajištění proti kurzovému riziku ve společnosti Flash Steel, a. s. Currency risk hedging in Flash Steel, a. s. company
More informationMEDZINÁRODNÉ DAŇOVÉ ÚNIKY
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH MEDZINÁRODNÉ DAŇOVÉ ÚNIKY a metódy ich predchádzania Peter Huba/Jozef Sábo/Martin Štrkolec KOŠICE 2016 Autorský kolektív: JUDr. Peter Huba, PhD. JUDr. Jozef
More informationTvorba informačných systémov 2. prednáška čo všetko sa týka špecifikácie požiadaviek
Tvorba informačných systémov 2. prednáška čo všetko sa týka špecifikácie požiadaviek Informačný systém (softvér) Dve kategórie IS: krabicový softvér predáva sa na trhu všeobecnej verejnosti (generické
More informationProblémy oceňovania Startupov v súčasnosti. The problems with valuation of startups at present
Problémy oceňovania Startupov v súčasnosti. The problems with valuation of startups at present Ján Bukoven Abstrakt: V súčasnosti je ekonomický rast a konkurencieschopnosť rozvinutých krajín poháňaný hlavne
More informationDÔLEŽITOSŤ INVESTOVANIA VOĽNÝCH PEŇAŽNÝCH PROSTRIEDKOV DO PODIELOVÝCH FONDOV THE IMPORTANCE OF INVESTING FREE FUNDS IN MUTUAL FUNDS
DÔLEŽITOSŤ INVESTOVANIA VOĽNÝCH PEŇAŽNÝCH PROSTRIEDKOV DO PODIELOVÝCH FONDOV THE IMPORTANCE OF INVESTING FREE FUNDS IN MUTUAL FUNDS MONIKA LIČKOVÁ JUDr. Monika Ličková, Katedra obchodného a hospodárskeho
More informationChristiana Serugová, Partner, Tax Leader at PwC Tel.:
Press Release Date 24 November 2016 Contact PwC Slovakia Christiana Serugová, Partner, Tax Leader at PwC Tel.: +421 2 59350 614 christiana.serugova@sk.pwc.com Mariana Butkovská, Marketing & Communications
More informationVÝBER VHODNEJ METÓDY OCENENIA INVESTÍCIÍ 1.
VÝBER VHODNEJ METÓDY OCENENIA INVESTÍCIÍ 1. Veronika Frnková ÚVOD V ekonomickej teórií možno nájsť rôzne metódy hodnotenia efektívnosti investícií, ktoré kopírujú požiadavky investorov na výstupnú informáciu
More informationAlternatívne investičné kritériá- pokr. NPV a plánovanie investícií
20. október 2003 Alternatívne investičné kritériá- pokr. NPV a plánovanie investícií Literatúra: Brealey R. A., Myers S.C.: Principles of Corporate Finance Chapter 6 Ross A. R., Westerfield R.W., Jaffe
More informationAbstract Algebra Solution of Assignment-1
Abstract Algebra Solution of Assignment-1 P. Kalika & Kri. Munesh [ M.Sc. Tech Mathematics ] 1. Illustrate Cayley s Theorem by calculating the left regular representation for the group V 4 = {e, a, b,
More informationVÝVOJ OBJEMU POSKYTNUTÝCH ÚVEROV A ICH DOHODNUTEJ PRIEMERNEJ ÚROKOVEJ SADZBY NA SLOVENSKU V KONTEXTE VÝVOJA ZÁKLADNEJ ÚROKOVEJ SADZBY
VÝVOJ OBJEMU POSKYTNUTÝCH ÚVEROV A ICH DOHODNUTEJ PRIEMERNEJ ÚROKOVEJ SADZBY NA SLOVENSKU V KONTEXTE VÝVOJA ZÁKLADNEJ ÚROKOVEJ SADZBY THE DEVELOPMENT OF THE AMOUNT OF LOANS GRANTED AND THEIR APPROPRIATE
More informationProblematické stránky štandardných metód Value at Risk 1
Problematické stránky štandardných metód Value at Risk 1 Martin ŠORF Abstrakt Príspevok sa venuje hodnoteniu štandardných metód merania Value at Risk z koncepčného hľadiska. Model historickej simulácie,
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZAISTENÉ A POISTENÉ Veronika Kleinová
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZAISTENÉ A POISTENÉ STRATÉGIE 011 Veronika Kleinová UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
More informationFor every job, the start time on machine j+1 is greater than or equal to the completion time on machine j.
Flow Shop Scheduling - makespan A flow shop is one where all the jobs visit all the machine for processing in the given order. If we consider a flow shop with n jobs and two machines (M1 and M2), all the
More informationInternational Accounting. 8th. week
International Accounting 8th. week Recognition of provisions in accordance with IFRS According to Act on Accounting (SR) 431/2002 Col. of Laws, 26, article 5: Provisions are liabilities of uncertain timing
More informationRiadenie úrokového rizika dlhopisových portfólií v komerčných bankách The Interest Risk Management of the Bond Portfolio in Commercial Banks
Riadenie úrokového rizika dlhopisových portfólií v komerčných bankách The Interest Risk Management of the Bond Portfolio in Commercial Banks Vladimír GVOZDJÁK Abstrakt Dlhopisy ako cenný papier predstavujú
More information1.6 Heap ordered trees
1.6 Heap ordered trees A heap ordered tree is a tree satisfying the following condition. The key of a node is not greater than that of each child if any In a heap ordered tree, we can not implement find
More informationFinancovanie politických strán na Slovensku
Financovanie politických strán na Slovensku Marián Belko Abstract: The Funding of the Political Parties in Slovakia. Parties are essential components of a political system, since they provide access to
More informationHeart Failure Awareness Days 2018
Heart Failure Awareness Days 2018 Report from: SLOVAKIA Name of reporter:. Goncalvesová Eva, MD, PhD, FESC Public event / open clinic Press conference, April 17 th, 2018 Heart Failure the biggest challenge
More information9 Oceňovanie derivátov
9 Oceňovanie derivátov Finančné deriváty (financial derivatives) sú nástroje, ktorých hodnota je odvodená od ceny podkladového aktíva (underlying). Týmto môže byť komodita, akcia, dlhopis, menový kurz,
More informationFiškálne multiplikátory: prehľad literatúry, ich odhad pre SR
Analytický komentár Fiškálne multiplikátory: prehľad literatúry, ich odhad pre SR Analytický komentár sumarizuje závery literatúry o veľkosti a determinantoch krátkodobých fiškálnych multiplikátorov vo
More informationActuarial Science in Theory and in Practice
THE UNIVERSITY OF ECONOMICS IN BRATISLAVA Faculty of Economic Informatics Department of Mathematics and Actuarial Science Actuarial Science in Theory and in Practice the 9th international scientific conference
More informationFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. modelu úrokových mier
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kalibrácia konvergenčného modelu úrokových mier Vašíčkovho typu Diplomová práca Bratislava 2013 Bc. Simona Chattová UNIVERZITA
More informationBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Eva Mináriková Analýza akciového trhu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Eva Mináriková Analýza akciového trhu Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jan
More informationModelovanie nan ných trhov a risku metódou Monte Carlo
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Modelovanie nan ných trhov a risku metódou Monte Carlo 211 Luká² Kunert UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY,
More informationnot be part of this report. reportu
The methodology of Merck spol. s r.o. for publishing value transfers to healthcare professionals and healthcare organisations according to the AIFP Code of Ethics (in line with the EFPIA Disclosure Code).
More informationModerné metódy ohodnocovania akcií 1
148 Ekonomický časopis, 59, 2011, č. 2, s. 148 162 Moderné metódy ohodnocovania akcií 1 Božena HRVOĽOVÁ* Jana MARKOVÁ** Lucia ZACHAR NINČÁK* 1 Modern Methods of Valuation of Shares Abstract The current
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky. Rýchla asová ²kála volatility vo Fong-Va²í kovom modeli.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Rýchla asová ²kála volatility vo Fong-Va²í kovom modeli Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Radka Sele éniová UNIVERZITA KOMENSKÉHO
More informationJOHN DEERE MOBILE RTK SIGNAL NETWORK RTK SIGNAL NETWORK
JOHN DEERE MOBILE RTK SIGNAL NETWORK RTK SIGNAL NETWORK Táto zmluva o predplatnom siete Mobile RTK Signal Network ( Zmluva ) sa uzatvára medzi vami (používateľom siete John Deere Mobile RTK Signal Network)
More informationOPČNÉ STRATÉGIE A MOŽNOSTI ICH VYUŽITIA
Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finance OPČNÉ STRATÉGIE A MOŽNOSTI ICH VYUŽITIA Option strategies and their application Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Peter MOKRIČKA,
More informationLife annuities. Actuarial mathematics 3280 Department of Mathematics and Statistics York University. Edward Furman.
Edward Furman, Actuarial mathematics MATH3280 p. 1/53 Life annuities Actuarial mathematics 3280 Department of Mathematics and Statistics York University Edward Furman efurman@mathstat.yorku.ca Edward Furman,
More informationApplication of CAPM for investment decisions in emerging countries
Application of CAPM for investment decisions in emerging countries Peter Krištofík 1 Abstract The paper is focused on investment decisions of companies with a diversified shareholder base in emerging countries.
More informationZÁKLADNÝ MANUÁL LYNX TWS
ZÁKLADNÝ MANUÁL LYNX TWS Základná užívateľská príručka pre užívateľov obchodnej platformy LYNX TWS. TWS je kmeňovou platformou Interactive Brokers. LYNX je najväčším sprostredkovateľom pre Interactive
More informationGLOBAL PROPERTY FUND A-EURO 31. JÚL 2014
Prístup a štýl Základnou filozofiou Dirka Philippu je investovať do majetkových cenných papierov s atraktívnym ocenením. Vyhľadáva anomálie ocenenia vzhľadom na históriu, kolegov alebo v porovnaní s inými
More informationNeistota pri oceňovaní technických rezerv poisťovní
Neistota pri oceňovaní technických rezerv poisťovní Peter Marko 1 Abstrakt Technické rezervy sú dôležité z hľadiska schopnosti poisťovne plniť svoje záväzky vyplývajúce z poistných zmlúv v budúcnosti.
More informationOceňovanie CMS Spread Range Accrual
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky Oceňovanie CMS Spread Range Accrual Diplomová práca Matej Stračiak Vedúci práce:
More informationOpčné spektrum. Neutrálne trhové očakávania. Vypísanie kužela Vypísanie brzdy. Kúpa časového rozpätia
Opčné stratégie. Realizácia opčných stratégií sa uskutočňuje prostredníctvom zaujatia pozície v jednej alebo viacerých opciách. Opcie pri tom môžu mať rozdielne realizačné ceny alebo dátumy splatnosti.
More informationutvorenie a fungovanie spoločného vnútorného trhu, vysoká úroveň zbližovania hospodárskej výkonnosti medzi členskými štátmi a posilňovanie hospodárske
Odpovede na otázky v rámci verejnej konzultácie k smernici EU 2009/14/ES, ktorou sa mení a dopĺňa smernica 94/19/ES o systémoch ochrany vkladov, pokiaľ ide o úroveň krytia a výplatnú lehotu Replies to
More informationZRÁŽKA ZA NÍZKU LIKVIDITU
ZRÁŽKA ZA NÍZKU LIKVIDITU Stela Beslerová, Juraj Tobák, Petra Tutková ÚVOD V slovenskom a rovnako aj v českom podnikateľskom prostredí sú väčšinou oceňované podniky, ktoré nie sú kótované na burze cenných
More informationPRACOVNÝ DOKUMENT. SK Zjednotení v rozmanitosti SK
EURÓPY PARLAMENT 2014-2019 Výbor pre kontrolu rozpočtu 12.11.2014 PRACOVNÝ DOKUMENT o osobitnej správe Dvora audítorov č. 15/2014 (absolutórium za rok 2013) s názvom Fond pre vonkajšie hranice podporuje
More informationDajme študentom virtuálnu skúsenosť
Dajme študentom virtuálnu skúsenosť Alena Kovárová kovarova@fiit.stuba.sk Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave Väčšina elektronických vzdelávacích
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY ANALÝZA RIE ENÍ NELINEÁRNYCH ROVNÍC PRE OCEŒOVANIE FINANƒNÝCH DERIVÁTOV S PREMENLIVÝMI TRANSAKƒNÝMI NÁKLADMI DIPLOMOVÁ PRÁCA
More informationPACIFIC FUND A-USD 31. JÚL 2014
PACIFIC FUND AUSD Prístup a štýl Dale Nicholls využíva prístup výberu akcií metódou zdola nahor, pričom sa zameriava na spoločnosti ponúkajúce najlepšie hodnoty vo vzťahu k ich dlhodobým vyhliadkam rastu,
More informationKONEČNÉ PODMIENKY. 31. mája Slovenská sporiteľňa, a.s.
KONEČNÉ PODMIENKY 31. mája 2018 Slovenská sporiteľňa, a.s. Celkový objem emisie: 2 000 000 EUR Názov Investičných certifikátov: Investičné certifikáty SLSP RC Sanofi 2019 I ktoré budú vydané na základe
More informationMOŽNOSTI MERANIA FINANČNEJ VÝKONNOSTI V STROJÁRSKYCH PODNIKOCH i
MOŽNOSTI MERANIA FINANČNEJ VÝKONNOSTI V STROJÁRSKYCH PODNIKOCH i Igor HUDÁK Ekonomická univerzita v Bratislave Podnikovohospodárska fakulta so sídlom v Košiciach Katedra ekonómie igor.hudak@euke.sk Abstrakt
More informationMassachusetts Large Group (51+) UnitedHealthcare Plans
2018-2019 Large Group (51+) Plans Please be advised that this guide is for informational purposes only. Premium rates and/or product forms inclu herein have been filed and are subject to approval by regulators.
More informationMetódy konverzie pozícií štandardných derivátov pri výpočte celkového rizika záväzkovým prístupom
Metódy konverzie pozícií štandardných derivátov pri výpočte celkového rizika záväzkovým prístupom Príloha č. 1 k opatreniu Pozície štandardných derivátov sa konvertujú na ich ekvivalentnú pozíciu podkladového
More informationHODNOCENÍ VÝNOSNOSTI RŮZNÝCH FOREM INVESTIC DO NEMOVITOSTÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV EKONOMIKY FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF ECONOMICS HODNOCENÍ VÝNOSNOSTI RŮZNÝCH FOREM INVESTIC DO
More informationVYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKA TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKA TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Zhodnocení vybraných investičních strategií na devizovém trhu Evaluation of Selected Investment Strategies in the Forex
More informationDirect Methods for linear systems Ax = b basic point: easy to solve triangular systems
NLA p.1/13 Direct Methods for linear systems Ax = b basic point: easy to solve triangular systems... 0 0 0 etc. a n 1,n 1 x n 1 = b n 1 a n 1,n x n solve a n,n x n = b n then back substitution: takes n
More informationPouºitie metódy Monte Carlo vo nanciách
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky Pouºitie metódy Monte Carlo vo nanciách Diplomová práca tudijný odbor: 9.1.9 Aplikovaná
More informationNárodné voľby a špecifiká v projekte AnaCredit (verzia 3)
Národné voľby a špecifiká v projekte AnaCredit (verzia 3) NARIADENIE EURÓPSKEJ CENTRÁLNEJ BANK (EÚ) 2016/867 z 18. mája 2016 o zbere podrobných údajov o úveroch a kreditnom riziku (ECB/2016/13) ponecháva
More informationUNICORN COLLEGE BAKALÁRSKA PRÁCA
UNICORN COLLEGE Katedra ekonomiky a managementu BAKALÁRSKA PRÁCA Aktivity zamestnancov smerujúce proti hospodárskym záujmom zamestnávateľa, možnosti obrany a prevencie proti takémuto jednaniu Autor BP:
More informationPROSPEKT HORIZON 19/05/2014
PROSPEKT Verejná investičná spoločnosť variabilného kapitálu podľa belgického práva (bevek) pre investície v súlade s podmienkami smernice 2009/65/EC UCITS HORIZON 19/05/2014 Prospekt sa skladá z: Informácií
More informationDiverzifikácia rizika pri investičnom rozhodovaní s využitím alternatívnych foriem investovania
Bankovní institut vysoká škola Praha zahraničná vysoká škola Banská Bystrica Katedra ekonómie a financií Diverzifikácia rizika pri investičnom rozhodovaní s využitím alternatívnych foriem investovania
More informationHODNOTENIE INVESTÍCIÍ POMOCOU ČISTEJ SÚČASNEJ HODNOTY A VPLYV ZMENY FAKTOROV NA INVESTIČNÉ ROZHODOVANIE. Ing. Veronika Uličná 89
HODNOTENIE INVESTÍCIÍ POMOCOU ČISTEJ SÚČASNEJ HODNOTY A VPLYV ZMENY FAKTOROV NA INVESTIČNÉ ROZHODOVANIE Ing. Veronika Uličná 89 Abstrakt: Príspevok je venovaný hodnoteniu investícií pomocou čistej súčasnej
More informationA Learning Theory of Ranking Aggregation
A Learning Theory of Ranking Aggregation France/Japan Machine Learning Workshop Anna Korba, Stephan Clémençon, Eric Sibony November 14, 2017 Télécom ParisTech Outline 1. The Ranking Aggregation Problem
More informationMengdi Wang. July 3rd, Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T.
Practice July 3rd, 2012 Laboratory for Information and Decision Systems, M.I.T. 1 2 Infinite-Horizon DP Minimize over policies the objective cost function J π (x 0 ) = lim N E w k,k=0,1,... DP π = {µ 0,µ
More information11735/1/16 REV 1 bie/mn 1 DG F 2B
Rada Európskej únie V Bruseli 8. decembra 2016 (OR. en) 11735/1/16 REV 1 INF 148 API 88 POZNÁMKA Od: Generálny sekretariát Rady Komu: Pracovná skupina pre informácie Č. predch. dok.: 11734/16 Predmet:
More informationWorking Paper Series. Information Shares in the U.S. Treasury Market, Bruce Mizrach and Christopher J. Neely
RESEARCH DIVISION Working Paper Series Information Shares in the US Treasury Market, Bruce Mizrach and Christopher J Neely Working Paper 2005-070E https://doiorg/1020955/wp2005070 October 2007 FEDERAL
More informationAnalytical method transfer: proposals for the location-scale approach and tolerance intervals
Analytical method transfer: proposals for the location-scale approach and tolerance intervals Cornelia Frömke, Ludwig A. Hothorn, Michael Schneider Institute of Biometry, Hannover Medical School Institute
More informationVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT ÚSTAV INFORMATIKY INSTITUTE OF INFORMATICS INVESTIČNÍ STRATEGIE PRO OBCHODOVÁNÍ AKCIÍ
More informationIdentifikácia trhových neefektívností na základe makroekonomických veličín
Identifikácia trhových neefektívností na základe makroekonomických veličín Eduard BAUMÖHL Mária FARKAŠOVSKÁ Úvod Prvá komplexná publikácia zaoberajúca sa trhovými neefektívnosťami na akciovom trhu pochádza
More informationOTÁZKY Z TRHU A ODPOVEDE NÁRODNEJ BANKY SLOVENSKA
OTÁZKY Z TRHU A ODPOVEDE NÁRODNEJ BANKY SLOVENSKA k vykonávaniu nariadenia Európskeho parlamentu a Rady (EÚ) č. 648/2012 zo 4. júla 2012 o mimoburzových derivátoch, centrálnych protistranách a archívoch
More informationI. SLOVENSKO-ČESKÉ DNI DAŇOVÉHO PRÁVA I. SLOVAK-CZECH DAYS OF TAX LAW
P R Á V N I C K Á F A K U L T A I. SLOVENSKO-ČESKÉ DNI DAŇOVÉHO PRÁVA Daňové úniky a vyhýbanie sa daňovým povinnostiam I. SLOVAK-CZECH DAYS OF TAX LAW Tax Evasion and Tax Avoidance K O Š I C E 2 0 1 7
More informationZuzana ILKOVÁ * simple joint stock company, common shares, shares with special rights, shareholder agreements /eual
10.1515/eual-2017-0009 LEGAL FRAMEWORK FOR ESTABLISHING AND FUNCTIONING OF START UPS IN THE CONDITIONS OF SLOVAK LEGISLATION PRÁVNY RÁMEC PRE ZAKLADANIE A FUNGOVANIE STARTUPOV V PODMIENKACH PRÁVNEJ ÚPRAVY
More informationV E S T N Í K Národnej banky Slovenska
V E S T N Í K Národnej banky Slovenska Čiastka 13 Vydaná dňa 13. júna 2017 Ročník 2017 NORMATÍVNA ČASŤ Opatrenie Národnej banky Slovenska z 30. mája 2017 č. 1/2017 o rizikách a systéme riadenia a merania
More informationEdukačný softvér na výučbu programovania pre 1. stupeň ZŠ
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UNIVERZITA KOMENSKÉHO Edukačný softvér na výučbu programovania pre 1. stupeň ZŠ Východiská k bakalárskej práci Bratislava 2016 Gabriel Halasi Obsah Úvod... 4 Edukačný
More informationODBORNÝ BANKOVÝ ČASOPIS DECEMBER 1994 ROČNÍK 2 BANKING JOURNAL DECEMBER 1994 VOLUME II
ODBORNÝ BANKOVÝ ČASOPIS DECEMBER 1994 ROČNÍK 2 BANKING JOURNAL DECEMBER 1994 VOLUME II NÁRODNÁ BANKA SLOVENSKA NATIONAL BANK OF SLOVAKIA Máte obavy z nepredvídaných udalostí na cestách? Máte strach o peniaze
More informationPage 1 of 5. Principal. Maturity Date. Yield/Coupo. Issuer Category of Investment CUSIP
Rule 2a-7(c)(12) Schedule of Investments TIAA-CREF Money Market Fund Fund Information and Unaudited Holdings as of December 31, 2016 Weighted Average Maturity: 46.05 days Weighted Average Life: 86.16 days
More informationMeasuring Costa Rica s participation in GVC s. Department of Macroeconomic Statistics ICMTEG, Aguascalientes, México Sep-Oct, 2014
Measuring Costa Rica s participation in GVC s Department of Macroeconomic Statistics ICMTEG, Aguascalientes, México Sep-Oct, 2014 OUTLINE Costa Rica in GVC s Research goals based on international IOT Construction
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY VYUšITIE MEIXNEROVHO PROCESU PRI MODELOVANÍ FINANƒNÝCH TRHOV DIPLOMOVÁ PRÁCA 016 Bc. Ivana KRASULOVÁ UNIVERZITA KOMENSKÉHO V
More informationA Loss Reserving Method for Incomplete Claim Data Or how to close the gap between projections of payments and reported amounts?
A Loss Reserving Method for Incomplete Claim Data Or how to close the gap between projections of payments and reported amounts? René Dahms Baloise Insurance Switzerland rene.dahms@baloise.ch July 2008,
More informationODBORNÝ BANKOVÝ ČASOPIS JÚN 1999 ROČNÍK 7 BANKING JOURNAL JUNE 1999 VOLUME VII
ODBORNÝ BANKOVÝ ČASOPIS JÚN 1999 ROČNÍK 7 BANKING JOURNAL JUNE 1999 VOLUME VII NÁRODNÁ BANKA SLOVENSKA NATIONAL BANK OF SLOVAKIA Prehľad vzdelávacích podujatí Inštitútu bankového vzdelávania NBS na III.
More information2015 ANNUAL REGIONAL OVERVIEW PUBLIC HEALTH GREAT LAKES AND SOUTHERN AFRICA WASH REPRODUC TIVE HEALTH & HIV NUTRITION & FOOD SECURIT Y
ANNUAL REGIONAL OVERVIEW GREAT LAKES AND SOUTHERN AFRICA REPRODUC TIVE HEALTH & HIV PUBLIC HEALTH WASH NUTRITION & FOOD SECURIT Y Public Health GREAT LAKES AND SOUTHERN AFRICA UNHCR s efforts to meet the
More informationKrajina Tarify Minimum Maximum. Austrália 0,15 % z hodnoty transakcie AUD 10 - Belgicko 0,12 % z hodnoty transakcie EUR 6 EUR 99
Akcie a ETF Krajina Tarify Minimum Maximum Austrália 0,15 % z hodnoty transakcie AUD 10 - Belgicko 0,12 % z hodnoty transakcie EUR 6 EUR 99 Čína 0,20 % z hodnoty transakcie ¹ CNH 50 - Francúzsko 0,12 %
More informationOceňovanie spoločností
Oceňovanie spoločností Ivan Chodák invest forum 22. november 2006, Bratislava Obsah hlavné okruhy Koncept oceňovania Cash Flow, Assets... Dôležité pojmy Value vs. Price... Hlavné metódy oceňovania Acc,
More informationMore Advanced Single Machine Models. University at Buffalo IE661 Scheduling Theory 1
More Advanced Single Machine Models University at Buffalo IE661 Scheduling Theory 1 Total Earliness And Tardiness Non-regular performance measures Ej + Tj Early jobs (Set j 1 ) and Late jobs (Set j 2 )
More informationQ3505 In which of the following ways, if any, are you planning to prepare and file your taxes this year? Please select all that apply.
Q3505 In which of the following ways, if any, are you planning to prepare and file your taxes this year? Please select all that apply. Page 1 Base: All Respondents Unweighted Base 2469 585 675 725 484
More informationAUTO ENROLMENT: STAGING DATES
PENSIONS PROFILE July 2012 AUTO ENROLMENT: STAGING DATES Summary A staging date is the date an employer must abide by the auto enrolment regulations. Staging dates will be based on PAYE data held by HMRC
More informationVplyv finančnej krízy na hodnotu rizikovej prémie Pavel Kardoš
Vplyv finančnej krízy na hodnotu rizikovej prémie Pavel Kardoš Abstract Cieľ článku: Cieľom tohto článku je priblížiť zmeny hodnoty rizikovej prémie, identifikovať ktoré determinanty ju ovplyvňujú a ako
More informationINVOICE AGENCY AGENCY NO. CUSTOMER CUSTOMER NO. POL-APRIL FREEMAN FOR CONGRESS 19409
INVOICE DATE SA804056 11/3/2016 INVOICE DUE DATE 201610 11/27/2016 ATTN: Samuel Fisher POL-APRIL FREEMAN FOR CONGRESS P.O. Box 152198 Cape Coral, FL 33915-2198 INVOICE AGENCY AGENCY NO. CUSTOMER CUSTOMER
More informationPREDAJNÝ PROSPEKT FONDU Office real estate fund o.p.f. - PRVÁ PENZIJNÁ SPRÁVCOVSKÁ SPOLOČNOSŤ POŠTOVEJ BANKY, správ. spol., a.s.
PREDAJNÝ PROSPEKT FONDU Office real estate fund o.p.f. - PRVÁ PENZIJNÁ SPRÁVCOVSKÁ SPOLOČNOSŤ POŠTOVEJ BANKY, správ. spol., a.s. UPOZORNENIE: Tento predajný prospekt sa môže počas trvania zmluvného vzťahu
More information