Actuarial Science in Theory and in Practice

Size: px
Start display at page:

Download "Actuarial Science in Theory and in Practice"

Transcription

1 THE UNIVERSITY OF ECONOMICS IN BRATISLAVA Faculty of Economic Informatics Department of Mathematics and Actuarial Science Actuarial Science in Theory and in Practice the 9th international scientific conference PROCEEDINGS 7 November 203 Bratislava, Slovakia

2 ORGANIZED BY The University of Economics in Bratislava, Faculty of Economic Informatics, Department of Mathematics and Actuarial Science EDITED BY Mgr. Andrea Kaderová, PhD. TITLE Actuarial Science in Theory and in Practice ISSUED IN Bratislava, Slovakia, 203 ISSUED BY The University of Economics in Bratislava PRINTED EKONÓM publishers, Dolnozemská cesta, Bratislava, Slovakia PAGES 72 NUMBER OF COPIES 50 AS 8,479 ORGANIZÁTOR Ekonomická univerzita v Bratislave, Fakulta hospodárskej informatiky, Katedra matematiky a aktuárstva ZOSTAVOVATEĽ Mgr. Andrea Kaderová, PhD. NÁZOV Aktuárska veda v teórii a v praxi MIESTO A ROK VYDANIA Bratislava, 203 VYDALA Ekonomická univerzita v Bratislave TLAČ Vydavateľstvo EKONÓM, Dolnozemská cesta, Bratislava POČET STRÁN 72 NÁKLAD 50 AH 8,479 Not for sale ISBN

3 Programme Committee Guarantor: Dr.h.c. Prof. Ing. Rudolf Sivák, PhD. Rector University of Economics in Bratislava Chair: Prof. Ing. Michal Fendek, PhD. Dean FEI UE in Bratislava Members: Christopher David Daykin, CB MA Institute and Faculty of Actuaries London Prof. Dr. Ing. Dana Dluhošová VŠB - TU Ostrava Hab. Krzysztof Jajuga Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Prof. RNDr. Viera Pacáková, PhD. Univerzita Pardubice Prof. RNDr. František Peller, PhD. University of Economics in Bratislava Prof. RNDr. Ľudovít Pinda, CSc. University of Economics in Bratislava Prof. RNDr. Katarína Sakálová, CSc. University of Economics in Bratislava Prof. RNDr. Vincent Šoltés, CSc. Technical University in Košice Prof. Ing. Dr. Zdeněk Zmeškal VŠB - TU Ostrava Doc. RNDr. Galina Horáková, CSc. University of Economics in Bratislava Doc. RNDr. Jozef Fecenko, CSc. University of Economics in Bratislava Doc. Mgr. Erik Šoltés, PhD. University of Economics in Bratislava Mgr. Jozef Hančár Slovak Society of Actuaries Reviewed by doc. RNDr. Mária Bilíková, PhD. doc. RNDr. Jozef Fecenko, CSc. doc. RNDr. Galina Horáková, CSc. Mgr. Andrea Kaderová, PhD. RNDr. Eva Kotlebová, PhD. Mgr. Vladimír Mucha, PhD. Ing. Mgr. Ingrid Ondrejková Krčová Ing. Michal Páleš, PhD. prof. RNDr. Ľudovít Pinda, CSc. prof. RNDr. Katarína Sakálová, CSc. PaedDr. Zsolt Simonka, PhD. Mgr. František Slaninka RNDr. Anna Starečková, PhD. Mgr. Tatiana Šoltésová, PhD. University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava University of Economics in Bratislava Edited by Mgr. Andrea Kaderová, PhD. University of Economics in Bratislava

4 Contents Preface.. 7 Daykin Christopher Sustainability of pension systems in Europe the demographic challenge... 9 Kamenárová Mária Oceňovanie najlepšieho odhadu záväzkov v režime Solvency II Valuation of the best estimate of the liabilities under the Solvency II regime...26 Brokešová Zuzana Hodnotenie nových druhov rizík v poisťovníctve Assessment of new types of risks in insurance industry...39 Fecenko Jozef Lineárne rekurzie Linear recursion...48 Horáková Galina Brownov pohyb pre odhad pravdepodobnosti krachu procesu rizika Use of Brownian motion to estimate the ruin probability of a risk process...60 Kotlárová Alena Metóda diskontovaných peňažných tokov ako nástroj analýzy hodnoty poistenia Discounted cash flow method as a analysis of value of insurance tool.. 70 Kosztolányová Alexandra, Bilíková Mária Stanovenie hodnoty záväzkov životnej poisťovne v zmysle Solventnosti II Determination of the value of a life insurer's liabilities in the context of Solvency II.78 Ondrejková Krčová Ingrid Použitie metódy testovania zisku pri oceňovaní produktov a ohodnocovaní rezerv v životnom poistení Profit testing - method of valuation products and valuation reserve in life insurance...87 Páleš Michal, Poláček Štefan Implementácia projektu ORSA v poisťovniach Implementation of the ORSA in insurance companies...98 Peller František, Sakálová Katarína Aktuárska matematika, jej genéza, miesto a úloha v systéme výučby matematiky na EU Actuarial mathematics, its genesis, importance and role in the system of the education on Economic University.03 Pinda Ľudovít Sekuritizácia systematického rizika v podmienkach slovenského poľnohospodárstva Securitization of systemic risk in conditions the slovak agriculture...08

5 Simanová Barbora Modelovanie závislostí pomocou funkcií kopula Modelling dependence with the use of copula functions...7 Sivašová Daniela Využitie kĺzavého priemeru vo finančnej praxi The use of moving averages in financial practice...29 Skřivánková Valéria, Juhás Matej Comparison of methods BM and POT from the view of non-life insurance...34 Slaninka František Optimalizácia zaisťovacieho programu poisťovne návrh softvérovej aplikácie Insurer reinsurance program optimization the software application project...42 Švábová Lucia Oceňovanie niektorých druhov opcií pomocou metódy konečných diferencií Pricing of selected options using the finite difference method...52 Valecký Jiří GLM analysis applied on claim severity of motor hull insurance portfolio: an empirical study...6

6

7 Preface On 7 November 203 the international scientific conference Actuarial science in theory and in practice took place on the occasion of the 20 th anniversary of the start of actuarial teaching in Slovakia. The conference was organised by the Department of Mathematics of the University of Economics in Bratislava (DM UE) as part of the regular biannual series, which commenced in 997. This time reflecting the celebratory nature of the occasion the conference was held in the Hotel Apollo in Bratislava in the presence of the Pro-Rector for education UE Prof. Ferdinand Daňo and the Dean of the Faculty of Economic Informatics UE (FEI UE) Prof. Michal Fendek. As befits the anniversary nature of the conference it is appropriate to mention the important milestones in the history of actuarial teaching in Slovakia and their connection with DM UE (today the Department of Mathematics and Actuarial Science DMAS). The text was prepared and presented in the conference by Doc. Jozef Fecenko, Head of DMAS. As a part of this the Dean FEI UE presented commemorative plates to those who had significantly contributed to the introduction and development of actuarial teaching in FEI UE. The academic year 993/94 marked the start of the 2 nd level study programme in FEI UE Insurance mathematics and statistics as part of the study field Quantitative methods in economics. By doing so FEI UE became the first faculty in Slovakia to offer a complete actuarial education as part of both daily and external study programmes. The start of actuarial teaching was preceded in 994 by a postgraduate course Insurance Mathematics and Statistics organised in cooperation with the Institute of Actuaries in Oxford, the Government Actuary s Department in London (GAD) and DM UE with financial support from the British Government s Know-How Fund. The course was successfully completed by 5 participants coming from not only insurance companies and universities, but also from the area of insurance supervision. Subsequently a second postgraduate course Actuarial Mathematics and Insurance took place in This follow-up course consisted of eleven modules, some of which extended the knowledge gained from the earlier course. Apart from passing examinations the participants also defended a final written work. In 997 the Department (in cooperation with the GAD) successfully won an international tender for the PHARE project Actuarial Training in the Slovak Republic, announced by the Ministry of Labour, Social Affairs and the Family of the Slovak Republic and organised for practitioners the course Actuarial mathematics and pensions. Teaching activities in the field of actuarial science allowed for cooperation with institutions in practice and with other universities offering similar actuarial education as well as expansion of research and publication activities of Department members in the field of actuarial science, thereby contributing to improvement of their qualifications. From the academic year 2004/2005 students can study in the accredited study programme Actuarial science, whose current guarantor is Prof. Katarína Sakálová. It is possible to continue study at the 3 rd level, which has already been successfully completed by 2 graduates. Teachers in the DMAS have successfully completed a number of research projects (for example VEGA and KEGA) together with projects for young researchers. The Department works with people from practice, in particular from the Slovak Society of Actuaries (SSA), to help to ensure that the teaching given meets the required standard needed for the training of future actuaries in Slovakia. This cooperation also helps in ensuring that the syllabus for the study programme Actuarial science is kept up to date. The conference programme started with the plenary presentation Sustainability of pension systems in Europe the demographic challenge (the slides from the presentation are given in these proceedings) given by our honorary guest from Great Britain Christopher Daykin. A

8 second plenary presentation was given by Ing. Mária Kamenárová, who for many years has been active in the Board of the SSA, on the subject Valuation of the best estimate of the liabilities under the Solvency II regime. Papers were presented by participants from academia not only from UE, but also from other universities in Slovak and the Czech Republic. Amongst the participants were people from actuarial practitioners from insurance companies, auditors and supervision. The organisers are confident that the conference helped to deepen the cooperation between actuarial academics and practitioners with the aim of improving the knowledge and skills of future actuaries. Editor

9 Sustainability of pension systems in Europe the demographic challenge Christopher Daykin (slides from the lecture) Challenges to sustainability Key issues putting sustainability at risk > ageing population > steadily rising expectation of life > low fertility > outwards migration (for some countries) > lower returns and volatility of investment markets > very low interest rates > increased risk rating of bonds > volatility of equities, property, currency and other assets > weakness of national economies > pressure on employers > limited fiscal headroom Measures of ageing > dependency ratios > contribution capacity relative to benefit expenditure > cost of benefits in payment / income from contributors > proxy measure is old-age dependency ratio > take initially as: Number aged 65 and over / Number aged 5 to 64 > can change from 65 to current (and future pension age) > expectation of life (future life expectancy) > traditionally based on period mortality tables > focus needs to shift to cohort mortality tables > with appropriate allowance for future improvement in mortality Chris Daykin, CB, Hon DSc, MA, FIA, FSA, Hon FFA, Chairman, Social Security Sub-committee Groupe Consultatif Actuariel Européen (Actuarial Association of Europe) Immediate Past Chairman, PBSS Section of the IAA 9

10 Demographic background in EU Old-age dependency ratios in selected countries to 2060 Ageing population all over Europe > low fertility (although it may now be rising a little) > rising expectation of life > especially at 65 and over > inwards migration may help for a few countries > outwards migration may make matters worse > are policies relating to births and migration possible? 0

11 Total fertility rates in selected countries to 2030 Vision of the International Actuarial Association The actuarial profession is recognized worldwide as a major player in the decision-making process within the financial services industry, in the area of social protection and in the management of risk, contributing to the well-being of society as a whole. Groupe Consultatif Social Security Subcommittee GC initiative to establish Social Security Subcommittee > launched with paper on sustainability of pension systems > July 202 > focus on some key issues of demography and ageing > characteristics of more sustainable pension systems > springboard for discussions with MEPs, Commission > also other stakeholders such as > Pensions Europe, Age Platform, AEIP, Eurofound

12 Demographic background in EU Pension age in 2050 to maintain age dependency ratio Country Pension Age United Kingdom 7.7 Hungary 72. France 72.8 Germany 73.9 Italy 74.7 Slovakia 75.0 Netherlands 75.5 Spain 76.0 Expectation of life at 65 on cohort basis, UK 850 to

13 Pension age to maintain cohort expectation of life (E&W) Year Expectation of 2 for males Expectation of 24 for females Over 50 yrs.3 per decade.2 per decade Coordinating pension policy Pension policy in the EU > stability pact on government deficits > 2009 Ageing Report > European Parliament Pension systems in the EU > Directive 2003/4/EC the IORP Directive > Green Paper towards adequate sustainable and safe European pension systems > Security in Occupational Pensions (May 200) - GC > White Paper February 202 > 202 Ageing Report and 202 Adequacy Report > European Semester Process 3

14 The 202 Ageing Report Public pension expenditures in 200 and 2060, % of GDP Country Luxembourg Cyprus Slovenia Belgium Slovakia Germany United Kingdom Sweden Italy Public pension expenditures in 200 and 2060, % of GDP 4

15 The need for reform Problems facing many social security schemes > demographic ageing > effective retirement age even lower than formal age > problems over long-term sustainability > improving financial sustainability may affect adequacy > perverse incentives affecting behaviour, e.g. retirement What is sustainability? How broadly should sustainability be assessed? > sustainable level of expenditure (contributions, etc) > sustainable equilibrium of pension system > financial sustainability may not be politically sustainable > sustainability really only possible if also adequate pensions > narrow adequacy based on reducing income poverty > broader adequacy based on reasonable replacement rates > definition of adequacy should include breadth of coverage > what is included may differ from country to country > apart from pensions there may be housing benefits > and health and long term care are also critical issues > volatile pension outturns may not be sustainable 5

16 Pension Sustainability Index (Allianz Investors) 6

17 Melbourne Mercer Global Pension Index Country Overall index Adequacy Sustainability Integrity Denmark Netherlands Australia Switzerland Sweden Canada Singapore Chile UK Germany USA Poland France China Stable system since 964 Denmark > Basic old-age pension (Folkepension) > paid on basis of residence > flat-rate (not depending on income history) > financed from general revenue (i.e. no contributions ) > ATP (supplementary labour market old-age pension) > mandatory defined contribution > invested by government agency (ATP) > risk parity/diversified growth fund providing equity like returns but without volatility of full equity exposure > capital guarantee on part > employer-sponsored complementary DC plans > with high levels of coverage since essentially compulsory 7

18 Keeping a defined benefit system in place Netherlands > basic old-age pension is flat-rate and non-contributory > financed out of general revenue > employees are members of industry-wide DB schemes > negotiated by collective agreement > compulsory membership as part of those agreements > conditional indexation > contribution rates for employers and employees are fixed > scheme is kept in balance by adjusting indexation raising retirement age adjusting benefits in other ways (e.g. overall reduction) > system under a lot of pressure and due for further reform Australia Mandatory super (or Award Superannuation) > basic social security payable only on a means-tested basis > and also with an asset test > mandatory minimum level of contributions to DC scheme > Super schemes are marketed to employers or industries > Master Trusts (for a variety of employers) > Industry Funds (for particular industries) > minimum contribution rate > this year increased to 9.25% from employers > voluntary contributions from employees > government matching of employee contributions for low income > increasing gradually to 2% by July 209 Basic old-age pension Switzerland > flat-rate > entitlement based on contributions Mandatory second pillar > either defined benefit or defined contribution > minimum requirements laid down 8

19 Steady state pension liability (in years of contributions) 9 th International Scientific Conference Actuarial Science in Theory and in Practise Bratislava Notional defined contribution Sweden individual notional accounts revalorisation by average wage convert to pension at retirement age automatic economic regulator of pensions increase annuity responds to improving mortality automatic balancing mechanism to keep system stable Mandatory funded defined contribution (PPM) wide choice of investment funds modest contributions at 2½% of earnings NDC Sweden Automatic balancing mechanism (actuarial accounting) Annual balance sheet for scheme: Liabilities = present value of all future outlay for pensions in payment + accumulated individual accounts for all persons not yet in receipt of a pension Assets = real assets in buffer fund + value of future contributions Value of future contributions = contribution rate. wage mass. expected turnover duration Expected turnover duration Expected pension-capital-weighted average retirement age Expected Expected income-weighted pension weighted age of income earners age of pensioners Pay-in duration + Pay-out d. = turnover duration 33 years Age group 9

20 Overall evaluation > hailed by some as a success story > imitated (partially) in several other countries > provides a sustainable PAYG system, but > rising concern about expected fall in replacement ratios > and arbitrary effect of automatic balancing mechanism > impact is difficult to communicate and could mean major changes to generosity of benefits without political debate new attempts to communicate the need to retire later Citizenship pension + Kiwisaver New Zealand > basic citizens pension > flat rate of benefit at or just above means-testing level > indexed to national average earnings > eligibility dependent on period of residence in NZ > individual entitlement, whether single or married > Kiwisaver > new, voluntary, work-based savings scheme > automatic enrolment for those starting new job > those in a job are able to join if they wish > contributions from employees at 2%, 4% or 8% > employers must contribute 2% and may contribute more > contributions collected by Inland Revenue through PAYE Multi-pillar system Canada > Old-age security (partly means-tested) > financed from general revenue budgets > Canada Pension Plan (career average DB scheme) > contributions at 9.9% > excess over PAYG rate is invested in markets by CPPIB > actuarial control and automatic adjustment mechanism > three-yearly valuation produces steady state contribution > if steady state rate is higher than 9.9%... > and ministers cannot agree on what to do > then automatic adjustment mechanism is triggered > employer-sponsored pension plans now mostly DC 20

21 Automatic adjustment mechanism > contribution rate is increased over 3 years by half of excess of steady state over 9.9% (subject to maximum increase of 0.2% a year) > benefits are frozen (i.e. not indexed any more) > after 3 years, situation is reviewed following new actuarial valuation Basic flat-rate pensions Some tentative conclusions > perhaps more sustainable than fully earnings-related > citizen s pension approach provides strong basis > more focussed on protection of poor pensioners > often financed out of general revenue (no contributions) > avoids means-tested benefits > provides a solid platform for complementary schemes > Australia has a means-tested alternative Changes to retirement age Retirement age > an obvious choice increases contribution period and reduces pay-out period > but topic is quite politically sensitive? United Kingdom (66 by 2020, 67 by 2028 and 5 yearly reviews) Germany (to 65 by 2009(M), 205(F)) Italy (from 55/50 to 60 and then 65) United States (from 65 to 67 by 2022) Norway (from 65 to 67) 2

22 Finland Finland has been through several reforms, but now > mandatory earnings-related scheme > industry-wide rather than linked to individual employers > basic pension provides a minimum pension guarantee > measured against earnings-related pension > so no general means-test or asset test > very efficient mechanism of providing underpin to income > accrual of pension based on career average earnings > variable accrual rate >.5% a year from 8 to 52 >.9% a year from 53 to 62 > 4.5% a year from 63 to 68 > New approach to dealing with demographic ageing > by introducing life expectancy coefficient: Life expectancy coefficient for year N (>2009) = cohort life expectancy for those reaching 62 in 2009 / cohort life expectancy for those reaching 62 in N Multiply pensions of those reaching 62 in year N by life expectancy coefficient for year N Thus adjusting a DB pension benefit for improving life expectancy UK Combination of reforms > raise retirement age > introduce auto-enrolment > abolish earnings-related State Second Pension > replace by higher flat-rate pension > remove the need for means-tested pension credit Combination of reforms state pension age (SPA) > female SPA increasing to 65 between 200 and 206 > then SPA will go up for all to 66 by 2020 > increase to 67 between 2026 and 2028 > formal review every 5 years > report from Government Actuary on cohort expectation > independent report on wider factors to be taken into account > aims for a fixed proportion of adult life on state pension 22

23 Combination of reforms auto-enrolment > all eligible employees to be auto-enrolled into a plan > aged at least 22 and below State pension age > earning more than 9,500 a year > those auto-enrolled may opt out > automatic re-enrolment after three years >...or on change of employment Combination of reforms auto-enrolment > on qualifying earnings from 6,500 to 49,600 > employer to contribute at least 3% > employee to contribute at least 4% > tax relief on 4% provides another % > full rates being phased in over several years > employer can choose to set a higher minimum level Combination of reforms new state pension > abolish future accrual of State Second Pension > introduce new higher flat-rate basic pension > around 25% of average earnings > high enough so that few people qualify for pension credit > means-testing will largely disappear > public expenditure savings expected by 2050 Sharing longevity risk Some general lessons. target lump sum at retirement and convert to pension using current annuity value funded individual accounts or NDC 2. index retirement age based on cohort expectation of life... or maintain ratio between working and retired periods 3. raise retirement age at intervals to offset rising cost 4. overall adjustment mechanism such as life expectancy coefficient automatic balancing mechanism sustainability index 5. risk-sharing between contributors and pensioners Multi-faceted Further lessons regarding reform 23

24 . More emphasis on underpinning flat-rate basic pension 2. Share retirement risk between stakeholders 3. Including balance between working life and retirement 4. Fairer and more flexible defined benefit models 5. Trend to DC incentivises later retirement 6. Need to find ways of making DC outcomes less volatile Social Security Sub-committee Groupe Consultatif Pensions Committee > new sub-committee of GC Pensions Committee created > promoting paper on sustainability of pension systems > discussions with Commission, MEPS and other stakeholders > agenda includes > methodology for projections for 205 Ageing Report > discussion of Eurostat demographic projections > sustainability of pension systems in the EU > adequacy of reformed pension systems in the EU > disclosure of information to individuals (tracker services) > further work on ageing population and its implications > consumer protection for personal pensions Social Security Sub-committee > methodology for projections for 205 Ageing Report > report to Ageing Working Party of Council > discussion of possible improvements to the methodology > meeting with Eurostat to discuss demographic projections for AWP > case studies presented at recent meeting of the AWP > work on reviewing impact of ISAP2 on projections for AWP Social Security Sub-committee > new task force set up on adequacy of pension benefits > measures of adequacy > other factors to be taken into account in adequacy > adequacy for different categories of participant > use of microsimulation models to measure adequacy Social Security Sub-committee > task force on tracking services > first report published on DK, NL, FI and SE > well-received by DGEmployment and other stakeholders 24

25 > enlarged task force now looking at other countries > considering obstacles to introduction of tracking service > what could be done to develop an EU tracking service? Social Security Sub-committee > comments to DGSanco on Pillar 3 consultation > comments to EIOPA on regulation of Pillar 3 consultation > new taskforce on decumulation with Pension Committee The vision of the Groupe Consultatif is that the actuarial profession is recognized as the driving force of objective and professional advice to decision makers in the financial sectors in Europe. Values of the Groupe Consultatif Independence Objectivity Professionalism Accountability Transparency Relevance 25

26 Valuation of the best estimate of the liabilities under the Solvency II regime Oceňovanie najlepšieho odhadu záväzkov v reţime Solvency II Mária Kamenárová Ing. Mária Kamenárová, Manaţér odboru riadenia rizík a kapitálu ČSOB poisťovňa 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 3

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37

38 38

39 Abstract Assessment of new types of risks in insurance industry Hodnotenie nových druhov rizík v poisťovníctve Zuzana Brokešová 2 Traditional approaches to risk assessment in the insurance industry are mostly highly quantitative and predictive. As a result, they are not adequate or appropriate for the evaluation of new types of risks. These risks are not usually historically recorded and they represent important as well as problematic area for process of insurance companies risk assessment. The paper suggests potentially usable approaches for assessment of new types of risks in the insurance industry by the analysis of the currently used methods. The role of risk assessment is to examine the impact of risk on the insurance company portfolio and consists of three phases: risk identification, risk analysis and risk evaluation. In terms of risk assessment, each phase plays specific role and thus different methods are usable for each phase. Key words risk in insurance, risk assessment, new types of risks JEL Classification: G22, G32. Úvod Nové druhy rizík predstavujú riziká, ktorých frekvencia nastania ani váţnosť dopadov nie sú v súčasnosti dokonale známe. Tento stav je dôsledkom povahy nových druhov rizík ako rizík, ktoré sú spojené buď s úplné novými, meniacimi sa alebo zatiaľ neznámymi javmi. Všeobecne riziká vznikajú najmä v dôsledku vývoja spoločnosti v technologickej, sociálnej i prírodnej oblasti. Ich rozvoj je následne zosilňovaný rastúcou komplexnosťou a prepojenosťou jednotlivých systémov, ako aj snahou našej spoločnosti, aby bol ţivot bezpečnejší a zdravší. Pre sektor poisťovníctva má tento vývoj obzvlášť významný vplyv, keďţe riziko predstavuje jeho základný obchodný artikel. Proces hodnotenie rizík, ktorý je súčasťou manaţmentu rizík komerčnej poisťovne, potom predstavuje kontinuálny a veľmi zloţitý proces, nakoľko v sebe zahŕňa jednak hodnotenie vlastných rizík, a jednak hodnotenie prevzatých rizík, t.j. rizík klientov [9]. Úlohou hodnotenia rizík je preskúmať vplyv daného rizika na portfólio poisťovne a skladá sa z troch fáz: identifikácia rizík, analýza rizík a ohodnotenie rizík. Kaţdá fáza hrá z hľadiska hodnotenia rizika špecifickú úlohu, a teda pre kaţdú fázu sú vyuţiteľné iné metódy. Tradičné prístupy k hodnoteniu rizík v oblasti poisťovníctva sú zväčša silne kvantitatívne a prediktívne, v dôsledku čoho nie sú vyhovujúce ani vhodné pre hodnotenie nových druhov rizík. Tieto totiţ zväčša nedisponujú historicky porovnateľnými dátami a ich hodnotenie teda predstavuje pre poisťovňu problematickú avšak dôleţitú oblasť. Cieľom príspevku je preto pomocou analýzy v súčasnosti vyuţívaných metód hodnotenia rizík v sektore poisťovníctva navrhnúť prístupy vyuţiteľné pre hodnotenie nových druhov rizík. 2 Ing. Zuzana Brokešová, PhD., Katedra poisťovníctva, Národohospodárska fakulta, Ekonomická univerzita v Bratislave, zuzana.brokesova@euba.sk. Článok je výstupom výskumného projektu VEGA číslo /22/ Perspektívy poistného trhu v Slovenskej republike v siločiarach civilizačných výziev. 39

40 2. Techniky využiteľné vo fáze identifikácie nových druhov rizík Prvá fáza fáza identifikácie sa zameriava na detekciu a odhaľovanie existencie nových druhov rizík. Cieľom včasnej identifikácie je vytvorenie dostatočného priestoru na reakciu na vzniknuté riziko. S postupom času ovplyvniteľnosť rizika klesá, zatiaľ čo intenzita indikátorov prudko rastie. Nové druhy rizík však predstavujú špecifickú oblasť. Majú totiţ charakteristické vlastnosti, medzi ktoré patrí komplexnosť, nekalkulovateľnosť, delokalizovanosť ako aj bezhraničné pôsobenie [9]. Často majú navyše systémový a katastrofický charakter. Uceleným prístupom na identifikáciu nových druhov rizík v poisťovníctve sú systémy včasného varovania. 3 Podľa štúdie spoločnosti Zurich Financial Services ide o manažérsky nástroj pre detekciu a prípravu na nové druhy rizík a nečakané udalosti [35, str. 5]. Systémy včasného varovania sú strategickými protiopatreniami, ktoré moţno pouţiť aj pre riziká, ktoré sú nekvantifikovateľné, respektíve ťaţko kvantifikovateľné [25]. Ide v podstate o druh informačného systému, ktorý je schopný v podobe impulzov alebo informácií vopred informovať o tom, ţe prichádza nebezpečenstvo [36]. V rámci tohto systému je v prvom rade potrebné vytvoriť multidisciplinárny tím expertov a osôb, ktoré budú v danom tíme rozhodovať. Vytvoria sa prepojenia medzi jednotlivými členmi tímu a moţnosti komunikácie medzi zapojenými orgánmi. Následne dochádza k určeniu rozsahu systému včasného varovania, kde sa identifikujú predpoklady a vstupné premenné; definuje sa oblasť pôsobenia a ciele; vymedzuje sa terminológia; a vytvára sa systém prepojenia tohto systému s manaţérskym informačným systémom [35]. V tomto momente sú vytvorené základné predpoklady pre fungovanie systému včasného varovania a pristupuje sa k jednej z jeho hlavných náplní: ku skenovaniu prostredia. V rámci neho sa skenuje široké spektrum dostupných zdrojov s cieľom získať informácie o určitom trende. Vyuţívajú sa tu expertné názory, a data miningové / text miningové programy [35]. Z hľadiska expertných techník patria medzi veľmi vhodné u nových druhov rizík najmä: metóda brainstormingu 4, technika Deplhi 5 a štruktúrované a pološtruktúrované rozhovory 6. Metóda brainstormingu je zameraná na stimuláciu a podporu voľných rozhovorov v rámci skupiny expertov [3]. Cieľom je identifikovať potenciálne riziká. Brainstroming však nie je len diskusiou. Obnáša špecifické techniky zamerané na podnietenie myslenia a kladie veľký dôraz na fantáziu [3]. Jeho priebeh môţe byť vedený buď s vopred pripravenými účastníkmi a s vymedzeným účelom a výsledkom, kedy ide o formálny brainstorming alebo môţe byť orientovaný širšie a menej štruktúrovane, kedy ide o neformálny brainstorming [3]. Naproti tomu technika Deplhi predstavuje proces skupinového rozhodovania o pravdepodobnosti výskytu a rozsahu dopadu určitých udalostí [2]. Jej cieľom je získať konsenzus názorov skupiny odborníkov. Tento konsenzus sa povaţuje sa najlepšiu odpoveď na zadanú otázku [2]. Na rozdiel od brainstormingu pri tejto metóde odborníci vyjadrujú svoje názory individuálne a anonymne zväčša pomocou dotazníka [2]. Tento proces prebieha vo viacerých kolách. Po kaţdom kole dopytujúci poskytne všetkým dopytovaným sumár expertných predpovedí z predchádzajúceho kola rovnako ako zdôvodnenie ich rozhodnutí [2]. Experti sú týmto spôsobom povzbudení k zváţeniu ich odpovedí v porovnaní s odpoveďami ostatných členov skupiny z predchádzajúceho kola. Pri identifikácii nových druhov rizík je vhodné vyuţiť aj 3 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre identifikáciu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádzajú napr. [5], [22], [35]. 4 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre identifikáciu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádzajú napr. [], [27], [34]. 5 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre identifikáciu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [2]. 6 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre identifikáciu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [2]. 40

41 štruktúrované a pološtruktúrované rozhovory s expertmi na rôzne oblasti. V rámci štruktúrovaného rozhovoru sú dopytovaní poţiadaní o zodpovedanie vopred pripravených otázok. Nabáda teda respondenta nahliadať na situáciu z rôznych uhlov. Naproti tomu pološtruktúrovaný rozhovor umoţňuje väčšiu slobodu [3]. Táto technika je výhodná najmä vtedy, ak nie je moţné dosiahnuť stretnutie jednotlivých členov pre realizáciu brainstormingu. 3. Techniky využiteľné vo fáze analýzy nových druhov rizík Druhou fázou hodnotenia rizík je analýza rizík. Cieľom tohto kroku je spracovať tendencie a riziká identifikované v predchádzajúcom kroku hodnotenia rizika. Vzhľadom na charakter nových druhov rizík je v rámci tohto kroku moţné vyuţiť najmä tri základné techniky, a to analýzu scenárov 7, metódu Monte Carlo 8 a Bayesovské siete 9. Prvú z vyuţiteľných techník predstavuje analýza scenárov 0, ktorá je zaloţená na popise modelov zameraných na analýzu budúceho vývoja [3] a je moţné ju vyuţiť pri vytváraní budúcich stratégií. Sady scenárov môţu odráţať tak najlepší, najhorší stav, ako aj očakávaný stav. Analýza týchto scenárov následne slúţi na identifikáciu budúceho stavu, ktorý môţe za určitých vopred stanovených okolností nastať. Jej výsledkom je zároveň identifikácia predpokladaných dôsledkov jednotlivých scenárov a pravdepodobností ich nastania [2]. Keďţe je analýza scenárov zameraná aj na identifikáciu kauzality [9, str. 2] je mimoriadne vhodná pre oblasť nových druhov rizík. Tvorba scenára je v prvom rade zaloţená na definovaní rizika alebo oblasti záujmu ako aj vytvorení expertného tímu, zloţeného z odborníkov zameriavajúcich sa tak na skúmané ako aj pridruţené oblasti. Široko zameraný tím pomáha prekonať určité stereotypy myslenia, zníţiť obmedzenú racionalitu úzko zameranej skupiny odborníkov a rozšíriť moţnosti mentálnych modelov jednotlivých účastníkov. Na túto fázu nadväzuje identifikácia faktorov ovplyvňujúcich riziko, získanie poţadovaných dát alebo informácií a tvorba metodológie na získanie technických výsledkov. Po dokumentácii zistených výsledkov je správnosť vyuţitej metodológie, modelu a procesov verifikovaná. Ak je tento proces úspešný, zistené výsledky môţu byť vyuţité a posunuté do ďalšej fázy hodnotenia rizík [3]. Vytvorené scenáre môţu mať buď deterministický (zamerané skôr intuitívne) alebo stochastický (zamerané skôr matematicky) charakter [3]. Analýza zaloţená na deterministických scenároch zväčša zahŕňa menšie mnoţstvo scenárov, ktoré navyše môţu mať aj historický charakter a teda byť zaloţené na existencii historických dát. Avšak vzhľadom na relatívny nedostatok respektíve úplnú absenciu historických dát u nových druhov rizík je preto oveľa vhodnejšie vyuţiť hypotetické scenáre [3], zaloţené na názoroch expertov [2]. Druhým typom scenárov sú stochastické scenáre zaloţené na veľkom mnoţstve simulácií vytváraných zmenou parametrov a vstupných premenných [3]. Druhou metódou vyuţiteľnou pri hodnotení rizika je modelovanie pomocou metódy Monte Carlo. Táto metóda môţe pomôcť pri riešení zloţitých systémov rizík, ktoré nie je moţné modelovať pomocou analytických techník ale môţu byť hodnotené s vyuţitím vstupov ako náhodných premenných a realizáciou veľkého mnoţstva výpočtov (tzv. simulácií) [3]. Modelovanie metódou Monte Carlo vytvára sériu simulácií, ktoré môţu byť vyuţité na analýzu rozptylu škôd a očakávanej pravdepodobnosti ich nastania [2]. Výsledkom tohto 7 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre analýzu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádzajú napr. [], [4], [7]. 8 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre analýzu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [2]. 9 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre analýzu nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [33]. 0 Hoci je analýza scenárov vyuţiteľná aj vo fáze identifikácie nových druhov rizík oveľa širšie vyuţitie nachádza vo fáze analýzy rizík. Mentálne modely reprezentujú ako jednotlivci chápu. Pre viac informácií pozri napríklad [8]. 4

42 modelovania môţe byť jediná hodnota, pravdepodobnosť alebo rozdelenie početnosti, prípadne môţe ísť o identifikáciu hlavných funkcií v modeli. 2 Ďalšou metódou vyuţiteľnou vo fáze analýzy nových druhov rizík je Bayesovský prístupu, konkrétne Bayesovská štatistika a Bayesove siete. Tento prístup je zaloţený na subjektívnej interpretácii pravdepodobnosti [3]. Hlavnou výhodou Bayesovského prístupu je vyuţitie expertných názorov ako robustného štatistického nástroja [33]. Tento prístup môţe byť vyuţitý v rovnakom rozsahu ako klasická štatistika so širokým spektrom výstupov. Bayesovská štatistika je zaloţená na Bayesovej vete, ktorá predstavuje jednoduchú matematickú formulu vyuţívajúcu sa na výpočet podmienených pravdepodobností. Od klasickej štatistiky sa líši v tom, ţe nepredpokladá, ţe všetky parametre rozdelenia sú fixné ale chápe ich ako náhodné premenné. Bayesovské vnímanie pravdepodobnosti je spojené s určitým stupňom viery a ide o meranie hodnovernosti udalosti s nekompletnými informáciami [33]. Bayesove siete vychádzajú z aplikácie Bayesovskej štatistky a vyuţívajú grafický model na reprezentáciu skupiny premenných a ich pravdepodobnostných vzťahov. Táto sieť sa skladá z uzlov, ktoré reprezentujú náhodné premenné a šípok, ktoré prepájajú hlavné a podriadené uzly [3]. Vyuţívajú sa na určenie kauzálnych vzťahov, čím pomáhajú pochopiť podstatu problému a predikovať následky intervencie [3]. Analýza pomocou Bayesovej siete sa skladá z definovania systémových premenných, vymedzenia kauzálnych vzťahov medzi premennými, špecifikácie podmienených a základných pravdepodobností, pridania dôkazov do siete, vykonania aktualizácie spojenej s dôkazmi a extrakcie následných výsledkov [3]. 4. Techniky využiteľné vo fáze ohodnotenia nových druhov rizík Poslednou, treťou fázou hodnotenia rizík, je ohodnotenie rizika. Všeobecne táto fáza zahŕňa posúdenie prijateľnosti rizika a rozhodovanie o spôsoboch jeho zvládania [32, str. 6]. Pre poisťovateľov predstavuje ohodnotenie dopadov skúmaného rizika na portfólio poisťovne s ohľadom na jeho rizikovú toleranciu a potrebu solventnosti. Medzi techniky vyuţiteľné na ohodnotenie nových druhov rizík patrí matica dopad / pravdepodobnosť 3, analýza nákladov a výnosov 4, viackriteriálne rozhodovanie 5 a metóda pouţívajúca Value at Risk (VaR) 6. Prvou z navrhovaných techník je matica dopad / pravdepodobnosť. Jej formát je závislý od vyuţitého kontextu. Identifikované a analyzované riziká sú zaradené do matice podľa pravdepodobnosti a výšky ich moţného dopadu. V rámci matice sú potom vymedzené oblasti, ktoré sú pre spoločnosť akceptovateľné; tie ktoré treba ošetriť; a tie ktorým sa treba vyhnúť. Jednotlivé oblasti matice zobrazujú kombináciu pravdepodobnosti nastania rizika a jeho dôsledkov. Výsledky môţu byť vyjadrené ako typy dôsledkov (napríklad finančné dopady, bezpečnosť, prostredie, a pod.) alebo ako ich závaţnosť, a to buď slovnou (napríklad nízka závaţnosť, stredná závaţnosť a vysoká závaţnosť) alebo numerickou formou. Rovnako aj pravdepodobnosť býva zväčša vyjadrená slovnou alebo numerickou formou. Poisťovateľ si musí stanoviť, ktoré oblasti matice, v závislosti od výšky pravdepodobnosti a rozsahu dopadov, sú ešte akceptovateľné, a ktoré treba ďalej riešiť. Následne sú identifikované a analyzované riziká zaradené do matice, čím sa zároveň stanoví ich závaţnosť. Mnohé rizikové udalosti však môţu mať celý rad výstupov, ktoré sú navyše spojené s rôznou pravdepodobnosťou. Je teda potrebné stanoviť, či bude poisťovňa zaraďovať jednotlivé riziká 2 Priebeh modelu je spracovaný podľa [3]. 3 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre ohodnotenie nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [29]. 4 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre ohodnotenie nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [25]. 5 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre ohodnotenie nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [8]. 6 Vyuţiteľnosť tohto prístupu pre ohodnotenie nových druhov rizík v sektore poisťovníctva uvádza napr. [2]. 42

43 v závislosti od častosti alebo závaţnosti jeho dopadov. V mnohých prípadoch je vhodné zamerať sa na najzávaţnejšie výsledky, pretoţe tie predstavujú najväčšiu hrozbu i najväčšie obavy. Aj keď je táto matica relatívne jednoduchým a rýchlym spôsobom ohodnotenia rizík, stanovenie stupnice môţe byť povaţované za subjektívne a u zloţitých rizík môţe byť pomerne zloţité ich zaradenie do matice. Druhou technikou vyuţiteľnou na ohodnotenie nových druhov rizík je Analýza nákladov a výnosov. Pri tomto type analýzy sú celkové náklady na riziko porovnávané s výnosmi. Tie môţu byť vyjadrené buď kvalitatívne, a to porovnaním súhrnu predpokladaných nákladov a predpokladaných výnosov vyjadrených v nepeňaţnej forme vrátane ich vzájomných vzťahov, alebo kvantitatívne vo forme peňaţných jednotiek diskontovaných do súčasnosti. Pri tejto analýze sa zvaţujú priame aj nepriame náklady a výnosy. Priame výnosy sú tie, ktoré vyplývajú priamo z prijatých opatrení, zatiaľ čo nepriame či vedľajšie prínosy, tie ktoré vznikajú náhodne, avšak môţu významne prispieť k rozhodnutiu. Ak existuje neistota ohľadom výšky nákladov alebo výnosov, berie sa do úvahy aj pravdepodobnosť ich nastania [3]. Tretím typom analýzy vyuţiteľnej na ohodnotenie nových druhov rizík je viackriteriálne rozhodovanie. Ide o subjektívny nástroj na podporu zložitého rozhodovania, ktorého cieľom je ohodnotiť sadu možností [2, str. 372]. Identifikácia rôznych kritérií zahŕňa vymedzenie funkcie uţitočnosti poisťovateľa. Táto funkcia v porovnaní s analýzou nákladov a výnosov, neobsahuje iba jedno kritérium ale skladá sa z viacerých kritérií [2]. Analýza zahŕňa vytvorenie matice moţností a kritérií, ktoré sú zoradené a agregované tak, aby poskytli ohodnotenie kaţdej moţnosti [3]. V prvom rade je teda potrebné vymedziť parametre modelu, ako: alternatívne moţnosti, rozhodovacie kritériá, preferencie a vhodnosť jednotlivých alternatív vzhľadom na zvolené kritériá. V nadväznosti na stanovené parametre modelu sa pristúpi k uplatneniu rozhodovacieho algoritmu, ktorý zoradí kaţdú alternatívu od najviac po najmenej preferovanú. Následne môţu byť jednotlivé výsledky modelu interpretované a dochádza k prehodnoteniu modelu a prípadnej zmene parametrov modelu [8]. Výsledkom je vytvorenie poradia preferencií medzi dostupnými moţnosťami. Špecifickým prístupom vyuţiteľným na ohodnotenie nových druhov rizík v sektore poisťovníctva je vyuţite techniky vyuţívajúcej Value at Risk (VaR), ktorá je definovaná ako najhoršia možná predpovedaná strata, ku ktorej môže dôjsť s vopred stanovenou pravdepodobnosťou v určenom budúcom období [24, str. 9]. Pouţitím metódy vyuţívajúcej VaR teda poisťovňa môţe získať odpoveď na otázku: Akú najhoršiu stratu môţe v danom portfóliu poistných zmlúv očakávať v určitom časovom horizonte s vopred určenou pravdepodobnosťou? [24] Táto technika vychádza z odhadu distribučnej funkcie budúceho rozdelenia pre fixný časový horizont, kde sa identifikujú jednotlivé rizikové faktory, meria sa ich variabilita a korelácie a analyzujú sa distribučné rozdelenia s ťaţkými koncami. Následne dochádza k determinácii miery rizika [5]. Vyuţiteľnosť tejto metódy však môţe byť narušená niektorými jej negatívnymi vlastnosťami, ako napríklad problematickým zachytávaním málo pravdepodobných strát. 7 Na ohodnotenie nových druhov rizík je preto vhodnejšia metóda vyuţívajúca Conditional Value at Risk (cvar). Túto hodnotu je moţné chápať ako očakávanú stratu prevyšujúcu danú hodnotu VaR [6]. Jej výhodou je, ţe pomocou nej môţeme získať okrem informácií o pravdepodobnosti, pri ktorej strata prekročí určitú hranicu, aj informácie o frekvencii škody, ako aj jej očakávanej výške [6]. cvar tak zachytáva aj riziká veľmi málo pravdepodobné avšak s obrovským rozsahom. Zhodnotením akceptovateľnosti, respektíve neakceptovateľnosti rizika je proces hodnotenia rizika uzavretý. Nastupuje ďalšia fáza riadenia rizík, v rámci ktorej sa realizujú opatrenia na 7 Pre viac informácií pozri [30]. 43

44 zníţenie rizika. V poisťovníctve môţe táto fáza znamenať aj presun tohto rizika z oddelenia riadenia rizík do oddelenia inovácií a nasleduje vytvorenie nového poistného produktu. Tu nastupujú upisovatelia a aktuári, ktorí oceňujú a ohodnocujú 8 dané riziko. Na čo môţu vyuţiť rôzne aktuárske techniky napríklad v ţivotnom poistení sa na ocenenie produktov pouţíva Metóda testovania zisku, kde sa okrem určenia poistného určuje aj očakávaný zisk. 9 Podľa niektorých odborníkov 20 sú však nové druhy rizík za hranicami súčasných techník upisovania, oceňovania a moţností aktuárskych výpočtov rozsahu a frekvencie vyvolaných škôd. Tradičné techniky aktuárskeho modelovania totiţ sú pri nových druhoch rizík ťaţko vyuţiteľné [4]. Príčinou je najmä problematická dostupnosť, respektíve nedostupnosť dát o hodnote škodových udalostí spôsobených v dôsledku prejavov nových druhov rizík ako aj pravdepodobnosti ich nastania. Kým sa poisťovňa rozhodne upísať riziko, či uţ ţivotného, majetkového alebo zodpovednostného charakteru, musí posúdiť výšku poistného s cieľom zabezpečenia konkurencieschopnosti [7]. Z hľadiska poisťovní to môţe znamenať aj vyuţitie zaistenia, spolupoistenia resp. aj poisťovacích poolov. 2 Problematikou aktuárskych metód sa však v príspevku vzhľadom na jej rozsah i tému nezaoberáme. 5. Záver Cieľom príspevku bolo pomocou analýzy v súčasnosti vyuţívaných metód hodnotenia rizík v sektore poisťovníctva navrhnúť prístupy vyuţiteľné pre hodnotenie nových druhov rizík. Hodnotenie nových druhov rizík predstavuje dôleţitú súčasť riadenia rizík v poisťovníctve. Pre narábanie s novými druhmi rizík musia poisťovne totiţ tieto riziká najskôr dokázať efektívne hodnotiť, čo je v nadväznosti na charakter nových druhov rizík značne problematické. Pri týchto rizikách totiţ nielenţe neexistujú historické údaje o rozsahu ich pôsobenia a častosti ich nastania, u mnohých z týchto rizík nie je jasný ani zdroj ich vzniku alebo ich priebeh. V dôsledku toho neexistujú ani skúsenosti s nakladaním s nimi. Mnohé z týchto rizík majú navyše katastrofický a systémový charakter, čo znamená, ţe jeden impulz dokáţe spôsobiť obrovské mnoţstvo škôd, ktoré sú navyše prepojené. Metodicky sa hodnotenie nových druhov rizík skladá sa z troch fáz: identifikácia rizík, analýza rizík a ohodnotenie rizík. Kaţdá fáza hrá z hľadiska hodnotenia rizika špecifickú úlohu, a teda pre kaţdú fázu sú vyuţiteľné iné metódy. Pričom z hľadiska nových druhov rizík predstavuje práve prvá fáza hodnotenia rizík identifikácia nových druhov rizík najvýznamnejšiu oblasť. Včasná detekcia nových druhov rizík totiţ vytvára pre poisťovňu strategickú výhodu. V ostatných dvoch fázach hodnotenia rizík totiţ uţ riziko nie je moţné plnohodnotne chápať ako nový druh rizika. Dovolíme si tvrdiť, ţe po fáze úspešnej identifikácie rizika toto prechádza od nového druhu rizika k riziku so špecifickými vlastnosťami. Z teoretického hľadiska môţu poisťovne počas identifikácie rizík vyuţiť viacero techník hodnotenia rizík. V súvislosti s charakterom nových druhov rizík majú najvýznamnejšie postavenie najmä metódy zaloţené na expertných názoroch. Na identifikáciu nových druhov rizík potom vyuţívajú jednak konfrontáciu názorov týchto odborníkov, ako aj ich spoluprácu. Okrem expertných názorov pouţívajú zaisťovne v praxi aj rôzne softvérové nástroje. Tieto fungujú na báze identifikácie rôznych indikátorov, či uţ v existujúcich údajoch alebo textoch. Druhou fázou hodnotenia rizík je analýza nových druhov rizík. Z hľadiska 8 Podľa [2] oceňovanie rizík predstavuje určenie hodnoty poistného, zatiaľ čo ohodnocovanie rizika predstavuje určovanie aktuálneho hodnoty, a teda hodnoty technických rezerv. 9 Pre viac informácii o tejto téme pozri [28]. 20 Napríklad [0] alebo [23]. 2 Poisťovací pool predstavuje zoskupenie, v ktorom určitý počet poisťovateľov súhlasí s prepojením, zjednotením svojich aktivít na danom riziku alebo v určitom konaní [6, str. 3]. 44

45 teórie sú v tejto fáze vyuţiteľné najmä: analýza scenárov, metóda Monte Carlo a Bayesove siete. Všetky tri tieto metódy zohľadňujú charakteristické vlastnosti nových druhov rizík. V poslednom kroku ohodnotenie rizika - poisťovňa zväčša hodnotí, či dané riziko môţe zasiahnuť do jej fungovania z hľadiska jej solventnosti a likvidity. Z teoretického hľadiska je v tejto fáze moţné pri hodnotení nových druhov rizík vyuţiť maticu dopad / pravdepodobnosť, analýzu nákladov a výnosov, viackriteriálne rozhodovanie alebo metódu vyuţívajúcu Value at Risk. Touto fázou je proces hodnotenia rizík ukončený a nasleduje fáza realizácie opatrení na zníţenie rizika. Pre poisťovne to znamená zavádzanie opatrení na zníţenie rizika, ktoré je vyhodnotené ako negatívne, ale tieţ prístupy na začlenenie rizika, ktoré je vyhodnotené ako poistiteľné. Literatúra [] BARNEY, B.: Developing an Emerging Risk Strategy. Enterprise Risk Management Symposium. [online]. Chicago : Society of actuaries, 200. [cit ]. Dostupné na internete: < [2] BELTON, V., STEWART, T. J.: Multiple criteria decision analysis: an integrated approach. Kluwer Academic Publishers, Boston, [3] BILÍKOVÁ, M. LUFFRUM, G. SAKÁLOVÁ, K : Moderné metódy aktuárskych výpočtov v ţivotnom poistení. Evropské finanční systémy 2008: sborník příspěvků z mezinárodní vědecké konference. Masarykova univerzita, Brno, [4] Canadian Underwriter: Complexity of emerging risks outstripping cat models' capacity to forecast losses. Canadian Underwriter. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < [5] DAŇHEL, J. a kol.: Pojistná teorie. Professional Publishing, Praha, [6] DRUGDOVÁ, B.: Poistenie zahraničných rizík. Vydavateľstvo EKONÓM, Bratislava, [7] Financial Web.: Insurance Companies' Risk Evaluation Procedures. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < [8] GENTRER, D., STEVENS, A. L.: Mental Models. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale, 983. [9] GROBSTEIN, P.: From complexity to emergence and beyond: Towards empirical nonfoundationalism as a guide for inquiry. Soundings, Vol. 90, No. -2 (2007), pp [0] CHARPENTIER, A.: Emerging risks: an actuarial perspective. Assessment and migitation of emerging risks. [online]. Université de Rennes a École Polytechnique, Paris, [cit ]. Dostupné na internete: < [] International Actuarial Association: Practice note on enterprise risk management for capital and solvency purposes in the insurance industry : výskumná štúdia. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < l/files/documents/pdf/iaapracticenote.pdf>. [2] International Actuarial Association. 200: Comprehensive actuarial risk evaluation (CARE). [online]. International Actuarial Association, Ottawa, 200. [cit ]. Dostupné na internete: < CARE_EN.pdf>. [3] ISO 300:2009 : Risk management - Risk assessment techniques. 45

46 [4] JOURDAN, C., MICHAELSON, C.: Extending Enterprise Risk Management (ERM) to address emerging risks. [online]. PricewaterhouseCoopers, London, [cit ]. Dostupné na internete: < wcglobalriskserm.pdf> [5] KSLIN, B.: Early Detection and Management of Emerging Risks in the Financial Services Industry: Lessons from Insurance Businesses. In HABEGGER, B. (ed.) International handbook on risk analysis and management: Professional experiences. Center for Security Studies, Zurich, s [6] KOŠUT, L : Riadenie rizika komerčnej poisťovne: diplomová práca. Masarykova Univerzita, Brno, [7] KURT, K.: Benefits of Scenario Analyses. In Property Casualty 360. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < 9/07/3/benefits-of-scenario-analyses>. ISSN [8] LINKOV, I., SEAGER, T. P.: Coupling Multi-Criteria Decision Analysis, Life-Cycle Assessment, and Risk Assessment for Emerging Threats. Environmental Science and Technology. Vol. 45, No. 2 (20), pp [9] LITTVOVÁ, Z., MARKO, P., VACHALKOVÁ, I.: Riziko v poisťovníctve. Ekonóm, Bratislava, 202. [20] LOCKLEAR, K.: Emerging Risk: An Integrated Framework for Managing Extreme Events. Enterprise Risk Management Symposium. [online]. Casualty Actuarial Society, Chicago, 20. [cit ]. Dostupné na internete: < um.org/20/pdf/cp_extreme-integrated-framework-locklear.pdf>. [2] LONGO, G., ROSATO, P., ZANIN, L. T.: Multiple criteria analysis and its evaluation. In Proceedings of the 7th World congress on inteligent systems. TRL, Italy, [22] MAYNARD, T.: Climate changes: Impacts on insurers and how they can help with adaptation and mitigation. The Geneva papers on risk and insurance Issues and Practice. Vol. 33, No. (2008), pp [23] MERKEL, M.: How does Zurich spot emerging risks? Zurich Financial Services Pushing the boundary: Risk management beyond insurance. [online]. Zurich Financial Services, Zurich, 200. [cit ]. Dostupné na internete: < ch.com/internet/main/sitecollectiondocuments/insight/pushing_the_boundary.pdf>. [24] MUCHA, V.: Určenie hodnoty Value at Risk využitím simulačnej metódy Monte Carlo v neživotnom poistení. Zborník z 3. medzinárodnej konferencie Řízení a modelování finančních rizik. VŠB-TU Ostrava, Ostrava, [25] OECD: Emerging Risks in the 2st century an agenda for action. OECD Publishing, Paris, [26] OEHMEN, J. Early Warning Systems: Understanding, Monitoring and Managing Critical Supply Chain Risks. ISCRIM Seminar. [online]. Swiss Federal Technology Institute Zürich, Lappeenranta, Dostupné na internete: < z.ch/papers/early_warning_systems_scm_-_ pdf>. [27] RICHARDSON, B., GERZON, P.: Emergent risks : výskumná štúdia. [online]. The Institut of Risk Management, London, [cit ]. Dostupné na internete: < [28] SAKÁLOVÁ, K. Oceňovanie produktov v životnom poistení. Vydavateľstvo EKONÓM, Bratislava, 200. [29] SCHMID, G.: Emerging risk The next crisis? One Whitehall Place Conference, [30] STRNAD, P.: Řízení tržních rizik pomocí Value at Risk úskalí a problémy. Risk management. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < -management.cz/clanky/petrstrnad-valueatrisk.pdf>. 46

47 [3] Swiss Reinsurance Company: Scenario analysis in insurance. Sigma. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < a_2009_en.pdf>. [32] VEBER, J. a kol.: Management: základy, moderní manažerské přístupy, výkonnost a prosperita. Management Press, Praha, [33] VERNOR, J., SOUBHAGYA P., McGUIRE, R.: Identification of Emerging Risk Using Bayesian Conditional Probability. Enterprise Risk Management Symposium. [online]. Society of actuaries, Chicago, 200. [cit ]. Dostupné na internete: < [34] ZOLKOS, R.: Complex processes employed to identify emerging risks. In Business Insurance. [online] [cit ]. Dostupné na internete: < ssinsurance.com/article/ /issue0/ >. [35] Zurich Financial Services: Pushing the boundary: Risk management beyond insurance. [online]. Zurich Financial Services, Zurich, 200. [cit ]. Dostupné na internete: < ing_the_boundary.pdf>. [36] ZUZÁK, R., KÖNIGOVÁ, M.: Krizové řízení podniku. Grada Publishing, Praha,

48 Abstract Linear recursion Lineárne rekurzie Jozef Fecenko The article deals with applications of linear recursion with constant and variable coefficients for the calculation of probability functions that could be used in risk theory. It presents several generalizations of Fibonacci distribution, calculation methods of their values using linear recursion and a probability generating function. For solve problems have been used open source system Maxima, especially its procedure "pade". Key words Panjer recursion, Sandt s class distribution Rk ( ab,, ) linear recursion, discrete probability distributions, probability generating functions, Fibonacci probability distribution, generalizations of Fibonacci distribution, difference equations, Pade approximation, continued fractions JEL Classification: C63 0 Úvod V teórii rizika je všeobecne známy Pajerov rekurentný vzorec b pn( n) a pn( n ), n, 2, 3,..., () n kde a, b sú konštanty, za predpokladu, ţe pre hodnotu pravdepodobnostnej funkcie p N platí, p (0) 0 N a je splnený vzťah p ( ). N n Triedu týchto pravdepodobnostných funkcii Panjer n0 označil (a, b, 0). Rovnica () je v podstate nelineárna diferenčná rovnica prvého rádu s premenným koeficientom a so začiatočnou podmienkou pn (0) 0. Jej všeobecne riešenie nevieme explicitne vyjadriť. Poznáme však pre špeciálne hodnoty a, b explicitne vyjadrenie p ( ) N n, n 0,,2,.... Sundt a Jewell (v [6]) ukázali, ţe Poissonove, geometrické, negatívne binomické a binomické rozdelenie sú jedine rozdelenia vyhovujúce vzťahu (). Nekonečné rady a pravdepodobnostné funkcie Lemma. Nech an je nekonečný rad s nezápornými členmi, z ktorých aspoň jeden je n0 nenulový a nech tento rad konverguje a jeho súčet je s. Potom a n p( n), n 0,, 2, 3,... (2) s definuje pravdepodobnostnú funkciu diskrétnej náhodnej premennej. doc. RNDr. Jozef Fecenko, CSc. Katedra matematiky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská cesta /a, Bratislava. jozef.fecenko@euba.sk. Príspevok bol spracovaný v rámci riešenia projektu: VEGA č./093/: Analýza a modelovanie rizík v zmysle kvantitatívnych štúdií QIS projektu SOLVENCY II. 48

49 Pravdepodobnostná vytvárajúca funkcia diskrétneho rozdelenia, ktoré je dané vzťahom (2) je Lemma 2. Nech nenulový a nech an n G( z) z, (3) s n0 an je nekonečný rad s nezápornými členmi, z ktorých aspoň jeden je n0 n aq n je mocninový rad, ktorý konverguje aspoň pre jedno q 0. Označme n0 jeho súčet označíme sq. ( ) Potom n aq n p( n), n 0,, 2, 3,... (4) sq ( ) definuje pravdepodobnostnú funkciu diskrétnej náhodnej premennej. Príklad. Uvaţujme geometrický nekonečný rad q q q, q (5) ktorý konverguje pre q. Vynásobením rovnice (5) s q, dostaneme ( q) ( q) q ( q) q ( q) q, pravdepodobnostnú funkciu geometrického rozdelenia n n p( n) ( q) q pq, n 0,, 2, 3,, ktorej pravdepodobnostná vytvárajúca funkcia je n n q p G( z) ( q) q z. n0 qz qz Odpovedajúca lineárna rekurzia má tvar Veta. Racionálna funkcia s vlastnosťou G(). Gz () p( n ) q p( n), p(0) p, n 0,, 2, 3, b b z... b z je vytvárajúcou funkcia pravdepodobnosti pn ( ) n 0 m 0 m (6) 2 k cz c2z ck z práve vtedy, ak existuje lineárna rekurzia s konštantnými reálnymi koeficientmi a, a2, a3,, ar, r N, ţe platí pn ( ) 0, pre n. 2, 3, p(0) b0 p( n) a p( n ) a p( n 2) a p( n r) 0, n, 2, 3, n0 pn ( ). 2 r (7) 49

50 Dôkaz: Nech (6) je pravdepodobnostná vytvárajúca funkcia, t. j. m 2 b0 bz... bm z G( z) p(0) p() z p(2) z... 2 k cz c2z ck z, (8) Poznamenajme najskôr, ţe absolútny člen polynómu v menovateli musí byť rôzny od nuly. Inak by nekonečný rad v (8) nekonvergoval. Preto je moţne racionálnu funkciu upraviť tak, ţe absolútny člen polynómu v menovateli je rovný jednej, ako je to uvedené vo vzťahu (6) a (8). 2 Vynásobme rad (8) polynómom c z c z k c z. Po úprave dostaneme 2 2 p(0) p() c p(0) z p(2) c p() c p(0) z... b b z... b z 2 0 Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách z dostaneme rekurentný vzťah pre výpočet hodnôt pravdepodobnostnej funkcie, ktorý môţeme všeobecne vyjadriť takto p(0) 0 pre n, 2, 3,, p( n) b c p( n ) c p( n 2) c p( n k), n 0,, 2,, n 2 bn 0 pre n m, m 2, m 3, Určili sme lineárnu rekurziu s konštantnými koeficientmi, ktorá generuje pravdepodobnostnú funkciu p. Obrátene. Nech je daná pravdepodobnostná funkcia p prvým členom p(0) 0 a rekurentným vzťahom p( n) 0, pre n, 2, 3, (0) p( n) cp( n ) c2p( n 2) cr p( n r) 0, n, 2, 3, pričom n0 pn ( ). Hľadajme vytvárajúcu funkciu tejto pravdepodobnostnej funkcie v tvare m 2 b0 bz... bm z G( z) p(0) p() z p(2) z... () 2 r c z c z c z k k 2 r 2 Vynásobením () polynómom c z c z c z dostaneme 2 2 m p(0) p() c p(0) z p(2) c p() c p(0) z... b b z... b z (2) 2 0 Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách z dostaneme všeobecný rekurentný vzťah na výpočet koeficientov polynómu v čitateli vzťahu (2) p( n) 0 pre n, 2, 3, bn p( n) cp( n ) c2p( n 2) crp( n r), n 0,, 2,, Poznamenajme, ţe vzhľadom na rekurentný vzťah (9) bude bk 0 pre k m, m 2, m 3,, kde k je nejaké prirodzené číslo. Kvôli úplnosti spomeňme, ţe pre určenie rekurzie nemusí byť daná len jedna štartovacia hodnota Poznámka. Diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti splňujúce vzťah (7) je špeciálnym R ab,, prípadom triedy diskrétnych rozdelení, ktoré nórsky aktuár Bjørn Sundt [5] označil a( a, a,..., a ), b ( b, b,..., b ), ktoré spĺňa rekurziu kde 2 k 2 k r r m m m k (9) 50

51 pn ( ) 0, n, 2, k bi (3) ai p( n i), n, 2, i n Príklad 2. Daná je pravdepodobnostná funkcia vymenovaním prvých jej 5 členov p(0) p, p() 3 p q, p(2) 6p q, p(3) 0 p q, p(4 ) 5p q,... Nájdite vytvárajúcu funkciu tejto postupnosti. Riešenie. Je pravda, ţe postupnosť nemusí byť jednoznačne určená vymenovaním niekoľkých jej prvých členov. Preto sa budeme snaţiť nájsť racionálnu vytvárajúcu funkciu pravdepodobnosti, tak aby stupeň polynómu čitateľa aj menovateľa bol podľa moţnosti čo najmenší. Na riešenie pouţijeme open source systém MAXIMA a procedúru na hľadanie Padeho aproximácií Vidíme, ţe pokus o nájdenie vytvárajúcej funkcie, ktorej stupeň čitateľa je nanajvýš a stupeň menovateľa nanajvýš 2 (G) bol neúspešný. Program nám našiel vytvárajúcu funkciu G2 3 3 p p 3 G2 ( z) qz qz, čo je vytvárajúca funkcia Negatívne Binomického rozdelenia NBi(3,p). Pripomeňme, ţe namiesto p a q sme mohli zvoliť konkrétne hodnoty, také ţe pq a procedúra pade v MAXIME by rovnako úspešne našla vytvárajúcu funkciu postupnosti. Zároveň z výpočtu (z %o3) vyplýva lineárna rekurzia pre uvedené rozdelenie p( n) 0, n, 2, 3, p 3 (0) p, 2 3 p( n) 3 qp( n ) 3 q p( n 2) q p( n 3), n, 2, 3, Poznamenajme, ţe existuje ešte jedna lineárna rekurzia, ktorej koefiecient nie je konštantný, ale závisí od n, ktorá je Panjerovho typu 3 p(0) p, 2 p( n) q p( n ), n, 2, 3, n ktorá je pre numerické výpočty výhodnejšia. 5

52 . Fibonacciho rozdelenie pravdepodobnosti Príklad 3. Uvaţujme Fibonacciho postupnosť F F F, F, F, (4) Zrejme rad Fn diverguje. n0 n n n2 0 Rovnica (4) je lineárna diferenčná rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi so začiatočnými podmienkami. Jej všeobecné riešenie je n 5 5 Fn C C2, n 0,, 2, 2 2 (5) Konštanty C, C 2 je moţne určiť z počiatočných podmienok F0, F. Zo vzťahu (5) vyplýva, ţe Fibonacciho postupnosť je postupnosť exponenciálného typu. Vytvárajúcou funkciou Fibonacciho postupnosti je funkcia n G( z). 2 Fn z (6) zz n0 2 Nekonečný rad v (6) konverguje pre z 0, Nech z, 5 5, potom 2 n ( z z ) F z. n0 Posledný vzťah definuje pravdepodobnostnú funkciu diskrétnej náhodnej premennej 2 n 2 p( n) ( z z ) z Fn, n 0,, 2, 3,... pre z 0, 5 (7) Jej vytvárajúca funkcia pravdepodobnosti je 2 2 n n 2 zz H( t) ( z z ) Fn z t ( z z ) G( zt) 2 2 n0 zt z t (8) Veta 2. Pre náhodnú premennú X, ktorá je daná pravdepodobnostnou funkciou (7) platí: a) 2 2z z EX ( ) 2 z z b) 2 3 z 4z z DX ( ) 2 2 ( z z ) c) D( X ) E( X ) d) e) f) Dôkaz. Fn 2 2 p( n ) z p( n), n 0,, 2,, p(0) z z, z 0, F n p( n) z p( n ) z p( n 2), p(0) z z, z 0,, p( n) 0 pre n [ x] F( x) F( x ) ( z z ) z F[ x ], pre x a nula v ostatných prípadoch. n n 52

53 2 2 z z 2z z a) E( X ) H( t) t zt z t z z t z 4z z b) D( X ) t H( t) ( H( t) t ) t 2 2 ( z z ) c) Sporom. Predpokladajme, ţe D( X ) E( X ). Potom z 4z z 2z z / ( z z ) ( z z ) z z z z z z z z z (2 ) ( ) z 4z z 2z 3z z z z 2z 3z z z z (2 2 3) 0 2 Čo je spor s predpokladom pre z 0, 5. d) Tvrdenie vyplýva zo vzťahu (7). e) 2 2 p n z z z F z z z F F 2 n 2 n ( ) ( ) n ( ) n n2 ( z z ) z z F ( z z ) z z F z p( n ) z p( n 2) f) 2 n 2 2 n2 2 n n2 [ x] F( x) p( n) ( z z )( F zf z F z F ) n0 2 2 [ x] 0 2 [ x] ( z z )( F zf z F z F ) ( z z ) z F 2 2 [ x] 2 [ x] 0 2 [ x] [ x] F x z z z F 2 [ x] ( ) ( ) [ x], kde [ x ] je najväčšie cele číslo, ktoré je menšie alebo rovné x. Čo bolo treba dokázať. Poloţme vo vzťahu (7) z. Dostaneme pravdepodobnú funkciu 2 Fn p( n), n 0,, 2,... (9) n2 2 Fibonacciho rozdelenia [4]. Z vety 2, časť d), e), dostávame Fn p( n ) p( n), p(0), n 0,, 2,... 2 Fn 4 p( n) p( n ) p( n 2), p(0), p( n) 0 pre n 0 (20) Lemma 3. Pre pravdepodobnostnú funkcie Fibonnacciho rozdelenia platí rekurzívny vzťah 53

54 p( n ) p( n) [;,,,] p( n), n 0,, 2, (n+)-krát (Posledný vzťah je jeden z najkrajších rekurzívnych vzťahov v matematike.) Dôkaz. Pre ilustráciu uvádzame vyjadrenie p (5) pomocou p (4). Počítajme p(5) p(4) [;,,,] p(4) 2 pn ( ) F F p( n) 2 F 2 F 2 2 n n F n n n Fn 2 F n F n F n F n3 F F n2 F n2 n2 Fn 3 [;,,,] (n+)-krát Veta 3. Uvaţujme opakované nezávisle pokusy spočívajúce v hode mincou. Nech náhodná premena X určuje počet neúspešných hodov mince aţ po prvé po sebe idúce padnutie hlavy. 54

55 Potom pravdepodobnosť P( X n) p( n), pre n 0,, 2,..., toho, ţe po sebe prvýkrát padnú hlavy aţ v ( n )-vom a v ( n 2 )-hom pokuse má Fibonacciho rozdelenie. F0 Dôkaz. Zrejme p(0) P( HH ) (písmenom H sme označili padnutie hlavy) F p() P( RHH ) (písmenom R sme označili padnutie rubu mince) F2 p(2) P(RRHH) P(HRHH)= Obrázok : Schéma rekurzívnosti R H R R H H Zdroj: Vlastné spracovanie. Na obr. je znázornená rekurzívnosť pre pn. ( ) Skutočnosť, ţe pravdepodobnosť pn, ( ) ktorá je symbolizovaná prvým krúţkom sprava, môţeme vyjadriť ako súčet dvoch pravdepodobnosti: pn ( 2), horná vetva, ktorá je o dva stavy kratšia, preto musíme príslušnú pravdepodobnosť vynásobiť 4, t.j. pn ( 2) a ( ) 4 pn, dolná vetva, ktorá je o jeden stav kratšia, preto musíme vynásobiť pn ( ). Teda 2 p( n) 0 pre n, 2, 3,... p(0), 4 p( n) p( n ) p( n 2), n, 2, 3,..., čo dokazuje (pozri vzťah (20)), ţe sa jedná o Fibonacciho rozdelenie. Veta 4. Nech d d2 d k G( z), m N 2 k dz d2z dk z m je vytvárajúca funkcia pravdepodobnosti pn ( ) n, potom rozdelenie pravdepodobnosti 0 pn ( ) patrí do Sundtovej triedy pravdepodobností n R, 0 k ab, kde a ( d, d2,..., d k ),, b ( d ( m ), 2 d ( m ), 3 d ( m ),..., kd ( m )). Inými slovami, platí rekurzia 2 3 k (2) 55

56 0 n, 2, m p( n) ( d d2... dk ) n 0 k im ( ) di p( n i) n, 2, i n Dôkaz. Z Taylorovho rozvoja vyplýva, ţe p(0) ( d d2... d ) m k Derivovaním vzťahu (2) dostaneme (22) Potom md 2md z 3md z kmd z 2 k m 2 3 k 2 k 2 k m ( dz d2z dk z ) G( z) ( d d... d ) G() z md 2md z 3md z kmd z G( z) d z d z d z 2 k 2 3 k 2 k 2 k (23) Podľa [5], str. 63 G( z) Gz ( ) k i i ia b z i k i i az i odkiaľ podľa citovaného článku porovnaním vzťahov (23), (24) vzhľadom na vzťah (3) dostávame ak dk, bk dkk( m ), k =, 2, 3,..., čo bolo treba dokázať. Poznámka 2. Všimnime si, ţe špeciálnym prípadom vzťahu (2), pre m, k 2, 2 d z, d2 z je vzťah e) vo vete 2, resp. pre d, d2 vzťah (20) Zovšeobecnenia Fibonacciho rozdelenie pravdepodobnosti.2.. zovšeobecnenie Fibonacciho rozdelenia pravdepodobnosti Veta 5. Nech X, X 2,..., X m sú nezávislé náhodné premenné, ktoré majú Fibonacciho rozdelenie pravdepodobnosti. Potom náhodná premenná X X X 2... X m má rozdelenie pravdepodobnosti, ktorého vytvárajúca funkcia pravdepodobnosti má tvar i (24) m 4 Gm ( z) 2 m 4 2z z 2 z z z z 2 4 a pre pravdepodobnostnú funkciu platí vzťah m m (25) 56

57 p ( n) 0, ak n, 2, 3,... m pm(0) (26) m 4 m 2( m) pm( n) pm( n ) pm( n 2), n, 2, 3,... 2 n 4 n Dôkaz. Tvrdenie je priamym dôsledkom vety 4 a vlastnosti vytvárajúcej pravdepodobnostnej funkcie súčtu nezávislých náhodných premenných. Poznámka 3. Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej, ktorá je daná vytvárajúcou funkciou (25) resp. lineárnou rekurziou (26) vyjadruje napríklad pravdepodobnosť pn ( ) toho, ţe pri n 2mhodoch mincou padne m-krát po sebe (nie nutne bezprostredne po sebe) hlava pričom posledné po sebe padnutie hláv nastane v ( n2m )-vom a ( n 2m)-tom hode. 4 Príklad 4. Nech m = 2. Zrejme p2 (0) 2. p () 2 znamená pravdepodobnosť, ţe pri jednom nezdare padne 2-krát po sebe hlava. To sú prípady RHHHH, HHRHH, čo je pravdepodobnosť Podľa vzťahu (26) je p2() p2(0) 2 2. p (2) znamená pravdepodobnosť, ţe pri dvoch nezdaroch padne hlava 2-krát po sebe. To sú prípady HRHHHH, RRHHHH, RHHRHH, HHRRHH, HHHRHH. Teda Podľa vzťahu (26) máme p2(2) (2 ) p2(2) 5, atď zovšeobecnenie Fibonacciho rozdelenia pravdepodobnosti Pokúsime sa zovšeobecniť Fibonacciho rozdelenie pravdepodobnosti na prípad opakovaných nezávislých pokusoch. Označme p pravdepodobnosť nastátia nejakej udalosti a q pravdepodobnosť jej nenastátia. Bude nás zaujímať, aká je pravdepodobnosť toho, ţe pri n + 2 pokusoch prvýkrát po sebe nastane udalosť aţ v posledných dvoch pokusoch (to znamená, ţe v predchádzajúcich n pokusoch bezprostredne po sebe sledovaná udalosť s pravdepodobnosťou nastátia p nenastala). Počítajme 2 p(0) p 2 p() p q p(2) p q p q p(3) p q p q p q 2p q p q, atď. Pri skúmaní tejto pravdepodobnostnej funkcie si pomôţeme procedúrou pade v open source systéme MAXIMA. Chceme odhadnúť vytvárajúcu funkciu pravdepodobnosti. 4 57

58 Procedúra pade nám odhadla vytvárajúcu funkciu pravdepodobnosti 2 p Gz () 2 qz pqz. (27) Dá sa dokázať, ţe skutočne funkcia (27) je vytvárajúcou funkciou pravdepodobnosti náhodnej premennej vyššie popísanej. Vzťah (27) nám zároveň určuje lineárnu rekurziu na výpočet pravdepodobnosti p( n) 0, ak n, 2, 3,... 2 p(0) p p( n) q p( n ) pq p( n 2), n, 2, 3,... (28) Ďalšie zovšeobecnenie môţeme vykonať analogicky ako vo vete 5. Dostaneme vytvárajúcu funkciu pravdepodobnosti 2 p G () z qz pqz a príslušné rekurzívne vzťahy (podľa vety 4) p ( n) 0 pre n, 2, 3, p mq, mq, (0) p 2m mq, 2 m 2( m) pm, q ( n) q pm, q( n ) pq pm, q( n 2), n, 2, 3, n n Príklad 5. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri dvadsiatich hodoch kockou padne šestka 3-krát po sebe, pričom posledné (tretie) padnutie po sebe nastane v predposlednom a poslednom hode. Riešenie. Úlohou je vypočítať p (20 6) p (4). 3, q 5 3, 6 Keďţe explicitný vzorec na výpočet nemáme k dispozícii, na výpočet môţeme pouţiť buď vytvárajúcu funkciu (28) alebo rekurziu (29). Výpočet cez Taylorov rozvoj pomocou systému Maxima dáva p 5 (4) = 0, , 6 2 Záver Ukázali sme niektoré moţnosti vyuţitia lineárnych rekurzii predovšetkým v prípadoch kde sme sledovali pravdepodobnosti udalosti s po sebe opakovaných nastátí sledovaných javov. Z priestorových obmedzení zamerali sme sa iba na prípady len jedenkrát opakujúcich sa javov. Všetky tieto úvahy moţno ďalej zovšeobecniť na prípad viackrát po sebe opakovaných javov. m (29) (30) 58

59 Literatúra [] Horáková, G.- Huťka, V.: Teória pravdepodobnosti, EKONÓM, Bratislava 200 [2] Gulati S., Padgett W. J.: Parametric and nonparametric inference from record-breaking data. Springer-Verlag, New York [3] Horáková, G.- Mucha, V.: Teória rizika v poistení, EKONÓM, 2006 [4] Panjer, H.- Wang, S.: Computational aspects of Sund s generalized class, Astin Bulletin, Vol. 25, No, 995 [5] Shane, H. D.: A Fibonacci probability function, Baruch Colledge of CUNY, New York. [6] Sund, B.: On some extensions of Panjer s clas of counting distribution. Astin Bulletin, Vol 22, No, 992 [7] Sundt, B and Jewell, V: Further result on recursive evaluation of compound distributions, ASTIN Bulletin 2, 27-39, 98 59

60 Abstract Use of Brownian motion to estimate the ruin probability of a risk process Brownov pohyb pre odhad pravdepodobnosti krachu procesu rizika Galina Horáková The VaR value is a widely used procedure for measuring risk. Despite its popularity the value has its critics, because it can motivate excessive risk taking. The aim of the paper is to show that the ruin probability can solve some of the problems with the VaR and CvaR values and provide useful information on actuarial risk. We analyse the estimate of the ruin probability taking into account various approximate methods, with emphasis on the approximation of the compound Poisson process using Brownian motion with a shift. Key words The coumpound Poisson distribution, Value-at-Risk, Poisson and compound Poisson proces, the probability of ultimate ruin, the probability of ruin in finite time, conditional Tail Expectation, Brownian motion. JEL Classification: G22. ÚVOD Hodnota Value-at-Risk (VaR) je často pouţívaná miera rizika pre portfóliá finančných rizík a to aj v poisťovníctve. Solvency II odporúča na riadenie poistného rizika jednoročnú hodnotu VaR. Napriek popularite tejto hodnoty môţe byť aj kritizovaná, pretoţe ignoruje udalosti, 0,995 ktoré sa týkajú ich výskytu za touto hodnotou. Výpočtom hodnoty VaR nezískame informáciu, čo sa deje v posledných 0,005%-tách hodnôt. V dôsledku toho VaR vytvára motiváciu nadmerne riskovať a navyše to nie je koherentná miera rizika, pretoţe nespĺňa vlastnosť subadditivity. V dôsledku toho bola navrhnutá ďalšia miera rizika, hodnota Conditional Tail Expectation (CVaR), ktorá hodnotu VaR spresňuje o funkčnú hodnotu funkcie strednej nadmernej straty v hodnote VaR, a tá uţ je mierou koherentnou. Napriek týmto skutočnostiam aj miera rizika CVaR má svoje nedostatky, lebo najmä pri extrémnych škodách existuje stále závaţnosť nastatia vysokej škody, pretoţe uvedená hodnota korešponduje iba s priemernou stratou. Na druhej strane pravdepodobnosť krachu je miera rizika, ktorá je pre svoju zdanlivú náročnosť uplatňovaná zriedkavejšie, moţno aj z dôvodu, ţe často sa zameranie týka odhadu pravdepodobnosti krachu vo vzdialenom časovom horizonte a väčšinu z nás aţ tak neznepokojuje, čo sa stane vo veľmi vzdialenej budúcnosti. Cieľom príspevku je prezentovať, ţe napriek ne obľúbenosti pravdepodobnosti krachu vo vzdialenom horizonte ale aj v horizonte niekoľkých rokov, táto môţe skutočne riešiť niektoré problémy s hodnotami VaR a CVaR. Pomocou uvedených postupov získame výsledky, ktoré môţu poisťovateľa odradiť od síce vzdialeného, ale nadmerného riskovania. Navyše analyzovaním moţných dosiahnutých výsledkov sa získajú informácie o vplyvu rizika v čase. Galina Horáková, doc., RNDr.,CSc., KMA, Fakulta hospodárskej informatiky, EU v Bratislave, Dolnozemská /b, Bratislava, galina.horakova@euba.sk. Príspevok vznikol v rámci riešenia grantu VEGA č. : /093/ Analýza a modelovanie rizík v zmysle kvantitatívnych štúdií QIS projektu SOLVENCY II. 60

61 2. MATEMATICKÝ APARÁT PRE STANOVENIE MIER RIZIKA Vytvorenie modelu vhodného pre analyzovanie skúmaného portfólia poistných zmlúv je zaloţené na údajoch, ktoré popisujú počet poistných udalostí a výšku individuálnych škôd, teda stochastický charakter výskytu škôd a ich závaţnosť sú základom pre realizáciu modelu. Agregovaná škoda, ktorá vznikne v súvislosti s konkrétnym portfóliom poistných zmlúv sa viaţe na kolektívny model rizika v podmienkach, ktoré korešpondujú so zloţeným rozdelením. A práve teória krachu v spojitom čase je zaloţená na zovšeobecnení tohto modelu, na kolektívnom modelu rizika pre dlhšie časové periódy. Zovšeobecnenie slúţi na posúdenie náhodných výkyvov v hodnote prebytku poisťovne v časovom intervale niekoľkých rokov. V klasickom procese rizika prebytok poisťovateľa vo fixnom čase je určený tromi veličinami a to hodnotou prebytku v čase 0, hodnotou prijatého poistného do času t a hodnotou poistných plnení, vyplatených do času t, ktoré moţno popísať náhodnou premennou. 2. Kolektívny model rizika pre jednu časovú periódu Model je základnou stavebnou jednotkou metód, týkajúcich sa nielen exaktného, ale aj aproximatívneho vyjadrenia funkčných hodnôt distribučnej funkcie agregovanej škody. Táto priamo súvisí s odhadom prebytku na konci konkrétneho sledovaného obdoba, najčastejšie jedného roka, s hodnotami VaR, CVaR a ekonomickým kapitálom, potrebným na krytie prevzatého rizika. Pretoţe našim cieľom je vyuţiť Brownov pohyb na odhad pravdepodobnosti krachu ako jednej z mier rizika a tieto hodnoty dať do súvisu s mierami VaR a CVaR,, uvedieme ich definície v súvislosti s prípadom, kedy počet škôd môţeme modelovať Poissonovým rozdelením. Zloţené Poissonovo rozdelenie je špeciálny typ zloţeného rozdelenia, kde celková škoda je generovaná diskrétnym Poissonovým rozdelením s parametrom λ. Teda pre náhodnú kol premennú S ~ CoPo ( ; F ( x)) platí X kol S X X 2 X (2.) N pričom individuálna výška škody sa môţe riadiť diskrétnym aj spojitým rozdelením. V tomto prípade má distribučná funkcia všeobecný tvar n F kol x e F S X x x n! n 0 n 0 (2.2) resp. môţeme funkčné hodnoty odhadnúť pomocou distribučnej funkcie normovaného normálneho rozdelenia vzťahom F kol S ( x) x E( X ) EX 2 ( ) (2.3) kde charakteristiky rozdelenia celkovej škody sú vyjadrené pomocou charakteristík počtu a výšky individuálnej škody. Miery rizika, o ktoré sa budú opierať analýzy (nielen pre jednu časovú jednotku), sú hodnoty VaR, maximálna škoda, ktorá nastane s konkrétnou pravdepodobnosťou za určité 6

62 obdobie. 00 p % kvantil, 0 p, náhodnej premennej kol za jednu časovú periódu, je hodnota VaRp S, pre ktorú platí kol VaRp S inf x R : F kol x p kol S opisujúcej agregovanú škodu (2.4) a podmienená hodnota v riziku CVaR, ktorá je vlastne spresnenie odhadu maximálnej škody a predstavuje očakávanú škodu zo všetkých škôd prekračujúcich hodnotu kvantilu x p príslušného rozdelenia. Platí f kol ( x) kol S CVaRp ( S ) x dx (2.5) kol P( S x ) Tieto dve hodnoty spolu s pravdepodobnosťou xp P( U 0) U 0; ktorá vyjadruje, ţe poisťovňa nebude schopná kryť škody v spojitom čase na konci prvej periódy s počiatočnými rezervami U 0, zovšeobecníme v spojitom čase. Teda zovšeobecníme S p U ; F ( U RP) 0 kol S U RP E X 2 E X D X (2.6) ale aj hodnotu kol CVaR p( U) U RP CVaR p( S ) (2.7) kol pričom S S. Pravdepodobnosť definovaná vzťahom (2.6) sa nazýva pravdepodobnosť krachu. Jej zovšeobecnenie v čase môţe slúţiť ako uţitočný nástroj pri dlhodobom plánovaní pre vyuţívanie fondov poisťovateľa. V modeli klasického zloţeného Poissonovho rizika existuje analytické vyjadrenie pravdepodobnosti krachu, ale vo všeobecnostoi sa snaţíme o odhad tejto pravdepodobnosti zdola a zhora, s cieľom modelovať tok budúcich platieb. 2.2 Kolektívny model rizika pre dlhšie časové periódy Teória krachu v spojitom čase sa zaoberá modelmi kolektívneho rizika pre dlhšie časové obdobie. Tieto modely sú účinným nástrojom pre analyzovanie priebehu hodnoty prebytku poisťovne v časovom intervale niekoľkých rokov. V klasickom procese rizika prebytok poisťovateľa vo fixnom čase je určený tromi veličinami a to hodnotou prebytku U 0, hodnotou prijatého poistného do času t a hodnotou poistných plnení vyplatených do času t, pričom náhodnou premennou sú výdaje na náklady, na krytie škôd. Aby sme mohli model popísať matematicky, zavedieme nasledujúce definície a označenia. Pre dané počiatočné rezervy U 0, pravdepodobnosť krachu vo vzdialenom spojitom časovom horizonte označíme ( U0 ) a vyjadríme ako 0 ( U ) P T U0 P U t ( ) 0 pre t 0 (2.8) 62

63 Teda pravdepodobnosť, ţe prebytok poisťovateľa klesne do záporných hodnôt niekedy v budúcnosti, inak povedané vzťah (2.8) vyjadruje pravdepodobnosť, ţe poistné plnenia do času t prekračujú mieru prebytku a prijaté poistné do tohto času včítane prebytku z minulého obdobia. Pravdepodobnosť krachu v konečnom spojitom čase t označíme ( U0; s) a definujeme vzťahom ( U0; s) PT t PU t 0, pre 0 t s) (2.9) kde ( U0; s) predstavuje pravdepodobnosť, ţe prebytok poisťovne klesne pod nulu v ohraničenom časovom intervale. Na základe špecifikácie času zovšeobecníme vzťahy (2.4) aţ (2.7), pričom úvahy sú zaloţené na neobyčajnej vlastnosti Poissonovho procesu týkajúcej sa pevných a nezávislých prírastkov. Nech N je Poissonov proces s parametrom, a nech t X je postupnosť t 0 i i nezávislých, identicky rozdelených náhodných premenných, nezávislých od N pre t 0, s jednotnou distribučnou funkciou ( ) X F x. Potom proces t t 0 t 2 Nt i i S definujeme vzťahom Nt S X X... X X, t 0 (2.0) pričom analogicky so zloţeným rozdelením pre jednu časovú periódu platí St 0, ak Nt 0. ProcesSt t 0 je zloţený Poissonov proces s Poissonovým parametrom. Pre konkrétne hodnoty t 0, náhodná premenná S t má zloţené rozdelenie s Poissonovým parametrom t U potom vyjadríme pomocou náhodných premenných Obdobne proces prebytku t t 0 U U ct S (2.) t 0 t t kde U0 prebytok v čase t = 0, u je hodnota rezervného poistného fondu na začiatku sledovaného obdobia, teda časového úseku U t je náhodná premenná popisujúca prebytok poisťovne na konci 0; t, c je konštantná miera intenzity prijímania poistného v časovom intervale jednotkovej dĺţky. Potom celkové prijaté poistné do času t moţno zapísať ako ct, pre t 0 a proces prebytku sa zvyšuje spojito s navŕšením c za jednotkový čas, a má po sebe idúce skoky z X, X2,... v náhodných časoch T, T 2,.... Predpokladáme teda, ţe za kaţdú jednotku času prijaté poistné prekračuje mieru očakávaného celkového poistného plnenia v jednotkovom časovom intervale, teda napr. v prípade zloţeného Poissonovho rozdelenia a kalkulácie poistného podľa princípu strednej hodnoty, ktorý vyuţijeme v aplikačnej ukáţke, je c ( ) ( X) (2.2) kde je riziková priráţka. V súlade s definíciou vývoja prebytku v spojitom čase zovšeobecníme aj vzťahy (2.4), (2.5) a (2.7). Pre náhodnú premennú St ~ CoPo( t, FX( x )), ktorú môţeme aproximovať normálnym rozdelením, dostaneme a inf : VaR S x R F x p (2.3) p t S t ( / CVaR S E S S VaR S (2.4) p t t t p t 63

64 pričom hodnotu CVaR S môţeme odhadnúť napr. aj podľa vzťahu p t VaRp ( St ) E( St ) ( S ) t 2 CVaRp St E( St ) St t (2.5) VaRp ( St ) E( St ) ( St ) ktorý je v tomto tvare odvodený v [5], z čoho CVaR p ( Ut ) U RP CVaR p ( St ) (2.6) kol pričom CVaR p( S ) CVaR p( S ) Techniky, akými odvodzujeme rozdelenie pravdepodobnosti zloţeného rozdelenia za jednu časovú periódu, vyuţijeme aj pri náhodnej premennej St ~ CoPo( t, FX( x )). Jej distribučná funkcia umoţní odhadnúť pravdepodobnosť, s akou poisťovňa kryje prevzaté riziko pri počiatočných rezervách do času t zovšeobecnením postupov, vedúcich k odvodeniu vzťahu (2.6), teda pravdepodobnosť U ; t F ( U c t) 0 S t 0 U c t E X t 0 2 E X D X t (2.7) Vzniká však otázka ohľadne pravdepodobnosti krachu Poissonovho zloţeného procesu, na ktorú odpovedá Brownov pohyb. 2.3 Brownov pohyb s posunom Brownov pohyb, tieţ nazývaný Wienerov proces alebo biely šum, sa vyuţíva v mnohých oblastiach vedy a je aj dôleţitým modelom v modernej aktuárskej teórii. Vo všeobecnosti je popísaný ako chaotický pohyb malých častíc v tekutine a môţeme ho povaţovať za najlepší model úplne nepredvídateľného procesu. Je charakteristický malou strednou hodnotou U, a definujeme a disperziou. My ho vyuţijeme na aproximáciu procesu prebytku t t 0 takto: Stochastický proces so spojitým časom W t t 0. W W tt 0 má stacionárne a nezávislé prírastky sa nazýva Brownov pohyb, ak 2 3. pre kaţdý čas t 0 má Wt normálne rozdelenie so strednou hodnotou 0 a disperziou t. W sa nazýva Brownov pohyb posunom Stochastický proces so spojitým časom tt 0 procesu, ak vyhovuje vlastnostiam Brownovho pohybu a okrem toho platí, ţe t, pre 0. Túto definíciu vyuţijeme pri skúmaní proces prebytku Zt 0 W t má strednú t, zaloţenom na zloţenom Poissonovom procese rizika, pričom zvaţujeme počet skokov, ktorý s časom narastá a súčasne sa veľkosť týchto skokov zmenšuje. Predpokladáme, ţe výšky individuálnej škody X, X2,... sú nezávislé, kladné náhodné premenné, pre ktoré existuje momentová vytvárajúca funkcia. Proces prebytku sa zvyšuje spojito v súvislosti s poistným inkasovaným za jednotku času a má po sebe idúce skoky z individuálnych škôd X, X,... v náhodných časoch T, T,

65 Nech Zt Ut u ct St, t 0 (2.8) potom Z 0 0. Pretoţe S t má zloţené rozdelenie, proces Z t má strednú hodnotu a disperziu E( Z ) ct E( S ) ct te( X ) (2.9) t D Z t 2 ( t ) te( X ) (2.20) Vychádzajúc z rovnakých stredných hodnôt a disperzie, naším cieľom je odôvodniť, prečo Brownov pohyb s posunom môţe byť povaţovaný ako aproximácia zloţeného Poissonovho procesu prebytku. Nech c E( X ) a 2 2 EX ( ) značia strednú hodnotu a disperziu Brownovho pohybu s posunom 2 2 EX ( ) a 2 EX ( ) c 2 EX ( ) Za účelom priblíţiť proces Z t tak, aby ho bolo moţné nahradiť Brownovým pohybom vyjadríme náhodnú premennú ako verziu náhodnej premennej Y tak, ţe X Y, pričom Y má fixnú strednú hodnotu a disperziu.. Potom EY ( ) a 2 EY ( ) c 2 EY ( ) a pre pripúšťame, ţe 0. S je proces so spojitým časom so stacionárnymi a nezávislými prírastkami, Pretoţe tt 0 tak sú také aj procesy U t a t 0 t t 0 Z a bude to aj prípad limitného procesu. Pretoţe Z0 0, na základe definície Brownovho pohybu uţ potrebujeme iba dokázať, ţe pre kaţdý 2 čas t 0, má Z t v limite normálne rozdelenie so strednou hodnotou t a disperziou t. Prostredníctvom momentovej vytvárajúcej funkcie Z t dostaneme z z t 2 t lim m e 2. Z t Pretoţe Zt Ut u, môţeme pridať u k procesu Brownovmu pohybu a vzhľadom na rovnosť stredných hodnôt môţeme vyvinúť aproximáciu procesu definovaného vzťahom 2.8, pričom platí, ţe s narastajúcim očakávaným počtom škôd a menšími skokmi sa aproximácia 65

66 spresňuje. Pre portfólia poistných zmlúv je táto aproximácia vyhovujúca. V tomto prípade, pravdepodobnosť krachu v nekonečnom horizonte a rozdelenie času aţ do nastatia krachu sú ľahko získateľné priblíţením procesu Z t t k Brownomu pohybu s posunom. 0 W je Brownov pohyb s posunom so strednou hodnotou Z uvedeného vyplýva, ţe ak tt 0 t a disperziou 2 t a ak Ut u W t je Brownov pohyb s posunom a prebytkom U 0 = u, pravdepodobnosť krachu v konečnom časovom intervale 0; aj rozdelenie v čase, pokiaľ krach nenastane vyjadríme ( u, ) P T P min U 0 t P min Wt u (2.2) 0 t 0 t Vzťah (2.2) je vyjadrenie pravdepodobnosti krachu pre proces prebytku a sú v ňom zakomponované všetky toky, teda výsledné kladné aj záporné hodnoty prebytku. Pravdepodobnosť krachu v nejakom časovom intervale 0; je suma pravdepodobností všetkých takýchto moţností, ktorú vyjadríme s vyuţitím vzťahu, ţe pre τ je u P T e (2.22) čo je výsledok súvisiaci s Lundbergovou nerovnosťou a a odhadom koeficienta korekcie. Teda nakoniec získavame vyjadrenie pravdepodobnosti krachu tesne pred časom τ pomocou 66 2 ( u) u u u ( u, ) ( ) e ( ) (2.23) 2 2 kde Ф( ) je distribučná funkcia normálneho rozdelenia. Vzťah(2.23) vyjadruje však nedokonalé rozdelenie, pretoţe distribučná funkcia nekonverguje k jednotke vzhľadom na. Korešpondujúce náleţité rozdelenie je získané zlepšením vlastnosti úpravou v súvislosti s pravdepodobnosťou krachu vo vzdialenom horizonte, teda rozdelenie času do nastatia krachu, teda P( T / T ) u, 2 u 2 u u u e 2 2, 0 (2.24 ) Model prebytku je samozrejme zjednodušením reality. Jedno zjednodušenie je v tom, ţe berieme do úvahy všetky poţiadavky, teda vyrovnáme škody v plnom rozsahu, do úvah sa nezahŕňa záujem o prebytok a neberú sa do úvahy ani náklady, ktoré vyplývajú z činnosti poisťovateľa. Je to však uţitočný model, pomocou ktorého môţeme preniknúť do charakteristických poisťovacích operácií a moţno ho rozšíriť. 3. APLIKÁCIA BROWNOVHO POHYBU A ANALÝZA VÝSLEDKOV Predstavenú teóriu a výsledky, ktoré moţno na základe nej dosiahnuť, predstavíme na dátach o počte poistných udalostí a individuálnych výškach škôd. Štatistickým spracovaním údajov sme prišli k záveru, ţe počet škôd je moţný modelovať Poissonovým rozdelením s parametrom 98,25 a výška individuálnej škody môţe buť reprezentovaná Weibulovým rozdelením X ~ We (,9; 0,65). Teda individuálna výška škody je modelovaná pomocou strednej hodnoty EX ( ) 2,74 a smerodajnej odchýlky ( X ) 37, 224, ktoré spolu s Poissonovým parametrov tvoria základ charakteristík celkovej škody S ~ CoPo(98, 25 t; X ~ We (,9; 0,65)) t Odhad jednotlivých mier rizika je uvedený jednotlivých v tabuľkách a s komentárom.

67 Tabuľka 3.: Hodnoty VaR0,0 ( U ) t 0; 0, 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 U ,42 737,69 839,77 797,05 754,33 566,82 U ,42 237,69 339,77 297,05 254,33 66,82 U ,58-262,3-60,23-202,95-245,67-433,8 Hodnoty uvedené v tab. 3. sme získali na základe výpočtu hodnoty VaR0,99 ( S ) podľa vzťahu (2.5) dosadením do odpovedajúceho vzťahu s (2.7). Hodnoty potvrdzujú fakt, ţe hodnota prebytku po prvej perióde rastie s narastajúcim počiatočnými rezervami, resp. strata sa zniţuje s rastom rizikovej priráţky. Výsledky získané podľa týchto vzťahov umoţňujú nastaviť veľkosť počiatočných rezerv tak, aby sa kryla maximálne moţná škoda s pravdepodobnosťou 0,99 v období jednej časovej periódy. Tabuľka 3.2 Hodnoty CVaR0,0 ( U ) vypočítané na základe CVaR0,99 ( S ) pre vybrané hodnoty rizikovej priráţky a počiatočných rezerv t 0, 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 U ,2 882,49 839,77 797,05 754,33 7,62 U ,2 582,49 339,77 297,05 254,33 2,62 U ,79-7,5-60,23-202,95-245,67-288,38 Hodnoty CVaR0,0 ( U ) uvedené v tab. 3.2 sú vypočítané na základe hodnoty CVaR0,99 ( S ) podľa vzťahu (2.4), ale je moţné ich vypočítať aj priamo podľa (2.5). Z uvedených údajov vyplývajú tie isté fakty konštatované v súvislosti s hodnotami VaR uvedenými v predchádzajúcej tabuľke s tým rozdielom, ţe sa berú do úvahy aj škody vyššie ako je hodnota VaR ( S ) a to v podobe ich priemeru. Teda so zvýšenou bezpečnosťou rastie potreba 0,99 vyššieho počiatočného kapitálu na krytie skúmaného rizika s pravdepodobnosťou 0,99. Navyše porovnaním údajov uvedených v tab. 3. a 3.2 je moţno získať predstavu o navŕšení potrebného EC s narastajúcou bezpečnosťou. Tabuľka 3.3 Porovnanie mier rizika pre U U 0 0 U0 500 U0 000 VaR0,99 ( S ) 329,964 EC 994,03 CVaR0,99 ( S ) 3274,756 EC 38,805 VaR0,0 ( U ) 780,4 280,48-29,582 CVaR0,0 ( U) 925,20 425,20-74,790 Porovnaním hodnôt z predchádzajúcich dvoch tabuliek je moţno posúdiť veľkosť potrebného ekonomického kapitálu na krytie rizika. Napr. pre 0, a U je zreteľné, o koľko sa navŕši ekonomický kapitál kalkulovaný podľa CVaR, ako kalkulovaný podľa VaR. 67

68 Tabuľka 3.4 CVaR ( ) 0,0 U t na základe CVaR ( ) 0,99 S t pre 0, t t 0; t 0;2 t 0;3 t 0;4 t 0;5 U ,2 83,32 33,68 423,23 478,47 U ,79 83,32 33,68 423,23 478,47 U ,79-86,68-668,32-576,77-52,53 U ,79-86,68-668,32-576,77-52,53 Z údajov uvedených v tabuľka 3.4 moţno sledovať vývoj prebytku v konkrétnom konečnom spojitom čase. Údaje nás informujú napr. o skutočnosti, ţe v prvom časom období počiatočné rezervy U0 000 sú dostačujúce, teda zaznamenávame zisk, ale uţ od druhého časového obdobia signalizujú stratu. Tabuľka 3.5 Pravdepodobnosť krachu pre počet škôd Nt ~ Po( t ) ( U0; s ) t 0; t 0;2 t 0;3 t 0;4 t 0;5 U 0 925,2 0, ,026 0,077 0,0865 0,0848 U 0 83,32 0, , , , ,00923 U 0 33,68 0,0005 0,0080 0, , ,0060 U 0 423,23 0, ,000 0, , ,04554 U 0 = 478,47 0, , , ,0036 0,00386 Aplikáciou postupu, ktorý umoţní odhadnúť pravdepodobnosť krachu v konkrétnom časovom krátkodobom horizonte moţno získať aj informácie súvisiace s hodnote CVaR ( ) 0,0 U t. Z hodnôt je jasné, ţe počiatočné rezervy, ktoré sa bolo pre prvú periódu dostačujúceto, čo sa javilo bezpečné v prvom časovom období sa s časom stáva rizikovejšie. Tabuľka 3.6 Pravdepodobnosť, ţe krach nastane tesne pre časom PT ( ) PT ( ) PT ( 2) PT ( 3) PT ( 4) PT ( 5) U 500 0,2547 0, , ,266 0,27508 U 935, 2 0, , , , ,08027 U 83,32 0,0027 0,0046 0,0240 0, ,03758 U 33,68 0, , ,062 0,0804 0,0559 U 423,23 0,0005 0, , ,0289 0,0727 U 478,47 0, , ,0065 0,0048 0,0434 U , , , ,0025 0,0029 V tabuľke 3.6 sú uvedené pravdepodobnosti krachu v súvislosti s procesom prebytku U, teda je uvaţovaný sumár všetkých moţných ciest. Sledovaním vývoja prebytku tt 0 v jednotlivých časových obdobiach získame informáciu, aká by mala byť hodnota počiatočných rezerv, aby v konkrétnom časovom období pravdepodobnosť krachu bola na poţadovanej úrovni. 68

69 Tabuľka 3.7 Pravdepodobnosť krachu v súvislosti s rozdelením času, teda s inverzným Gaussovým P( T / T ) U 500 0, , ,7739 0, ,88624 U 935, 2 0, , , , ,7593 U 83,32 0,0202 0,6673 0,3403 0, ,59906 U 33,68 0,0078 0,0788 0, , ,5268 U 423,23 0,004 0, ,2909 0,3603 0,48248 U 478,47 0, , ,9544 0, ,45605 U , , , ,354 0,23589 Uvedené výsledky nie sú jediné, ktoré môţeme vyuţitím Brownovho pohybu dosiahnuť. Aktuár má moţnosť si vytvoriť rôzne scenáre, graficky ich znázorniť a navyše uvedené postupy môţe rozšíriť o redukciu pôvodnej individuálnej škody spoluúčasťou resp. a zaistením. LITERATÚRA [] ARTZNER,P.: Application of coherent risk measures to capital requirements ts in insurance. North American Actuarial Journal 3, -25, 999 [2] HORÁKOVÁ, G., MUCHA,V.: Teória rizika v poistení I, II.. Vydavatelstvo EKONÓM, 2006, 2008 [3] HORÁKOVÁ, G., POLJOVKA, J.: Optimálne zaistenie stanovené hodnotou VaR a CVaR. 5.mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik, KF Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava 200 [4] HORÁKOVÁ,G., PÁLEŠ, M.: Stanovenie hodnoty CVaR pomocou tried exponenciánych rozdelení. Aktuárka veda v teórii a praxi 20, Bratislava [5] HORÁKOVÁ,G.: Hodnota CVaR a ekonomický kapitál. 6. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik, KF Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava 202 [6] KLUGMANN, S., A., PANJER, H., H., WILLMOT,G.,E.: Loss models. Wiley series in probability and statistics [7] PANJER, H., H.: Operational Risk ( Modeling Analytics). John Wiley &Sons,

70 Discounted cash flow method as a analysis of value of insurance tool Metóda diskontovaných peňaţných tokov ako nástroj analýzy hodnoty poistenia Abstract Alena Kotlárová The contribution is devoted to a modern approach of determining the value of insurance and testing the sufficiency of technical reserves - discounted cash flow method. The aim of the article is to familiarize the reader with the concept of technical reserves, which represents important part of proper operation of insurance company. It includes a practical demonstration of the value of insurance analysis, focusing on Solvency and capital endowment of insurance company. In this case we use theoretical data. In conclusion the sensitivity analysis is made. Key words cash flow, reserves, value of insurance JEL Classification: G22. Metóda peňažných tokov Jednou z najvýznamnejších metód v modernom poisťovníctve je metóda peňaţných tokov. Poisťovne túto metódu často vyuţívajú, vzhľadom na to, ţe je dobre aplikovateľná na všetky prebiehajúce transakcie v poisťovni. Metóda peňaţných tokov má široké vyuţitie vyuţíva sa pri výpočte poistného, pri testovaní zisku, pri stanovení výšky rezerv a testovaní ich dostatočnosti, či na určenie hodnoty poistného kmeňa pri výpočte embedded value. Uvaţujme teraz poistenie x - ročnej osoby trvajúce n rokov, pričom v poistnej zmluve nie je dojednaný podiel na zisku. Analyzujme peňaţné toky, ktoré vznikajú pri tomto poistení: peňaţné toky, ktoré vznikajú na začiatku roku t; t =,2,, n. peňaţné toky, ktoré vznikajú na začiatku roku t; t =,2,, n P t poistné zaplatené v roku t, N t náklady v roku t. 2. peňaţné toky, ktoré vznikajú na konci roku t; t =,2,, n M t poistné plnenie v prípade úmrtia x - ročnej osoby v roku t, S t poistné plnenie v prípade, ţe x - ročná osoba sa doţije konca roku t, O t poistné plnenie v prípade stornovania poistnej zmluvy v roku t. Výška rezerv sa stanovuje na začiatku roka, po tom, čo boli vyplatené poistné plnenia za predchádzajúci rok a pred tým, ako poisťovňa prijme ročné poistné. Keďţe niektoré peňaţné toky vznikajú na začiatku roku a iné na konci, jedným z najväčších problémov poisťovne je zosúladiť ich. Pri riešení tohto problému postupuje poisťovňa tak, ţe akumuluje všetky peňaţné toky na konci roku, a tým určí celkový peňaţný tok na konci roku t, pričom predpokladá, ţe poistná zmluva bola na začiatku roku t platná. Čistý peňaţný tok v roku t; t =,2,, n určíme na základe vzťahu Ing. Alena Kotlárová, KMA, Fakulta hospodárskej informatiky EU v Bratislave, Dolnozemská cesta, Bratislava, alena.kotlarova@gmail.com. Článok je výstupom výskumného projektu VEGA /0542/3: Riadenie rizík a aktuárska funkcia v životnom poistení. 70

71 ( ) kde poistné v roku t (na začiatku roku), náklady v roku t (vznikajú počas celého roka; sú situované na začiatok roka), ( ) úroky za rok t určené z poistného zníţeného o náklady, očakávané poistné plnenie v prípade úmrtia v roku t (na konci roku), očakávané poistné plnenie v prípade doţitia sa konca roka t (na konci roku), očakávaná odkupná hodnota v prípade storna v roku t (na konci roku). Pri výpočte treba zobrať do úvahy, ţe poistné plnenia súvisiace s doţitím, úmrtím a stornovaním poistnej zmluvy vznikajú počas celého roku t a vyplácajú sa na konci tohto roku. Preto do výpočtu vstupujú aj pravdepodobnosti preţitia, úmrtia a stornovania poistnej zmluvy. Problém nastáva pri niektorých nákladoch vznikajúcich na konci roka, ktoré nie je moţné situovať na začiatok roka. Vtedy poisťovňa postupuje tak, ţe tieto náklady zahrnie do nákladov na poistné plnenia M t, S t, O t, vzhľadom na to, ţe poistné plnenia sú vyplácané na konci roku, v ktorom nastala poistná udalosť. V takom prípade má čistý peňaţný tok v roku t tvar ( ) 2. Technické rezervy Poisťovňa vytvára technické rezervy v takej výške, v akej predpokladá v budúcnosti záväzky voči klientom, ktoré vzniknú z uzatvorených poistných zmlúv. Technické rezervy predstavujú prostriedok krytia, ktorý je vytvorený účelovo a zaručuje schopnosť poisťovne uhrádzať v kaţdom okamihu svoje záväzky. Keďţe takmer vţdy je medzi vytvorením technickej rezervy a jej pouţitím na poistné plnenie pomerne dlhý časový úsek, poisťovňa môţe prostriedky tvoriace technické rezervy investovať tak, aby sa zhodnotili. Avšak kvôli zachovaniu bezpečnosti technických rezerv je poisťovňa povinná podľa zákona č. 8/2008 o poisťovníctve dodrţiavať nasledujúce zásady pre umiestňovanie prostriedkov technických rezerv: - zásadu bezpečnosti, podľa ktorej sú prostriedky technických rezerv uloţené tak, aby poskytovali záruku návratnosti, - zásadu rentability, podľa ktorej prostriedky technických rezerv zabezpečujú výnos z ich umiestnenia alebo zisk z ich predaja, - zásadu likvidity, podľa ktorej časť prostriedkov technických rezerv je uloţená tak, aby sa dala ihneď pouţiť na plynulú úhradu výplat záväzkov z poistných zmlúv, - zásadu diverzifikácie, podľa ktorej prostriedky technických rezerv sú umiestnené u väčšieho počtu právnických osôb, medzi ktorými nie je vzťah materskej spoločnosti a dcérskej spoločnosti, alebo ţe tieto právnické osoby nekonajú v zhode. Nutnosť vytvárať technické rezervy súvisí nielen so samotnou činnosťou poisťovne, ale je daná aj legislatívnymi normami. V poslednom čase sa v súvislosti s poisťovacou činnosťou často skloňuje pojem Solventnosť II. Cieľom projektu Solventnosť II je jednak zvýšiť ochranu pre poistených, ale aj zlepšiť reguláciu dohľadu nad poistným trhom či zvýšiť integráciu poistného trhu Európskej únie a medzinárodnú konkurencieschopnosť poskytovateľov poistenia. Projekt Solventnosť II ovplyvní oblasť technických rezerv v ţivotnom poistení podobne ako aj iné odvetvia poisťovníctva. Technických rezerv sa tento projekt dotkne hlavne v súvislosti so spôsobom ich určovania. Základom tohto projektu je 7

72 podrobné a prísne hodnotenie rizík, ktorým je poisťovňa vystavená, pričom od tohto hodnotenia potom závisí jednak výška technických rezerv poisťovne, ale aj celková výška peňaţných prostriedkov, ktoré sú potrebné na krytie daných rizík. Spoločnosť KPMG vypracovala v súvislosti so zavedením reţimu Solventnosť II štúdiu 202 KPMG Solvency II Readiness Survey in Central and Eastern Europe. Riaditeľ spoločnosti KPMG na Slovensku, Igor Palkovič, ohodnotil v náväznosti na túto štúdiu dátum zavedenia Sonvetnosti II na Slovensku v rozhovore Komu v procese zavedenia Solvency II uteká vlak? pre portál nasledovne: Pôvodný (a v súčasnosti jediný platný) termín zavedenia Solvency II do praxe je. januára 204. Ešte v roku 20 bol publikovaný návrh tzv. Omnibus II Directive, v ktorom sa okrem iného uvaţovalo aj s posunutím termínu zavedenia reţimu Solvency II do praxe aţ na. januára Test dostatočnosti technických rezerv Technické rezervy sú stanovené na základe predpokladov, ktorých hodnota je určená v čase oceňovania produktu. Avšak poistné zmluvy v ţivotnom poistení majú dlhodobý charakter, čo spôsobuje, ţe sa tieto predpoklady môţu zmeniť, čo môţe byť príčinou toho, ţe technická rezerva bude nedostatočná na pokrytie záväzkov. Poisťovňa nemôţe meniť metódu na výpočet výšky technickej rezervy, musí ich mať však v kaţdom momente vytvorené v dostatočnej výške na krytie svojich záväzkov. Preto poisťovne vykonávajú test dostatočnosti rezerv, ktorý predstavuje najdôleţitejšie kritérium zisťovania solventnosti a kapitálovej vybavenosti poisťovne.. januára 2006 nadobudla účinnosť Odborná smernica SSA 2 č., ktorá poskytovala zodpovedným aktuárom postup na určenie výšky technických rezerv. Táto smernica bola 3. novembra 20 aktualizovaná a vznikla Odborná smernica SSA č. v2, ktorej cieľom je stanoviť zásady určovania technických rezerv a definovať postup na uskutočnenie testu dostatočnosti rezerv. Táto smernica bola navrhnutá v súlade s medzinárodnými štandardami finančného vykazovania IFRS 4. Test dostatočnosti technických rezerv môţe byť uskutočnený na základe výpočtu tzv. fair value 3 záväzkov, ktorý je zaloţený na metóde diskontovaných peňaţných tokov. Na začiatku poisťovňa určí čistú súčasnú hodnotu budúcich peňaţných tokov v čase výpočtu rezervy, pričom pouţije pôvodné predpoklady. Táto hodnota je teda poistná rezerva určená na základe aktuárskej bázy na výpočet poistného. Poisťovňa ďalej určí fair value záväzkov na základe aktuálnych predpokladov. Tieto dve hodnoty porovná a v prípade, ţe druhá z nich je vyššia, hovoríme o nedostatočnosti rezerv a poisťovňa je povinná vytvoriť tzv. deficitnú rezervu. Vyššie spomínaná aktuárska báza je súbor predpokladov, ktoré pouţívame pri určovaní hodnoty aktív a pasív poisťovne, pričom základné predpoklady patriace do aktuárskej bázy sú úroková miera, úmrtnosť, náklady a pri metóde diskontovaných peňaţných tokov tieţ inflácia a odkupné hodnoty. Rozlišujeme dva typy aktuárskej bázy:. Poistná báza (báza oceňovania) - pouţíva sa na určenie poistného 2. Báza ohodnocovania 2 SSA Slovenská spoločnosť aktuárov, dobrovoľné občianske zdruţenie poistných matematikov, aktuárov a iných odborníkov z finančného trhu. 3 Je to taká hodnota záväzkov poisťovne, s ktorou by súhlasili obe strany, aj predávajúca aj kupujúca poisťovňa, ktorá by tieto záväzky po pôvodnej prebrala. (v [4], 2008, s. 3). 72

73 - pouţíva sa na určenie hodnoty pasív poisťovne (rezerv) Pre účely testu dostatočnosti rezerv sa podľa Holešovej (v [3], 2005, str. 3) pod pojmom peňaţné toky rozumie najmä: predpis poistného poistné plnenia vrátane podielu na zisku a odkupov provízie počiatočné, udrţiavacie, superprovízie náklady iné ako provízie obstarávacie, správne, investičné, náklady na poistné plnenia Medzi peňaţné toky priamo nevstupujú výnos z aktív ani zmena stavu technickej rezervy. Modelovanie vývoja technickej rezervy slúţi predovšetkým na určenie odkupnej hodnoty. Peňaţné toky, ktoré sú uvedené vyššie, sa diskontujú k dátumu ocenenia. Výsledná hodnota sa porovná s technickými rezervami v ţivotnom poistení, pričom tieto sa zníţia o zodpovedajúce aktíva. Ak nastane situácia, ţe hodnota technickej rezervy zníţenej o dané aktíva je menšia ako minimálna hodnota budúcich záväzkov, hovoríme, ţe technická rezerva je nedostatočná. V tomto prípade musí poisťovňa zabezpečiť, aby technická rezerva bola primeraná budúcim záväzkom, pričom prvým krokom zvyčajne býva rozpustenie prislúchajúcich aktív. Ak je výsledkom testu dostatočná hodnota technických rezerv, poisťovňa vzhľadom na zásadu bezpečnosti neupravuje technické rezervy ani príslušné aktíva. Odborná smernica SSA č. v2 uvádza, ţe neoddeliteľnou časťou testu dostatočnosti technických rezerv musí byť materiál, v ktorom zodpovedný aktuár písomne zdokumentuje okrem vykonaného testu dostatočnosti aj rozdelenie poistného kmeňa do skupín, pouţité predpoklady, pričom musí osobitne vyčísliť najlepší odhad predpokladov a rizikovú priráţku na nepriaznivý vývoj, ktorá zmení vstupný predpoklad tak, ţe spôsobí zvýšenie minimálnej hodnoty poistných záväzkov. Ďalej musí byť súčasťou testu aj spôsob odvodenia predpokladov a ich zmeny oproti predošlému testu dostatočnosti technických rezerv. Okrem výsledok testu dostatočnosti musia byť zdokumentované taktieţ výsledky tzv. variačnej analýzy, výsledky analýzy senzitivity a back testingu, čo predstavuje spätné porovnanie skutočného vývoja a strednej hodnoty očakávaných peňaţných tokov pri pouţití pôvodných predpokladov. 4. Modelové poistenie Osoba vo veku 30 rokov uzatvorila poistnú zmluvu na dobu 20 rokov. Poistná suma vo výške bude vyplatená v tejto výške v prípade úmrtia. Poistné sa platí vţdy na začiatku roka po celú dobu trvania poistenia. Pre zjednodušenie výpočtu predpokladáme, ţe dátum uzatvorenia poistnej zmluvy je..998 a dátum určenia hodnoty záväzkov poisťovne je Predpoklady pre daný produkt vzhľadom na to, ţe dátum uzatvorenia PZ je..998, pre všetky výpočty pouţijeme úmrtnostné tabuľky pre muţov z roku 997, ktoré sú dostupné na stránkach ŠÚSR 4 pre všetky výpočty bude poistno technická úroková miera vo výške 2,5% poisťovňa kalkuluje náklady na poistnú zmluvu podľa britského prístupu v nasledovnej výške: 4 Dostupné na internete: 73

74 . začiatočné náklady E i vo výške začiatočná provízia C i vo výške 60% z prvoročného bruttopoistného 3. obnovovacie náklady E r vo výške 7, platené na začiatku kaţdého roka počnúc druhým rokom trvania poistenia 4. obnovovacia provízia C r vo výške 5% z poistného na začiatku druhého a ďalších rokoch 5. náklady súvisiace s výplatou poistného plnenia E c vo výške 2% z poistnej sumy Výpočet brutto poistného Pri určovaní hodnoty záväzkov je nutné najprv určiť beţné brutto poistné. Jeho hodnotu určíme na základe rovnice ekvivalencie ( ) ( ) ( ) Tieto veličiny určíme na základe nasledujúcich vzťahov:. súčasná hodnota prijatého poistného 2. súčasná hodnota vyplatených dávok 3. súčasná hodnota nákladov ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Po dosadení týchto vzťahov do rovnice ekvivalencie a pouţitím predpokladov, ktoré sme stanovili na začiatku, dostaneme brutto poistné vo výške. Výpočet výšky rezervy Hodnotu záväzkov poisťovne je moţné určiť dvoma spôsobmi, buď klasicky, kedy vychádzame z rovnice ekvivalencie v čase určenia rezervy alebo metódou diskontovaných budúcich pasív, ktorá je zaloţená na určení budúcich peňaţných tokov, ktoré vzniknú v jednotlivých rokoch. Obe metódy vedú k rovnakému výsledku. My pouţijeme na výpočet rezervy v modelovom poistení moderný prístup, a teda metódu diskontovaných budúcich pasív. Aby sme určili výšku rezervy, je potrebné naprojektovať jednotlivé peňaţné toky v rokoch , pričom budeme rozlišovať: peňaţné toky vznikajúce na začiatku roka (súvisia s prijatým poistným a s tým spojenými nákladmi) a určíme ich na základe vzťahu ( ) peňaţné toky, ktoré vznikajú na konci roka (týkajú sa poistných plnení a nákladov s nimi súvisiacich) 74

75 Všetky peňaţné toky oddiskontujeme na začiatok roku 200 a tým určíme výšku rezervy. V tabuľke č. 2 sú naprojektované jednotlivé peňaţné toky za roky Tab. 2: Peňažné toky pre modelové poistenie Peňažné toky na začiatku roka Peňažné toky na konci roka Rok Prijaté poistné Náklady na poistnom Diskontovaný peňažný tok Poistné plnenie Náklady pri poistnom plnení Diskontovaný peňažný tok ,5,98 87,53 66,99,34 66, ,07,95 84,99 73,37,47 7, ,58,93 82,47 80,64,6 76, ,04,90 79,99 88,69,77 8, ,46,87 77,53 97,8,96 88, ,8,84 75,0 08,28 2,7 95, ,09,80 72,68 9,96 2,40 02, ,29,76 70,27 32,35 2,65 0,80 Spolu 630,57 693,37 Zdroj: vlastné spracovanie Pre ilustráciu si uvedieme, ako sme určili náklady na poistnom napríklad v roku 202 (poistený k dátumu určenia hodnoty záväzkov, ktorým je , dosiahol vek 42 rokov a zároveň predpokladáme, ţe sa doţil začiatku roku 202) ( ) Obdobne určíme aj náklady súvisiace s výplatou poistnej sumy Výšku rezervy určíme ako rozdiel sumy diskontovaných peňaţných tokov na začiatku roka a na konci roku Výpočet fair value záväzkov poisťovne Pri určovaní hodnoty záväzkov metódou fair value postupujeme rovnako, ako pri metóde diskontovaných hodnôt budúcich pasív. Na projektovanie peňaţných tokov v budúcnosti sa pouţívajú aktuálne predpoklady. Pri výpočte fair value záväzkov berieme do úvahy aj infláciu, ktorá vstupuje do nákladov. Predpoklady pre výpočet fair value pre nasledujúce výpočty pouţijeme úmrtnostné tabuľky pre muţov z roku 2009 obnovovacie náklady sa zvýšia na 9 a náklady súvisiace s výplatou poistného plnenia sa zvýšia na 2,5% z poistnej sumy, pričom tieto náklady budú podliehať inflácii vo výške 2% úroková miera klesne na 2,3% 75

76 poisťovňa pri výpočte fair value berie do úvahy odkupnú hodnotu, ktorá sa určuje ako nettorezerva v danom roku zníţená o 0%. Pravdepodobnosť odkupu je v 2. roku 3% a následne kaţdý rok klesá o 0,5%, pričom ju moţno vyjadriť nasledovne ( ) 2 a náklady pri odkupe sú rovnaké ako pri výplate poistnej sumy. Pri výpočte fair value záväzkov poisťovne budeme projektovať toky obdobne ako pri určovaní rezervy metódou diskontovaných hodnôt budúcich pasív, pričom do výpočtu zakalkulujeme aktuálne predpoklady, ktoré sme stanovili. Do výslednej tabuľky nám pribudnú dva stĺpce, ktoré súvisia s odkupmi a nákladmi vznikajúcimi pri odkupoch. Peňaţné toky určené pre roky na základe aktuálnych predpokladov sú uvedené v tabuľke č. 3. Rok Tab. č. 3: Fair value záväzkov pre modelové poistenie Peň. toky na začiatku roku Peň. toky na konci roku Prijaté poistné Náklady na poistnom Diskont. peňažný tok Poistné plnenie Náklady pri poistnom plnení Odkupná hodnota Náklady na odkupy Diskont. peňažný tok ,5 3,98 85,53 56,98,45 350,56 0,46 40, ,3 4,4 83,08 6,70,60 328,74 9, 383, ,72 4,30 80,67 60,70,6 297,98 7,7 343, ,32 4,47 78,32 65,0,76 242,69 6,26 288, ,89 4,64 76,0 73,89 2,04 85,2 4,77 237, ,40 4,8 73,72 86,87 2,45 25,53 3,22 90, ,82 4,98 7,4 93,22 2,68 63,79,63 37, ,20 5,5 69,3 03,70 3,04 0,00 0,00 88,98 Spolu 67, ,58 Zdroj: vlastné spracovanie Fair value záväzkov poisťovne potom určíme rovnako ako rezervu pri metóde diskontovanej hodnoty budúcich pasív ako rozdiel diskontovaného peňaţného toku kalkulovaného na konci roku a diskontovaného peňaţného toku kalkulovaného na začiatku roku Hodnota záväzkov poisťovne určená na základe fair value nám vyšla vyššia ako hodnota záväzkov určená metódou diskontovanej hodnoty budúcich pasív a preto poisťovňa musí vytvoriť deficitnú rezervu vo výške rozdielu medzi hodnotou fair value ( 46,7 ) a hodnotou pôvodnej rezervy (62,8 ), to znamená vo výške 398,9. 5. Záver Metóda diskontovaných peňaţných tokov je základom pre väčšinu dôleţitých výpočtov v poistení, vrátane testu dostatočnosti rezerv, ktorý je nesmierne dôleţitý pre správne fungovanie poisťovne. Na základe neho poisťovňa zisťuje, či je schopná plniť záväzky, ktoré sa zaviazala plniť v poistných zmluvách a vymedzuje prostriedky, ktoré môţe investovať za účelom zisku. V našom modelovom poistení sa test dostatočnosti vykonával v dvanástom 76

77 roku poistenia, čo predstavuje dlhý čas od uzatvorenia poistnej zmluvy, pričom za túto dobu mohli nastať aj výraznejšie zmeny v predpokladoch. Oproti pôvodným predpokladom, platným k dátumu uzatvorenia poistnej zmluvy, sme pri testovaní dostatočnosti rezerv pouţili aktuálne predpoklady, ktoré v porovnaní s pôvodnými predpokladmi nadobúdali pesimistickejšie hodnoty. Tento fakt spôsobil, ţe výsledkom testu dostatočnosti rezerv bolo, ţe poisťovňa nemá vytvorené dostatočné rezervy a musí vytvoriť deficitnú rezervu. Literatúra [] SAKÁLOVÁ, K. Aktuárske analýzy. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 2006, 3 s., ISBN [2] MELUCHOVÁ, J. Technické rezervy podľa Medzinárodných štandardov finančného výkazníctva. In AIESA - budovanie spoločnosti zaloţenej na vedomostiach: 2. medzinárodná vedecká konferencia doktorandov. - Bratislava: Iura Edition, ISBN [3] HOLEŠOVÁ, Janka. Test primeranosti rezerv v životnom poistení. In Poistná matematika v teórii a v praxi: zborník príspevkov 5. vedeckého seminára. - Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, ISBN X, s [4] BILÍKOVÁ, M., SAKÁLOVÁ, K. Použitie peňažných tokov pri ohodnocovaní záväzkov v životnom poistení. In AIESA - budovanie spoločnosti zaloţenej na vedomostiach: 2. medzinárodná vedecká konferencia doktorandov. - Bratislava: Iura Edition, ISBN [5] SAKÁLOVÁ, K. Oceňovanie produktov v životnom poistení. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 200, 56 s. ISBN [6] SEKEROVÁ, V., BILÍKOVÁ, M.: Poistná matematika. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 2007, 80 s. ISBN [7] KRČOVÁ, I. Test primeranosti technických rezerv v životnom poistení. In Aktuárske vedy v podmienkach poistného trhu Slovenskej republiky. Seminár. Aktuárske vedy v podmienkach poistného trhu Slovenskej republiky. - Bratislava: Katedra matematiky Fakulty hospodárskej informatiky Ekonomickej univerzity v Bratislave, 2006, s. 9. [8] Zákon č. 8/2008 o poisťovníctve [9] Test primeranosti rezerv v ţivotnom poistení - Odborná smernica SSA č. v2 [0] Komu v procese zavedenia Solvency II uteká vlak? Dostupné na internete: [] Všeobecný prehľad Solventnosť II dokument vydaný Národnou bankou Slovenka. Dostupné na internete: ORM/Poistovnictvo/Solventnost_II.pdf 77

78 Abstract Determination of the value of a life insurer's liabilities in the context of Solvency II Stanovenie hodnoty záväzkov ţivotnej poisťovne v zmysle Solventnosti II Alexandra Kosztolányiová, Mária Bilíková Solvency II brings to insurance practice a completely new legislative framework, divided into three pillars. Its aim is to achieve a unified system of insurance supervision in all the EU member states. The content of the Solvency II directive is very broad. This paper is concerned with the first pillar, the quantitative requirements, and that in connection with the evaluation of risk and capital requirements. The authors concentrate in particular on the technical reserves, determined as the best estimate of the present value of future cash-flows increased by a risk margin. The calculation of the technical reserves is based on a model portfolio of endowment insurances. First, all the necessary assumptions are identified, then the calculation is carried out using the discounted cash-flow method, and finally a sensitivity analysis is carried out. Key words Solvency II, technical reserves in life insurance, present value of future cash flows, risk margin, sensitivity analysis. JEL Classification: G 22, G 23, C 65 Úvod Ţivotné poistenie je rýchlo sa rozvíjajúca oblasť nielen na Slovensku, ale aj v iných krajinách Európy, či ostatných častiach sveta, ktorá priamo alebo nepriamo zasahuje do všetkých činností. Hlavnou úlohou poistenia je prenos rizika z poisteného na poisťovňu a poskytovanie krytia pri nastatí neočakávaných náhodných udalostí. Pre poisťovňu je výpočet hodnoty záväzku z poistenia a kapitálových poţiadaviek na bezpečné fungovanie poisťovne komplexná úloha, kde sa spája pohľad na detail, na jednotlivú zmluvu, s prístupom zohľadňujúcim viac poistných zmlúv resp. celé portfólio súčasne. Cieľom príspevku je spracovať problematiku stanovenia hodnoty záväzkov ţivotnej poisťovne v zmysle poţiadaviek projektu Solventnosť II. Direktíva Solventnosť II prináša najmä meranie a riadenie rizík plynúcich z poistných zmlúv. Pri tomto procese je potrebné stanoviť aj technickú rezervu, ktorá obsahuje najlepší odhad pomocou peňaţných tokov a zohľadnenie neistoty tohto odhadu. V príspevku budú charakterizované metodické postupy určovania technickej rezervy v zmysle Solventnosti II, následne popísané výsledky výpočtov na modelovom portfóliu s analýzou citlivosti na zmeny predpokladov.. Solventnosť II Cieľom projektu Solventnosť II je vytvorenie jednotného systému dohľadu nad poisťovníctvom vo všetkých členských krajinách Európskej únie. Predmetom činnosti dohľadu je podľa Solventnosti II ochrana poistníkov a oprávnených osôb a kontrola finančnej stability poisťovne. Ing. Alexandra Kosztolányiová, doc. RNDr. Mária Bilíková, PhD., Katedra matematiky a aktuárstva FHI EU, Dolnozemská cesta /b, Bratislava, . maria.bilikova@euba.sk. Príspevok vznikol v rámci projektu VEGA č. /0542/3 Riadenie rizík a aktuárska funkcia v životnom poistení. 78

79 Systém Solventnosť II pozostáva z troch základných pilierov týkajúcich sa: kvantitatívnych poţiadaviek, t. j. poţiadaviek na kapitál (Pilier ), kvalitatívnych poţiadaviek, t. j. riadenia rizík v poisťovni a finančného dohľadu (Pilier 2), transparentnosti vo výkazníctve poisťovní a zaisťovní (Pilier 3). a. Pilier : Kvantitatívne požiadavky Pilier vysvetľuje vzťah medzi poţadovaným kapitálom, resp. kapitálovou solventnosťou (Solvency Capital Requirement, ďalej SCR) a minimálnym poţadovaným kapitálom, resp. minimálnou kapitálovou poţiadavkou (Minimum Capital Requirement, ďalej MCR). Poţiadavky na kapitálovú solventnosť vychádzajú z rizikovosti, t. j. ak vlastný kapitál klesne pod určitú úroveň, zásah orgánu dohľadu bude nevyhnutný. V prípade, ţe poisťovňa túto úroveň nedosiahne, odoberie sa jej licencia. Presná výška minimálnych kapitálových poţiadaviek sa určí výpočtom vychádzajúcim z premenných, ktoré určujú schopnosť poisťovne ostať v prevádzke. b. Štandardná súvaha vs. Solventnosť II súvaha Obrázok predstavuje grafické porovnanie štandardnej súvahy a súvahy podľa smernice Solventnosť II. Podľa smernice sú aktíva vyjadrené trhovou hodnotou (Market Consistent Value, ďalej MCV) a pasíva ako súčet kapitálu poisťovne a technických rezerv. Kapitál poisťovne je zloţený z voľného kapitálu a kapitálovej solventnosti. Technické rezervy tvoria najlepší odhad (BE) záväzkov a riziková marţa, ktorá zohľadňuje neistotu v odhadoch a obsiahnuté riziká. Obrázok : Vzťah štandardnej súvahy a súvahy podľa Solventnosti II Štandardná súvaha Solventnosť II súvaha Nerealizované kapitálové zisky Voľný kapitál Vlastné imanie Kapitálová solventnosť ( SCR ) Kapitál Aktíva Technické rezervy MCV aktív Riziková marţa BE záväzkov Technické rezervy Solventnosť II Zdroj: vlastné spracovanie autoriek Tento príspevok sa bude venovať práve otázkam určovania technických rezerv poisťovne v zmysle Solventnosti II. 2. Metodika stanovenia záväzkov poisťovne v zmysle Solventnosti II Solventnosť II prináša do poisťovníctva úplne nový legislatívny rámec. Problematika obsiahnutá v direktíve Solventnosť II je obsiahla, v príspevku sa budeme venovať podrobne 79

80 časti zameranej na technické rezervy 2. Ďalším okruhom sa budeme venovať iba vtedy, ak to bude nevyhnutné pre objasnenie a porozumenie metodológie stanovenia technických rezerv. Všetky transakcie, ktoré v ţivotnej poisťovni prebiehajú, sa dajú modelovať pomocou systému peňaţných tokov s kladnými alebo zápornými znamienkami. Pritom časť peňaţných tokov do tohto systému vstupuje (kladné znamienko) a časť zo systému vystupuje (záporné znamienko). Podľa niektorých princípov oceňovania, ktoré budú pouţité aj v tomto príspevku, sa do peňaţných tokov nezahŕňa investičný výnos. V tomto prípade je hodnota peňaţných tokov v čase t vyjadrená vzťahom 3 : kde jednotlivé zloţky znamenajú: CF P e S ) t t t t Death Surr ( ap) x t Mt ( aq) xt SVt ( aq t () P t celoročné poistné zaplatené na začiatku obdobia t, e t náklady na poistenie, jeho správu a administráciu, vznikajúce počas celého obdobia t, situované na začiatok obdobia t, S t poistné plnenie v prípade, ţe x-ročná osoba preţije obdobie t a zároveň neukončí poistnú zmluvu, vypláca sa na konci obdobia t, M t poistné plnenie v prípade, ţe x-ročná osoba, zomrie počas obdobia t, vypláca sa na konci obdobia t, SV (Surrender Value) výška odkupnej hodnoty v čase t, t ( ) xt ap pravdepodobnosť, ţe osoba vo veku x t preţije jeden rok (obdobie t) a zároveň neukončí poistnú zmluvu, Death aq) x t pravdepodobnosť úmrtia osoby vo veku x t počas jedného roka (obdobia t), ( Surr ( aq) t pravdepodobnosť nastatia storna v období t. Poznámka: Pravdepodobnosti uvedené vo vzorci (), sú modelované pouţitím viachodnotových dekrementných modelov, kde sa v symbolike uvádza a (z angl. active, resp. alive), čo je základný stav modelu. Pravdepodobnosti odchodov zo základného stavu sú popisované symbolom s indexom príslušného dekrementu. Pre uvedené vzťahy uvaţujeme model správania, kde zmluva zo základného stavu (ţijúca osoba a platené poistné) na začiatku obdobia, môţe ku koncu obdobia prejsť do dvoch stavov, smrť resp. storno, alebo zotrvať v základnom stave, súčet uvedených pravdepodobností v jednom časovom úseku je teda. Pre vyjadrenie súčasnej hodnoty všetkých peňaţných tokov CF t pre t ; T (Present Value of Cash Flows ďalej PVCF ) je potrebné tieto peňaţné toky diskontovať na začiatok projekcie a spočítať. Uvedené vyjadruje vzťah: PVCF ktorého jednotlivé symboly znamenajú: DF t T T t DF t CF t diskontný faktor pre obdobie t vychádzajúci z bezrizikovej výnosovej krivky, počet období do konca poistnej doby. (2) 2 Klasickým metódam určovania rezerv ţivotnej poisťovne sa venuje napríklad autorka v [7]. 3 Podľa vzťahu (3.5) uvedeného v [3] na strane

81 Diskontný faktor slúţi na vyjadrenie súčasnej hodnoty jednotlivých peňaţných tokov, veličín meraných v peňaţných jednotkách splatných v príslušnom budúcom časovom období. Konštantná úroková sadzba pre budúce obdobie sa v praxi málokedy vyskytuje. Pokiaľ sa pouţije kompletná časová štruktúra úrokových sadzieb, dostávame odlišné úrokové sadzby pre odlišné obdobia vo výpočte. Index t je pouţitý z dôvodu, ţe očakávaná úroková sadzba môţe byť variabilná, a teda sa mení s časom. Solventnosť II sa síce pozerá na poisťovňu ako na celok, avšak niektoré časti výpočtu je nutné robiť po zmluvách. Pritom je nevyhnutné nájsť, preskúmať, vyhodnotiť a riadiť všetky riziká, ktoré sa v poisťovni môţu vyskytovať. Hodnota technickej rezervy sa v tomto prístupe stanoví ako súčet najlepšieho odhadu budúcich peňaţných tokov a rizikovej priráţky. Matematicky to moţno vyjadriť nasledovne (podľa [3]): kde jednotlivé zloţky znamenajú: t TP PVCF RiskMrgn (3) t t čas, ku ktorému sa celý výpočet vykonáva, napr. dátum ukončenia účtovného obdobia, a pod., TP t (Technical Provision) technické rezervy v zmysle Solventnosti II v čase t, PVCF t súčasnú hodnotu najlepšieho odhadu budúcich peňaţných tokov v čase t, RiskMrgn t (Risk Margin) rizikovú marţu v čase t. Poisťovňa prípadne zaisťovňa pouţije pre výpočet technických rezerv (ďalej TP) metódu primeranú povahe, rozsahu a komplexnosti rizík krytých v poistných alebo v zaistných zmluvách. Pri stanovení vhodnosti metódy na kalkuláciu technických rezerv musí poisťovňa vyhodnotiť: povahu, rozsah a komplexnosť rizík obsiahnutých v poistných zmluvách, kvalitatívne a kvantitatívne zhodnotenie chýb vnesených do výsledku pouţitím predpokladov a metód vzhľadom k rizikám. Podľa skúsenosti z kvantitatívnych dopadových štúdií (Quantitative Impact Studies, ďalej QIS) je zrejmé, ţe poisťovne budú v istej miere k výpočtu technických rezerv pouţívať zjednodušenia, či rôzne aproximácie. Reţim Solventnosť II predpokladá, ţe poisťovňa disponuje vlastnými dátami v dostatočnom rozsahu, pokiaľ ide o minulé obdobia, prípadne sa spolieha na externé zdroje. Akékoľvek dáta, ktoré sa pouţijú v rámci Solventnosti II pre ohodnocovanie, resp. pre výpočet technických rezerv, musia byť kompletné, presné a správne, t. j. vhodne pouţité pre konkrétny účel. 3. Výpočet technických rezerv pre modelové portfólio Pre praktickú ukáţku pouţitia uvedenej metódy sme zvolili demonštráciu výpočtov a krátkej analýzy na portfóliu produktov zmiešaného ţivotného poistenia (Endowment) s garantovanou technickou úrokovou mierou a podielom na prebytku. t 8

82 a. Charakteristika modelového portfólia Modelové portfólio, na ktorom sme výpočet a analýzu uskutočnili, sa skladá z 86 zmlúv, ktoré začínajú počas dvoch po sebe nasledujúcich období. Dve po sebe idúce obdobia boli zvolené, aby sa na nich ukázali všetky dôleţité náleţitosti. V portfóliu sú zmluvy klasického zmiešaného poistenia, kde sú poistné sumy vyplácané pri doţití, resp. úmrtí rovnaké. Vstupný vek (v rokoch) Tabuľka : Štruktúra modelového portfólia Poistná doba (v rokoch) Poistná suma (v ) Ročné poistné (v ) Priemer Minimum Maximum Zdroj: vlastné výpočty autoriek Závislosť medzi výškou poistného a poistnou sumou je daná prostredníctvom sadzieb poistného, ktoré závisia najmä od veku poistenej osoby a doby trvania poistenia a boli určené klasickou metódou z rovnice ekvivalencie. Výška odkupnej hodnoty je v modelovom portfóliu závislá od hodnoty rezervy stanovenej tieţ klasicky. b. Použité parametre a predpoklady Predpoklady pouţité do výpočtu TP musia byť konzistentné s hodnotami vo finančných výkazoch poisťovne, a to najmä náklady a provízie. V nasledujúcej tabuľke uvádzame rozpis nákladov a provízií v jednotlivých rokoch trvania poistnej zmluvy, kde premenná n vyjadruje dobu trvania zmluvy. Tabuľka 2: Náklady a provízie Rok poistenia Náklady Náklady Provízia n 0 n 0 (% z ročného poistného) 80% 40% 50% 3% Zdroj: autorkami zvolené predpoklady Pravdepodobnosť storna poistnej zmluvy v závislosti od roku trvania poistenia je uvedená v ďalšej tabuľke. Poisťovňa odvodzuje pravdepodobnosť storna na základe analýzy vlastného kmeňa a správania sa poistníkov. Pokiaľ neexistuje dostatočne dlhá história, zvyknú sa pouţiť storná z podobných produktov. Tabuľka 3: Pravdepodobnosť storna poistnej zmluvy Rok poistenia Miera storna 0,25 0,8 0,2 0,20 0,5 0,0 Zdroj: autorkami zvolené predpoklady Storná na zmluvách v prvých rokoch poistenia sú ovplyvnené aj správaním sprostredkovateľov a nastavením províznych schém. To vysvetľuje na prvý pohľad nelogický vývoj v 3. a 4. roku poistenia uvedený v tabuľke 3. V praxi má zvyčajne (v prvých rokoch trvania poistnej zmluvy) sprostredkovateľ povinnosť vrátiť nezaslúţenú časť provízie v prípade storna zmluvy, čo môţe spôsobovať odklad ukončenia zmluvy. 82

83 Úmrtnosť v kalkulácii boli pouţívame úmrtnostné tabuľky zverejnené na web stránke VDC 4 Štatistického úradu SR. VDC pripravuje tabuľky za jednotlivé kalendárne roky, v našom výpočte sme pouţili tabuľky z roku 200. Bezriziková výnosová krivka vychádza z údajov zverejnených Európskou centrálnou bankou (ďalej ECB) o výnosoch štátnych dlhopisov eurozóny s ratingom AAA ku koncu rokov 20 a 202. Do výpočtového modelu vstupujú jednoročné forwardy, ktoré sme prepočítali zo spotových sadzieb uverejnených ECB. Výnosové krivky ku koncu roka 20 a 202 zobrazuje Obrázok 2. Technická úroková miera kalkulovaná v poistnom je vo výške 2,5 % p. a.. Pri výpočte sme abstrahovali od inflácie pre zvyšovanie nákladov na správu poistných zmlúv. Obrázok 2 Bezriziková výnosová krivka - Forward Rate Zdroj: spracované podľa s vlastnými výpočtami autoriek c. Výpočet technickej rezervy podľa Solventnosti II Solventnosť II je zameraná na riziká, na ich kvantifikáciu a riadenie, ako aj na stanovenie kapitálovej poţiadavky (SCR). V rámci tohto reţimu sa pre ohodnocovanie portfólia môţe pouţiť technická rezerva (TP), ktorá sa počíta podľa vzťahu (3). TP môţe nadobúdať kladné i záporné hodnoty, keďţe ide o rozdiel medzi výškou budúcich výdavkov a budúcich príjmov. Kladná hodnota potom znamená, ţe súčasná hodnota budúcich výdavkov je vyššia ako súčasná hodnota budúcich príjmov a poisťovňa musí drţať rezervu na splnenie všetkých povinností plynúcich z poistných zmlúv. V prípade, ţe výsledkom je záporná hodnota, znamená to, ţe súčasná hodnota príjmov prevyšuje súčasnú hodnotu výdavkov. Pre výpočet PVCF sa pouţíva klasický model peňaţných tokov, kde sa najprv určí hodnota dekrementov (úmrtnosť, storná, a pod.) a ich vývoj v čase t. Po zohľadnení počtu zmlúv na začiatku obdobia sa stanoví výška očakávaného poistného, nákladov a vyplatenej provízie. Poistné plnenie v prípade úmrtia je súčinom poistnej sumy a pravdepodobnosti úmrtia podľa aktuálneho veku poistenej osoby. Poistné plnenie pri doţití je súčinom poistnej sumy na doţitie a pravdepodobnosti doţitia sa konca poistnej doby, t. j. v modelovom poistení existuje iba v čase ukončenia poistnej zmluvy. Výška hodnoty odkupu sa stanoví ako súčin pravdepodobnosti storna zmluvy a výšky odkupnej hodnoty v danom období t. 4 Výskumné demografické centrum Štatistického úradu SR 83

84 Riziková marţa RiskMrgn je určená na základe poţiadavky na nefinančné riziká, napr. úmrtnosť, storná, náklady, a pod.. Plný výpočet predstavuje projekciu čiastkových SCR j počas celej doby trvania zmluvy. Návrh implementačných opatrení (podľa [2]) umoţňuje zjednodušený výpočet. V príspevku bola počítaná ako odhad všetkých budúcich kapitálových poţiadaviek spolu, t. j. ako jedna hodnota SCR, avšak oddelene pre jednotlivé riziká. Riziková marţa RiskMrgn predstavuje súčet neistoty v odhade predpokladov pre jednotlivé zmluvy nad výšku PVCF. V tabuľke 4 uvádzame výsledky výpočtu technických rezerv pre jednotlivé kalendárne roky spolu za celé portfólio. Výpočty sú realizované zvlášť pre jednotlivé roky s pouţitím aktuálnych predpokladov. Tabuľka 4: Výsledky kalkulácie TP podľa Solventnosti II Rok výpočtu nové zmluvy staré zmluvy nové zmluvy Spolu Počet zmlúv PVCF RiskMrgn TP Zdroj: vlastné výpočty autoriek Prvá časť tabuľky obsahuje hodnotu rezervy ku koncu roka 20, kde sú uvedené iba zmluvy, ktoré v tom čase boli v portfóliu. Záporná hodnota znamená, ţe budúce očakávané výdavky sú niţšie neţ budúce poistné, ktoré poisťovňa očakáva. Výsledky roku 202 zámerne uvádzame rozdelené na staré a na nové zmluvy, aby bolo moţné sledovať vývoj v čase na konzistentnom portfóliu. Hodnota rezervy na portfóliu zmlúv z roku 20 je vyššia ako hodnota rezervy na tom istom portfóliu upravenom o storná v roku 202. Príčinou je vysoká provízia vyplatená sprostredkovateľovi v prvom roku (pozri tabuľku 3) za dojednanie zmluvy, pretoţe táto vstupuje do počiatočného ohodnotenia technickej rezervy. Z tabuľky 4 je tieţ vidieť, ţe riziková marţa dosahuje najvyššiu hodnotu na začiatku zmluvy a následne v ďalších rokoch trvania zmluvy klesá, keďţe klesá i neistota budúcej projekcie. 4. Analýza citlivosti výšky rezervy na zmenu predpokladov Analýza citlivosti hodnoty rezervy na zmenu jednotlivých predpokladov (nazývaná aj senzitivita) je nástroj, ktorý umoţňuje čitateľovi pochopiť správanie sa portfólia pri odlišnom nastavení predpokladov. Takáto analýza poskytuje informácie o tom, v ktorých parametroch je potrebná opatrnosť, na ktoré je hodnota rezervy veľmi citlivá a naopak, kde zmena predpokladu nespôsobí významnú zmenu hodnoty rezervy. Na modelovom portfóliu sme rozdelili analýzu citlivosti podľa dátumu, ku ktorému sa stanovuje hodnota rezervy. V Tabuľke 5 uvádzame výsledky citlivosti hodnoty rezervy k roku 20 na zmenu úrokovej sadzby o +/ %. Tabuľka 5: Výsledky analýzy citlivosti TP podľa Solventnosti II PVCF RiskMrgn TP Rezerva k úrok +% úrok -% Zdroj: vlastné výpočty autoriek 84

85 Niţšie uvedená tabuľka predstavuje výsledky analýzy citlivosti hodnoty rezervy k roku 202. Na tomto mieste uvádzame citlivosť na úrokovú mieru, náklady (v tabuľke len nákl.) a pravdepodobnosť storna zmluvy. Tabuľka 6: Výsledky analýzy citlivosti TP podľa Solventnosti II PVCF RiskMrgn TP PVCF RiskMrgn TP Rezerva k úrok +% úrok % náklady +0% náklady 0% storná +0% storná 0% Zdroj: vlastné výpočty autoriek Z tabuľky vidíme, ţe pri zmene pravdepodobnosti storien o 0% nastáva výrazná zmena hodnoty rezervy. To je významný faktor portfólia poisťovne, ktorý je dôleţité sledovať a kontrolovať ako pre aktuára tak aj pre manaţment poisťovne. Ostatné predpoklady (úroková miera a náklady ) taktieţ spôsobujú zmenu hodnoty rezervy i keď nie takú výraznú ako storná. Napriek tomu aj tieto je potrebné pravidelne sledovať a vyhodnocovať. Záver Cieľom príspevku bolo priniesť čitateľovi spracovanú problematiku stanovenia rezervy ţivotnej poisťovne v zmysle reţimu solventnosť II. Príspevok uvádza jeden z postupov stanovenia technickej rezervy podľa príslušnej literatúry k Solvency II, pričom v niektorých prípadoch je umoţnené pouţiť upravenú metódu či uplatniť istý stupeň aproximácie. Pritom je potrebné zohľadniť významnosť daného portfólia a jeho rizikový profil a druh poistných produktov. Technická rezerva sa skladá z najlepšieho odhadu, teda matematicky ide o istý druh strednej hodnoty a priráţky na pokrytie rizika neistoty. Rezerva v zmysle Solventnosti II sa počíta metódou diskontovaných peňaţných tokov. Táto metóda, i keď nie je neznáma v aktuárskom svete, sa doposiaľ priamo na výpočet rezervy príliš nepouţívala, nakoľko pri tradičných produktoch prevláda rezervovanie pouţitím klasických metód (s aplikáciou tzv. komutačných funkcií). Pouţitím metódy peňaţných tokov na výpočet rezervy sa stane jej hodnota horšie predikovateľná a volatilnejšia, pretoţe táto hodnota je priamo závislá od pouţitých predpokladov. Umoţňuje však realizáciu ďalších analýz, ktoré dávajú aktuárovi podklady k tomu, ako výsledky výpočtov komunikovať s manaţmentom poisťovne, s cieľom prijatia vhodných opatrení na riešenie prípadných problémov solventnosti. Literatúra [] BILÍKOVÁ, M. CISKOVÁ, A.: Princípy ohodnocovania životného portfólia. In. Evropské finanční systémy 200: Zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie, Brno: Masarykova univerzita, , s ISBN [2] CEIOPS CEIOPS Advice for Level 2 Implementing Measures on Solvency II: Technical Provisions Article 86 h Simplified methods and techniques to calculate technical provisions. [online, PDF]. Frankfurt: CEIOPS. Dostupné na internete: 85

86 [3] < EIOPS-L2-Advice-Simplifications-for-TP.pdf >. [4] CEIOPS QIS5 Technical Specifications. [online, PDF]. Brussels: CEIOPS. Dostupné na internete: < - technical_specifications_ pdf >. [5] CEIOPS QIS 5 Risk-free interest rates Extrapolation method. [online, PDF]. Brussels: CEIOPS. Dostupné na internete: < >. [6] EUROPEAN COMMISSION. 20. Draft Implementing measures Solvency II Brussels, 3 October 20 [7] KOSZTOLÁNYIOVÁ, A.: Modelovanie portfólia ţivotného poistenia pouţitím rôznych princípov ohodnocovania. FHI EU Bratislava, 203, Dizertačná práca. [8] SAKÁLOVÁ, K.: Aktuárske analýzy. Bratislava: Vydavateľstvo Ekonóm, ISBN [9] 86

87 Abstract Use of profit testing method for product pricing and reserving in life insurance Pouţitie metódy testovania zisku pri oceňovaní produktov a ohodnocovaní rezerv v ţivotnom poistení Ingrid Ondrejková Krčová The paper deals with profit testing - today already a commonly used method for pricing of life insurance products. This method is also used to test the adequacy of reserves, i.e. the ability of a life insurance company to pay its insurance liabilities. The mathematics is used for actuarial calculations and as a practical demonstration use is made of the most common type of life insurance contract - Endowment. Key words Profit testing, premiums, reserves, reserve adequacy test, Entodowment JEL Classification: G22 Poistné produkty ţivotnej poisťovne musia byť nielen ziskové, ale aj predajné. Vzhľadom na očakávania klientov treba klásť dôraz nielen na finančné krytie, ale i na výšku poistného. Pri vytváraní nových produktov ţivotnej poisťovne je potrebné zohľadňovať veľké mnoţstvo ako ekonomických, tak aj neekonomických faktorov, ktoré sa odráţajú na celom procese tvorby poistného produktu, ako je napríklad zabezpečenie solventnosti poisťovne. Príspevok z tohto dôvodu pojednáva nielen o oceňovaní poistných produktov ţivotnej poisťovne pouţitím peňaţných tokov, ale i pouţitím peňaţných tokov na test dostatočnosti rezerv. Testovanie zisku a oceňovanie produktov Testovanie zisku (anglosaský prístup k poistnom výpočtom) je v súčasnosti najviac vyuţívaná metóda oceňovania produktov ţivotnej poisťovne. Ide o proces určovania poistného tak, aby sa zabezpečila vopred určená hodnota očakávaného zisku, pričom úlohou aktuára je nastaviť bázu oceňovania (poistné sadzby, náklady, úmrtnosť, odkupné hodnoty, infláciu) v poistných produktoch tak, aby sa zabezpečila čo najmenšia citlivosť zisku na zmenu týchto predpokladov.. Kroky metódy testovania zisku Metóda testovania zisku je zaloţená na analýze peňaţných tokov (cash flow). Veľkou prednosťou tejto metódy je jej jednoduchosť za predpokladu vyuţívania výpočtovej techniky. Ešte pred samotným testovaním však musí aktuár určiť postup, ktorým by sa mala metóda uskutočňovať. Testovanie zisku pozostáva z krokov, ktoré musí aktuár poisťovne previesť [5]. Celý proces oceňovania produktov ţivotnej poisťovne je znázornený na nasledujúcom obrázku: Ing. Mgr. Ingrid Ondrejková Krčová, PhD., Katedra matematiky a aktuárstva FHI EU, Dolnozemská cesta /b, 8502 Bratislava, ingrid.krcova@euba.sk. Príspevok vznikol v rámci projektu VEGA č. /0542/3 Riadenie rizík a aktuárska funkcia v životnom poistení. 87

88 Obrázok : Kroky testovania zisku Stanovenie poistných súm a skúšobného poistného Určenie bázy ohodnocovania Výber vhodnej vzorky produktov, ktoré sa budú oceňovať Uskutočnenie testovania zisku Upraviť poistné a predpoklady oceňovania a začať odznovu Produkt je citlivý Porovnanie očakávaného zisku (OZ) s poţadovaným ziskom (PZ) Produkt je ocenený Produkt nie je citlivý Test citlivosti produktu na zmenu predpokladov oceňovania Zdroj: vlastné spracovanie autorkou.2 Uskutočnenie testovania zisku Všetky transakcie prebiehajúce v ţivotnej poisťovni sa dajú modelovať pomocou systému peňaţných tokov s kladnými alebo zápornými znamienkami, pričom časť peňaţných tokov do tohto systému vstupuje (kladné znamienka) a časť zo systému vystupuje (záporné znamienka). Uvaţujeme všeobecnú poistku bez podielu na zisku pre x-ročnú osobu trvajúcu n rokov; peňaţné toky budú projektované v jednoročných intervaloch od dátumu uzavretia poistky; poistné P t na celý rok t a náklady N t na celý rok t, pre t =, 2,, n, 2 sú peňaţné toky vznikajúce na začiatku roka t; poistné plnenia sú reprezentované peňaţnými tokmi vznikajúcimi na konci roka t, pričom M t je poistné plnenie, ktoré sa vypláca na konci roka t v prípade úmrtia x-ročnej osoby počas roka t, S t je poistné plnenie, ktoré sa vypláca na konci roka t, ak je x-ročná osoba naţive, O t je odkupná hodnota, ktoré sa vypláca na konci roka t, ak je x-ročná osoba naţive a poţiada o odkup poistky. Rezervy budú kalkulované na začiatku roka po výplate poistných plnení za predchádzajúci rok a pred prijatím ročného poistného. Opíšeme očakávaný peňaţný tok na konci roka t vzhľadom na jednotlivú poistku platnú na začiatku roka t, pričom časť peňaţných tokov je situovaná na začiatok roka t a časť na koniec roka t. Z tohto dôvodu akumulujeme všetky peňaţné toky na koniec roka t a zavedieme úrokovú mieru, ktorú budeme ďalej označovať vakt, ktorá vyjadruje predstavy poisťovne o návratnosti jej aktív. Náklady, ktoré vznikajú poisťovni, sa situujú na začiatok roka t, ale niektoré vznikajú na konci roka t. Takýmito nákladmi sú napr. náklady na výplatu poistného plnenia, ktoré súvisia s výplatou poistného plnenia na konci roka, kedy nastala poistná udalosť. Určujú sa ako fixná zloţka, alebo ako percento z poistnej sumy, resp. rezervy [2]. 2 V príspevku bude t, 2,..., n, z tohto dôvodu to ďalej nebudeme uvádzať, pokiaľ nebude inak. 88

89 Potom čistý peňaţný tok (net cash flow) CF t pre rok t, pre t =, 2,, n je [2]: 3 * * * CF B N vakt B N M q S p O w () t t t t t t xt t xt t xt kde výraz B t predstavuje celoročné brutto poistné zaplatené na začiatku roku t, N t predstavuje náklady na poistenie vznikajúce počas celého roka situované na začiatok roka, vakt B N predstavuje úroky za rok t z poistného zníţeného o náklady, t t * Mt qxt Mt qxt Ec qxt predstavuje očakávané poistné plnenie v prípade úmrtia a náklady na jeho vyplatenie, ktoré nastane počas roka t a vypláca sa na konci roka t, * 2 St pxt St pxt Ec pxt predstavuje očakávané poistné plnenie v prípade doţitia a náklady na jeho vyplatenie, vyplácané na konci roka t, * 3 Ot wx t Ot wx t Ec wx t predstavuje čakávanú odkupnú hodnotu a náklady na jej vyplatenie v prípade storna v roku t, vyplácanú na konci roka t. Po zohľadnení rezervy v bilancii čistého peňaţného toku dostávame očakávaný zisk poisťovne na konci roka t, vzhľadom na jednu poistku platnú na začiatku roka t v tvare [5]: kde t t t t xt t t PR CF vakt V p V V, (2) vakt V je koncoročný výnos z hodnoty rezervy na začiatku roku t, 4 pxt tv tv je prírastok rezervy (vzhľadom na preţívanie) počas roka t. Usporiadaná mnoţina PR n t t, ktorej zloţky závisia od predpokladov pouţitých pri testovaní zisku, a teda nereprezentujú nevyhnutne skutočný zisk poisťovne, sa nazýva vektor zisku. Určíme teraz hodnotu zisku σ t na konci roku t vzhľadom na originálne uzavretú poistku, t. j. pre poistku platnú od začiatku poistenia. Potom platí [5]: l x t PRt t px PRt, (3) lx kde t px sa nazýva faktor prežitia. 5 Vektor n t sa nazýva signatúra zisku daného poistného produktu. Rôzne typy poistiek t majú rôzne signatúry zisku. Vektor n t obsahuje dôleţité informácie o vplyve predaja t daného produktu na finančnú situáciu ţivotnej poisťovne. Keďţe signatúra zisku je súčinom zloţiek vektora zisku a faktora preţitia, vplýva na ňu veľkosť prijatého poistného, predpokladané náklady, vyplatené poistné plnenia, realizované 3 Peňaţným tokom je venovaná dizertačná práca autorky [2], peňaţné toky zo str. 45 sú rozšírené o odkupné hodnoty. 4 Vzorec na výpočet netto rezervy t V na začiatku roka je uvedený v dizertačnej práci autorky [2], str. 57. Vzorce na výpočet jednotlivých pravdepodobností sú uvedené napríklad v [6]. 5 Vzorec na výpočet faktora preţitia je uvedený napríklad v [6]. 89

90 odkupy, vytvorené rezervy, ako i predpokladaná miera úmrtnosti a úroková miera, predstavuje teda očakávané zisky a straty konkrétneho produktu. Nakoniec zohľadníme časovú hodnotu peňazí a to diskontovaním očakávaných ziskov, resp. straty, do súčasnosti. Preto je potrebné vypočítané zisky alebo straty oddiskontovať ku začiatku poistenia rizikovou diskontnou mierou rdm [5]. Riziková diskontná miera predstavuje mieru návratnosti, ktorú poisťovňa od svojho investovaného kapitálu očakáva. Odráţa cenu investičného kapitálu a riziko spojené s jeho investovaním do poistenia. Jej veľkosť neurčuje ani aktuár ani poisťovňa, ale je výsledkom investovania na finančnom trhu. Súčasnú hodnotu očakávaného zisku budúcnosti vypočítame nasledovne: t t t x t t rdm p PR rdm. (4) Je zrejmé, ţe rôzne poistné produkty majú rôzne prítomné hodnoty ročného očakávaného zisku..3 Kritéria ziskovosti Aby sme mohli realizovať výber poistného produktu, ktorý najefektívnejšie vyuţíva kapitál, musíme aplikovať na tieto poistné produkty ziskové kritérium a následne získané výsledky zoradiť podľa veľkosti. My uvedieme dve z nich. 6 Prvé kritérium je čistá prítomná hodnota (net present value, NPV) označovaná aj ako prítomná hodnota budúceho zisku. Toto kritérium pouţíva poisťovňa pri rozhodovaní medzi dvoma investíciami, pričom uprednostňuje investície s vyšším NPV. Vypočíta sa nasledovne: n t t (5) NPV rdm t Druhé kritérium ziskovosti je minimálny zisk z poistného (premium profit margin), ktorý je určený v percentách ako podiel čistej prítomnej hodnoty a hodnoty očakávaného budúceho poistného. Toto kritérium zisku je určujúce pri rozhodovaní medzi dvoma produktmi s rovnakým objemom poistného na poistnom trhu. Na jeho výpočet pouţívame vzťah [5]: n t n t ( rdm) t t t x -t B p ( rdm) -( t- ). (6).4 Analýza senzitívnosti zisku produktu na zmenu predpokladov Všetky predpoklady bázy oceňovania pri testovaní zisku sú odhadmi budúcich hodnôt. A keďţe báza oceňovania priamo súvisí so ziskami alebo stratami poisťovne, ktoré prináša predaj konkrétneho produktu, je nevyhnutné vykonať analýzu senzitívnosti zisku. Táto vyjadruje vplyv zmeny jednotlivých predpokladov bázy oceňovania na zisk z produktu. Pri tejto analýze skúma poisťovňa aj dôsledky zlých predpokladov na poistné a zisk poisťovne. Ak je realita horšia, ako sa uvaţovalo, môţe dôjsť k stratám a pre poisťovňu to môţe mať zlé finančné dôsledky. Na druhej strane, ak sú budúce hodnoty omnoho lepšie, ako sa očakávalo, potom zisky poisťovne rastú. 6 Ostatné kritéria nájdeme napríklad v [5]. 90

91 .5 Modelový poistný produkt zmiešané poistenie Medzi najpredávanejšie produkty ţivotného poistenia patrí zmiešané poistenie. Môţe sa platiť beţne alebo jednorazovo. My sa budeme zaoberať prípadom beţného platenia. Budeme predpokladať konštantnú výšku poistného B počas celej doby platenia. Klient vo veku 40 rokov uzavrie poistku pre prípad doţitia a úmrtia na dobu 0 rokov na poistnú sumu splatnú na konci roka úmrtia alebo pri doţití sa konca poistnej doby. Pri kalkulácií poistného poisťovňa kalkuluje nasledujúce prvky bázy oceňovania: - poistno-technická úroková miera je 2,75 %, - úmrtnostné tabuľky vydané Štatistickým úradom za rok 2008, 6 - náklady: začiatočné náklady 6 ; prvoročná provízia sprostredkovateľovi poistenia je 50 % z beţného poistného, teda poistného zaplateného v prvom roku poistenia; obnovovacia provízia sprostredkovateľovi v druhom a nasledujúcich rokoch je % z beţného poistného; marketingové náklady sú 3 % z prvoročného poistného a platia sa jednorazovo na začiatku; beţné správne náklady sú 20 a sú kalkulované od druhého roku poistenia aţ do konca doby trvania poistenia (podliehajú inflácii); náklady na výplatu poistného plnenia a odkupnej hodnoty sú vo výške 9 (podliehajú inflácii), - inflácia nákladov 2 %, - miera odkupov Tabuľka : Miera odkupov Rok poistenia a viac Miera odkupov 9,2 % 6,7 % 5,9 % 5 % 4% Zdroj: autorkou zvolené predpoklady Poisťovňa počíta odkupnú hodnotu O t podľa vzťahu zráţka, ktorej hodnoty sú v nasledujúcej tabuľke: Tabuľka 2: Storno zrážka t t, kde O S t V Rok poistenia a viac Storno zráţka 00 % 40 % 30 % 20 % 0% 0 % Zdroj: autorkou zvolené predpoklady S t je storno Riziková diskontná miera je 3 %. Manaţment poisťovne sa rozhodol, ţe minimálny zisk za daný produkt v budúcich obdobiach musí dosiahnuť výšku 5 %. Skôr ako sa pristúpi k samotnému testovaniu zisku, vypočíta sa beţné brutto poistné klasickými metódami aktuárskej matematiky. 7 Beţné brutto poistné vypočítané týmto 6 Zdroj ŠÚSR 7 Metóda ocenenia produktov klasickou metódou, t.j. cez rovnicu ekvivalencie je popísaná napr. v [6]. 9

92 spôsobom bude tzv. skúšobným poistným. Skúšobné poistné bude teda stanovené na B 420. Samotné testovanie zisku je zachytené v nasledujúcich tabuľkách. Najprv určíme za pouţitia výpočtovej techniky a vyššie uvedených vzorcov () (4) peňaţné toky, vektor zisku a signatúru zisku, uvedieme rezervy na začiatku roka. Rok poistenia Netto rezerva na Tabuľka 3: Rezervy na začiatku začiatku roka 0,00 289,42 586,82 892,48 206,94 530,66 863, , , ,92 Zdroj: Vlastné spracovanie v MS Exeli Teraz pristúpime k samotnému testu zisku. Je prevedený v tabuľkách 4 a 5. Pri určovaní nákladov na začiatku a na konci roka nesmieme zabudnúť, ţe niektoré z nich podliehajú inflácii, a preto ju pri výpočtoch zahrnieme, aj keď sa vo vzorcoch pre komplikovanosť jej zápisu neuvádza. Pri výpočtoch sa pouţíva vzorec () s prihliadnutím na infláciu. Peňaţné toky na začiatku roka Tabuľka 4: Čisté peňažné toky Peňaţné toky na konci roka Rok Vek Poistné Poistné Čisté poistenia t na zač. roka Brutto poistné Náklady Úrok plnenia v prípade smrti Náklady na ( PP S ) plnenia v prípade doţitia Náklady na ( PP ) Ž Odkup. hodnota Náklady na odkup peňaţné toky CF t ( PP S ) ( PP ) Ž ,00 426,00-0,2 6,86 0,02 0,00 0,00 0,00 0,84-3,93 420,00 24,60 3,84 7,58 0,02 0,00 0,00 23,59 0,63 377,42 420,00 25,0 3,82 8,42 0,02 0,00 0,00 36,86 0,56 362,94 420,00 25,42 3,8 9,08 0,03 0,00 0,00 48,28 0,49 350,52 420,00 25,85 3,80 9,59 0,03 0,00 0,00 55,0 0,40 342,83 420,00 26,28 3,78 0,60 0,03 0,00 0,00 74,55 0,4 32,90 420,00 26,72 3,76 2,5 0,04 0,00 0,00 88,26 0,4 305,82 420,00 27,7 3,75 4,42 0,05 0,00 0,00 02,39 0,42 289,30 420,00 27,63 3,73 6,39 0,05 0,00 0,00 6,96 0,43 272,27 420,00 28,0 3,72 8,93 0, ,07 0,9 32,00 0, ,80 Zdroj: Vlastné spracovanie autorky 92

93 Ako v predchádzajúcej tabuľke vidíme, čisté peňaţné toky sú v prvom a poslednom roku záporné. V prvom roku je to spôsobené tým, ţe na začiatku sú náklady vyššie ako prijaté poistné a v poslednom roku je to spôsobené tým, ţe v zmiešanom poistení vţdy dochádza k vyplateniu poistného plnenia, a to či uţ v prípade smrti, alebo pri doţití sa poistenej osoby. Pre výpočty v tabuľke 5 pouţijeme vzorce (2) a (3). Rok pois- tenia t Vek na zač. roka Tabuľka 5: Vektor zisku a signatúra zisku Výnos z rezerv Zmena rezerv Vektor zisku Faktor preţitia Signatúra zisku ,00 288,82-302,75, ,75 0,3 296,05 9,50 0, ,3 20,54 303,39 80,0 0, ,75 3,24 3,4 70,6 0, ,3 42,24 39,28 65,80 0, ,6 53,57 327,6 48,3 0, ,7 65,23 334,42 36,63 0, ,06 77,23 34,94 24,59 0, ,2 89,59 349,68 2,8 0, ,90 02, ,92 -,54 0, ,2 Zdroj: Vlastné spracovanie autorky Teraz uţ pomocou vzorca (4) vypočítame čistú prítomnú hodnotu, teda ,03,9 0,03,2 72, NPV 0, , 75 0, 03 9,3 0, 03 79, 75 0, 03 70,3 0, 03 65,6 0, 03 47, 7 0, 03 36, 06 0, 03 24,2 A minimálny zisk z poistného podľa vzorca (5) je Minimálny zisk 72,72 420ä 93 rdm 40,0 5,06 %, rdm kde ä je jednotkový predlehotný dočasný dôchodok 8 počítaný pri rdm. Z výsledku 40,0 vyplýva, ţe aktuár stanovil všetky predpoklady ako i poistné tak, aby boli naplnené poţiadavky manaţmentu ţivotnej poisťovne. Ako sme uţ uviedli, neoddeliteľnou súčasťou oceňovania produktov ţivotnej poisťovne je aj analýza citlivosti. Bola prevedená pre ziskové kritérium minimálny zisk z poistného a pre jednoduchosť bude uvedená na obrázku 2, pričom bol menený vţdy len jeden predpoklad pri zachovaní ostatných. Ako z tohto obrázku vyplýva, najväčšia citlivosť produktu je na zmenu poistného. 8 Vzorec na tento dôchodok nájdete napríklad v [6].

94 Obrázok 2: Analýza citlivosti pre minimálny zisk z poistného 20,00% 5,00% 0,00% 5,00% 0,00% Zmena rizikovej diskontnej miery Zmena úmrtnosti Zmena výnosu z aktív Zmena poistného -5,00% -0,00% Zdroj: Vlastné spracovanie autorky Takţe môţeme predpokladať, ţe predpoklady a poistné boli stanovené optimálne a produkt je ocenený. 2 Test dostatočnosti rezerv V praxi sa poistné v ţivotnom poistení určuje najčastejšie v konštantnej výške, čoho dôsledkom je, ţe v prvých rokoch poistenia sa platí viac, ako je potrebné na krytie rizika, zatiaľ čo v neskorších rokoch je často poistné na krytie rizika nedostatočné. Z tohto dôvodu prebytky v prvých rokoch nemôţu byť rozdelené ako zisk, ale vytvára sa z nich rezervný fond (rezervy) 9, ktorý spolu s úrokmi slúţi na vyrovnanie neskoršieho deficitu. Vzhľadom na to je potrebné, aby poisťovňa zisťovala v priebehu trvania poistenia, či sú jej technické rezervy v optimálnej výške. Spôsob postupu pri tomto teste v podmienkach slovenského poistného trhu upravuje odborná smernica č. v2 [7]. Vzhľadom na vyššie uvedenú metódu, budeme aj na test dostatočnosti rezerv pouţívať metódu peňaţných tokov. Peňaţné toky budú v tomto prípade zahŕňať predpísané poistné, poistné plnenia, všetky náklady vznikajúce počas roka a odkupné hodnoty. Peňaţné toky sa diskontujú pomocou krivky bezrizikových úrokových mier k dátumu ocenenia. Testovanie sa uskutočňuje na úrovni poistných zmlúv. Pri výpočte minimálnej hodnoty záväzkov aktuár poisťovne zohľadní [7] očakávané zvyšovanie nákladov, cenu opcií (úmrtnosť) a garancií (úroková miera), algoritmus výpočtu odkupných hodnôt a pravdepodobnosť zrušenia poistnej zmluvy. Neberieme v tomto prípade do úvahy investičné aktivity poisťovne. Pre výpočet diskontovaných peňaţných tokov na začiatku a na konci roka t, 0 v tomto prípade pouţijeme vzťahy: t t x t t x t xt t x c xt t x Diskontovaný peňažný tok na začiatku roku B p N p ptu Diskontovaný peňažný tok na konci roku M q p E q p 2 3 t t xt t x c xt t x t xt t x c xt t x, S p p E p p O w p E w p ptu pričom v prípade nákladov, ktoré vznikajú na začiatku, ale i na konci roka, nesmieme zabudnúť zohľadniť infláciu. 9 Povinnosť tvoriť technické rezervy upravuje [8]. 0 Aj v tomto prípade t, 2,..., n, avšak n je počet rokov od testovania dostatočnosti rezerv po koniec trvania poistenia. 94

95 Brutto rezervu reprezentuje nakoniec čistá prítomná hodnota (NPV), ktorá sa v tomto prípade vypočíta ako rozdiel súčtu všetkých diskontovaných peňaţných tokov vznikajúcich na konci roka za všetky roky a súčtu všetkých diskontovaných peňaţných tokov vznikajúcich na začiatku roka za všetky roky. Nakoniec sa porovná rezerva počítaná za pôvodných predpokladov s rezervou s upravenými predpokladmi. V prípade zistenia, ţe poistná rezerva kalkulovaná pomocou aktuálnych predpokladov je vyššia, musí sa pôvodná rezervu navýšiť o vzniknutý rozdiel. 2.2 Modelový príklad pre test dostatočnosti rezerv v životnom poistení Teraz budeme test dostatočnosti rezerv aplikovať na modelové poistenie v časti.5, ktoré bolo uzavreté Rezervu k dostaneme tak, ţe naprojektujeme budúce peňaţne toky za zostávajúcich šesť rokov, tieto diskontujeme na začiatok piateho roku poistenia a dostaneme NPV, ktorá reprezentuje brutto rezervu na konci štvrtého roka. Poisťovňa, ktorá prevádza daný test , zistila, ţe sa zmenila úmrtnosť (tabuľky Štatistického úradu za rok 202) a úroková miera klesla na 2,5 %. Je zrejmé, ţe dochádza k zmene aj ostatných predpokladov, nám však pre praktické účely postačí aj zmena úmrtnosti a poistno-technickej úrokovej miery (ptu), ktorou budeme diskontovať. Rok Tabuľka 6: Diskontované peňažné toky pre pôvodné predpoklady Diskontované peňaţné toky na Diskontované peňaţné toky na konci roka začiatku roka testu dostat. rezerv t Vek na zač. roka Brutto poistné Náklady Diskont. peňaţný tok na zač. roka Poistné plnenie v prípade smrti ( PP S ) Náklady na ( PP S ) Poistné plnenie v prípade doţitia ( PP ) Ž Náklady na ( PP ) Ž Odkup. hodnota Náklady na odkup Diskont. peňaţný tok na konci. roka ,00 24,20 395,80 9,59 0,03 0,00 0,00 55,0 0,37 63,34 48,78 24,53 383,70 0,57 0,03 0,00 0,00 74,34 0,37 80,8 47,43 24,86 37,85 2,43 0,04 0,00 0,00 87,72 0,38 92,7 45,85 25,7 360,4 4,28 0,04 0,00 0,00 0,38 0,39 04,4 44,04 25,48 348,60 6,6 0,05 0,00 0,00 5,30 0,39 5,6 4,98 25,78 337,2 8,57 0, ,4 9,88 29,48 0, ,55 Zdroj: Vlastné spracovanie autorky V tabuľke sú diskontované peňaţné toky realizované na základe pôvodných predpokladov. Súčtom všetkých diskontovaných peňaţných tokov vznikajúcich na začiatku roka (5. stĺpec tabuľky) je 297,30 a súčtom všetkých diskontovaných peňaţných tokov vznikajúcich na konci roka (2. stĺpec tabuľky) je 3325,72. Potom čistá prítomná hodnota je NPVpôvodné predpoklady 3325,72 297,30 28, 42. Ak teraz prevedieme test pre zmenenú úmrtnosť a úrokovú mieru, tak obdobným spôsobom dostávame: Tabuľka 6: Diskontované peňažné toky pre zmenené predpoklady 95

96 Rok Diskontované peňaţné toky na začiatku roka Diskontované peňaţné toky na konci roka testu dostat. rezerv t Vek na zač. roka Brutto poistné Náklady Diskont. peňaţný tok na zač. roka Poistné plnenie v prípad e smrti ( PP S ) Náklady na ( PP S ) Poistné plnenie v prípade doţitia ( PP ) Ž Náklady na ( PP ) Ž Odkup. hodnota Náklady na odkup Diskont. peňaţný tok na konci. roka ,00 24,20 395,80 8,86 0,02 0,00 0,00 55,5 0,37 63,9 48,87 24,53 384,72 9,6 0,03 0,00 0,00 74,79 0,37 80,7 47,65 24,87 373,85 0,5 0,03 0,00 0,00 88,6 0,38 92,00 46,3 25,20 363,9,60 0,03 0,00 0,00 0,80 0,39 03,2 44,83 25,53 352,69 3,02 0,04 0,00 0,00 5,70 0,39 4,5 43,8 25,85 342,34 4,4 0, ,98 9,93 29,86 0, ,27 Zdroj: Vlastné spracovanie autorky a NPVzmenené predpoklady 3373, ,59 60,86. Keď teraz porovnáme NPV pôvodné predpoklady a NPV zmenené predpoklady, zistíme, ţe NPV pôvodné predpoklady NPV. zmenené predpoklady Hodnota brutto rezervy na konci štvrtého roka určená pomocou pôvodných predpokladov v čase prevádzania testu dostatočnosti rezerv je vyššia ako hodnota brutto rezervy na konci štvrtého roka pri zmenených predpokladoch v čase prevádzania testu dostatočnosti rezerv. Z toho je zrejmé, ţe poisťovňa ma dostatočné rezervy na krytie svojich záväzkov v budúcnosti. 3. Záver Projekt SOLVENCY II, ktorého cieľom je jednotný dohľad nad poisťovníctvom v rámci Európskej únie ako i ochrana poistených osôb, či finančná solventnosť a stabilita poisťovní, sa čoskoro stane súčasťou fungovania kaţdej poisťovne (mnohé poisťovne sa snaţia implementovať jednotlivé časti tohto projektu do svojho fungovania uţ v súčasnosti). Poznať a sledovať finančné toky prebiehajúce v ţivotnej poisťovni je jedným z predpokladov dobrého fungovania poisťovne. Aktuár poisťovne musí vedieť nielen dobre oceniť nové produkty, samozrejme tak, aby poisťovňa pri jeho predaji bola zisková, ale i sledovať to, či rezervy na toto poistenie sú tvorené v dostatočnej výške (test dostatočnosti rezerv), aby sa poisťovňa nedostala do finančných problémov. Aktuár musí dokladovať opis testu dostatočnosti rezerv a aj dôvody zmeny predpokladov, ich dovodenie a vyčíslenie. V prípade, ţe niektoré predpoklady nemení, musí ich vymenovať a náleţite vysvetliť. Ak sa zistila nedostatočná rezerva, musí ju poisťovňa dotvoriť, resp. nájsť iný spôsob nápravy a tento spôsob musí aj vysvetliť. 96

97 Pri oceňovaní zmiešaného poistenia sme zistili, ţe minimálny zisk z poistného dosiahol úroveň poţadovanú manaţmentom poisťovne vo výške 5 % a tieţ, ţe po prevedení analýzy citlivosti minimálneho zisku na zmenu predpokladov je najväčší vplyv pri zmene poistného. Je zrejmé, ţe s rastúcim poistným minimálny zisk rastie. Na druhej strane je otázne, či daný produkt bude s rastúcim poistným predajný. Preto je zo strany poisťovne veľmi dôleţité brať aj tento dôvod do úvahy. Pri teste dostatočnosti rezerv sme zistili, ţe brutto rezerva na konci štvrtého roka pri zmenených predpokladoch je väčšia ako pri pôvodných predpokladoch, takţe rezerva je dostatočná. Treba si však tieţ uvedomiť, ţe sme nemenili ostatné predpoklady, čo by mohlo viesť k iným výsledkom, kedy by sa rezervy uţ museli dotvoriť. Literatúra [] HOLEŠOVÁ, Janka. Test primeranosti rezerv v životnom poistení. In Poistná matematika v teórii a v praxi: zborník príspevkov 5. vedeckého seminára. - Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, ISBN X, s [2] KRČOVÁ, I. Dizertačná práca: Metódy oceňovania produktov a meranie zisku v životnom poistení. Bratislava: Katedra matematiky Fakulty hospodárskej informatiky Ekonomickej univerzity v Bratislave, 2005,. [3] KRČOVÁ, I. Test primeranosti technických rezerv v životnom poistení. In Aktuárske vedy v podmienkach poistného trhu Slovenskej republiky. Seminár. Aktuárske vedy v podmienkach poistného trhu Slovenskej republiky. - Bratislava: Katedra matematiky Fakulty hospodárskej informatiky Ekonomickej univerzity v Bratislave, 2006, s. 9. [4] SAKÁLOVÁ, K. Aktuárske analýzy. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 2006, 3 s., ISBN [5] SAKÁLOVÁ, K. Oceňovanie produktov v životnom poistení. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 200, 56 s. ISBN [6] SEKEROVÁ, V., BILÍKOVÁ, M.: Poistná matematika. Bratislava: Vydavateľstvo EKONÓM, 2007, 80 s. ISBN [7] Test primeranosti rezerv v ţivotnom poistení - Odborná smernica SSA č. v2, 20 [8] Zákon č. 8/2008 o poisťovníctve 97

98 Abstract Implementation of ORSA in insurance companies Implementácia projektu ORSA v poisťovniach Michal Páleš, Štefan Poláček The paper is focused on their own risk and solvency assessment (ORSA), which is an integral part of risk management strategies for all insurers and insurance groups. ORSA main objective is to understand and identify any risks associated with the insurance market and select appropriate tools for their analysis and solution in accordance with the capital requirements and the requirements technical reserves. The article describes the basic pillars of this process in this time. Key words Solvency II, actuarial function, capital requirements, SCR, actuarial analysis, risk management JEL Classification: G22. Úvod EIOPA (European Insurance And Occupational Pension Authority) publikovala 9. júna 203 verejnú konzultáciu vypracovanú v súlade s čl. 6 nariadenia 094/200 (nariadenie o EIOPA). Dôvodom vydania usmernení bolo najmä zabezpečenie efektívnej pripravenosti na zavedenie projektu Solvency II a zavedenie konzistentného a efektívneho prístupu. S výnimkou reportingu a čiastočne princípov ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) sa poisťovne pripravujú na zavedenie tohto projektu s účinnosťou od. januára 204. Správa EIOPA obsahuje presné a systematické kroky k zavedeniu príslušných oblastí. Počas prípravy aproximácie mali a majú všetky poisťovne pôsobiace na trhu v EÚ jedinečnú príleţitosť ovplyvniť budúcu smernicu svojimi pripomienkami a výsledkami štúdií. Najviac diskutovanou oblasťou v súčasnosti je práve zameranie pozornosti poisťovní na vlastné posúdenie rizika a solventnosti (ORSA). 2. Systém riadenia rizík Systém riadenia rizík sa opiera o čl. 44, 32 a 246 Smernice o Solventnosti II. Jedná sa o kontinuálny proces umoţňujúci porozumieť povahe a významu jednotlivých rizík, ktorému je podnik vystavený. Za systém riadenia rizík zodpovedá predstavenstvo z čoho jeden člen je poverený kontrolou nad systémom riadenia rizík. Aktuárska funkcia prispieva k účinnému systému riadenia rizík. Funkcia riadenia rizík má nasledovné piliere (obrázok č. ). Ing. Michal Páleš, PhD., KMA, Fakulta hospodárskej informatiky EU v Bratislave, Dolnozemská cesta, Bratislava, pales.euba@gmail.com. VEGA /093/; Analýza a modelovanie rizík v zmysle kvantitatívnych štúdií QIS projektu SOLVENCY II; doba riešenia Ing. Štefan Poláček, KMA, Fakulta hospodárskej informatiky EU v Bratislave, Dolnozemská cesta, Bratislava, pistikus@gmail.com. 98

99 Obrázok : Funkcia riadenia rizík Zdroj: vlastné spracovanie Systém riadenia rizík zahŕňa; - stanovenie a zdokumentovanie rizikovej stratégie v súlade s vlastnou obchodnou stratégiou, - stanovenie limitov tolerancie rizika, zodpovedností, stress testy, - procedúry rozhodovacieho procesu, - koncepciu rizík (písomnú), - popis celkovej potreby kapitálu podľa ORSA a iných stanovených poţiadaviek. Riziká spadajúce do systému riadenia rizík (obrázok č. 2). Obrázok 2: Riziká v rámci systému riadenia rizík Zdroj: vlastné spracovanie 99

100 3. ORSA a jej rozsah ORSA teda predstavuje priebeţný proces monitorovania a riadenia kapitálovej pozície a solventnosti poisťovne. Je zaloţený na týchto princípoch (obrázok č. 3.) Obrázok 3: Princípy ORSA Zdroj: vlastné spracovanie Proces ORSA moţno pokladať za proces prepojenia rizikového profilu, stanovenia limitov rizika a celkovej potreby solventnosti. Mala by poskytovať informácie o frekvencii a metodike pre stresové testovanie, analýzy citlivosti a reverzné stres testy. Na základe týchto skutočností kladie vysoký dôraz na dáta ich zdroje a kvalitu. Metodika obsahuje taktieţ frekvenciu samotného hodnotenia ORSA pričom interná správa by po podpise predstavenstva mala informovať zamestnancov minimálne o výsledkoch a záveroch o tomto hodnotení. Po ukončení hodnotenie bude potrebné odoslať do dvoch týţdňov správu pre dohľad, ktorá by mala obsahovať; kvantitatívne, kvalitatívne výsledky a závery, metódy a hlavné predpoklady, porovnanie celkovej potreby solventnosti a vlastných zdrojov. Princípy ORSA sa opierajú o článok 45 a 246 Smernice 2009/38/ES o začatí a vykonávaní poistenia a zaistenia (Solventnosť II) s účinnosťou od. januára 204. Termín pre časti súvisiace s pilierom I bude prehodnotený koncom tohto roku v závislosti od OMD II (Omnibus II Direction). Rozsah ORSA môţeme zosumarizovať najmä na tri základné oblasti, a to; - posúdenie celkovej potreby solventnosti pre všetky poisťovne a poisťovacie skupiny - kontrola súladu s kapitálovými poţiadavkami a s poţiadavkami týkajúcimi sa technických rezerv, - odchýlka od predpokladov pre SCR. Podstatnými náleţitosťami ORSA teda je; - vyhodnotenie celkovej potreby solventnosti na základe kvantitatívnych modelov a kvalitatívneho opisu, 00

101 - meranie na základe stresového testovania a scenárov, - vyhodnocovanie celkovej potreby solventnosti na základe prístupu forward looking počas strednodobého plánovania (alebo dlhodobého, ak je to vhodné), - priebeţné monitorovanie súladu s regulatórnymi poţiadavkami na kapitál zohľadňujúc budúce zmeny rizikového profilu a stresových situácií (napríklad reverse stress test ) a skladbu vlastných zdrojov, - súlad s poţiadavkami technických rezerv a riziká vyplývajúce z kalkulácie technických rezerv, - pouţívanie výsledkov: kapitálové plánovanie, obchodné plánovanie a vývoj produktov - pravidelné vyhodnocovanie ORSA (minimálne raz ročne) a po kaţdej zmene rizikového profilu (akvizícia, významná zmena na finančných trhoch, náhle zhoršenie finančnej situácie ap.). 4. Pripomienky k implementácii ORSA Pri procese implementácie ORSA sa respondenti (poisťovne) v rámci pripomienkovaní podkladov pre EIOPA, v roku 202, zaoberali najmä; skupiny vyţadujú taký jazyk, aby boli podklady ORSA zrozumiteľné aj pre nich, preto vzniká potreba viesť ORSA v dvoch jazykoch, moţné otvorenie zákona o poisťovníctve aj zákona o dohľade nad poistným trhom, niektoré časti ORSA poisťovne chápu ako zmes dokumentov (hlavných a vedľajších so statickou a dynamickou časťou, poţiadavka na aktuársku funkciu, potreba kvantifikovať všetky riziká (aj kvalitatívne), keď sa však riziko odhadne, tak bude potrebné naň vytvoriť aj kapitálovú poţiadavku (ak bude riziko významné), riadiaci pracovníci poisťovní by mali poznať a chápať všetky riziká, ktoré bude ORSA obsahovať, čo následne je nadväzné na potrebu vysvetľovať riziká manaţmentu, ORSA môţe byt ako celok súčasťou (podmnoţinou) manaţmentu rizík, nemusia sa ohodnocovať riziká duplicitne, moţnosť uskutočňovať Groupwide, vtedy ak by bola ORSA aplikovaná len na koncernovej úrovni, tzn. dcérske spoločnosti posielajú svojmu koncernu len dáta na vyţiadanie a vyuţíva sa princíp proporcionality, ORSA je potrebné chápať ako nástroj manaţmentu a nie ako nástroj na výpočet kapitálu, strach poisťovateľov o aplikáciu proporcionality a jej rozdielneho chápania dozornými orgánmi a strach, ţe štandardný model bude musieť byt nahradený interným modelom (ak bude významná odchýlka rizikového profilu k odhadu SCR), ORSA sa týka len skupín v rámci EU - mimo EU si EIOPA vykonávanie ORSA zatiaľ nevie predstaviť. 0

102 Literatúra [] PÁLEŠ, M Rekurentné vzťahy pre aktuárov a ich aplikácia v oblasti zaistenia: dizertačná práca. Bratislava : Ekonomická univerzita v Bratislave, 202. [2] POLÁČEK, Š. PÁLEŠ, M., 202. Durácia ako nástroj na riadenie rizika zmeny úrokovej miery v poisťovniach. In: 6th International Scientific Conference Managing and Modelling of Financial Risk. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, Faculty of Economics, Finance Department, 202. ISBN [3] [4] [5] 02

103 Abstract Actuarial mathematics, its genesis, importance and role in the system of the education on EU Aktuárska matematika, jej genéza, miesto a úloha v systéme výučby matematiky na EU František Peller, Katarína Sakálová The aim of this article is to describe the genesis, importance and the role of the actuarial mathematics in the system of the education on EU. Key words Mathematics, insurance mathematics, actuary JEL Classification: B6, A2, C02, G22. Úvod Matematika je v systéme vedeckého poznania formou spoločenského vedomia, ktorá sa neustále vyvíja a podlieha permanentným zmenám. Predstavuje proces odkrývania a zovšeobecňovania nových poznatkov. Začiatky matematiky sa spájajú so začiatkami ľudskej kultúry. Jej vývoj bol ovplyvňovaný jednak vnútornými podnetmi, jednak podnetmi, ktoré pramenili zo snahy poznávať objektívne zákonitosti okolitého sveta. Reálne potreby ľudskej spoločnosti vţdy prinášali so sebou potrebu rozvoja jednotlivých odvetví matematiky. 2. Matematika a ekonómia Matematika a ekonómia sú nerozlučne spojené od najstarších dôb ľudstva. Ţivotné potreby človeka v spoločnosti, ktorú vytvoril, si vyţadovali praktické a efektívne nástroje riadenia jeho činnosti. Prenikanie matematiky do ekonómie je objektívny proces, ktorý má svoj začiatok pomerne presne určený dosiahnutou úrovňou poznania ekonomických procesov a javov. Pouţitie matematiky v ekonómii má svoje základy:. v tom, ţe poznávanie kvantitatívnych stránok javov a ich zákonitostí slúţi ako prostriedok poznania ich kvalitatívnej stránky, 2. v rozvoji matematiky ako vedy. Vznikom a rozvojom nových disciplín matematiky sa mohli riešiť problémy, ktoré ekonomická teória načrtla, avšak pre ich zloţitosť nemohla nematematickými prostriedkami vyriešiť, 3. v rozvoji technických prostriedkov, ktoré uľahčujú a urýchľujú matematizáciu väčšiny ekonomických procesov. prof. RNDr. Ing. Peller František, PhD., prof. RNDr.Sakálová Katarína, CSc., Katedra matematiky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská cesta /a, Bratislava. frantisek.peller@euba.sk, katarina.sakalova@euba.sk. Príspevok vznikol v rámci projektu VEGA č. /0542/3 Riadenie rizík a aktuárska funkcia v životnom poistení. 03

104 3. Úloha matematiky v systéme štúdia ekonómie Správa OECD z roku 965 sumarizuje dôleţitosť a úlohu matematiky ako jedného zo základných predmetov inţinierskeho štúdia, do nasledovných tvrdení: matematika predstavuje prostriedok výchovy k racionálnemu mysleniu, reprezentuje istotu v hodnotách tohto myslenia, je nástrojom na odvodenie a spracovanie kvantitatívnych informácií o javoch a systémoch, umoţňuje analýzu týchto javov, je jazykom, ktorý predstavuje prostriedok na odovzdávanie myšlienok vo všetkých vedeckých rozpravách, rozvíja predstavivosť a tvorivosť študentov v ich vlastnom myslení, výučba v matematike je prípravou do budúcnosti, matematika predstavuje jazyk na vytvorenie modelu pre počítačovú analýzu. Výučba matematiky budúcich ekonómov plní dve základné úlohy: - Ako metodologická disciplína učí logicky myslieť, pochopiť podstatu vzťahov (najmä kvantitatívnych), kauzalitu, pochopiť súvislosti a robiť závery. Učí systematickosti, stručnému vyjadreniu, ktorým nahrádza mnohonásobný verbalizmus. Tvorí dôleţitú súčasť výchovného pôsobenia samostatnej tvorivej práce v akomkoľvek odbore. - Dáva študentom určité minimálne potrebné kvantum matematických znalostí, zručností a návykov, ktoré by mali pouţívať v praxi. Praktická aplikácia matematického myslenia pri riadení ekonomiky efektívnym vyuţívaním finančných zdrojov, zniţovaním rizika straty a dosahovaní čo najväčšieho zisku vedie ku vzniku a rozvoju aktuárskej matematiky. 4. Aktuárska matematika a aktuár Uţ v antickom Grécku sa objavili prvé vyjadrenia k finančným otázkam krajiny. Aristoteles (4.st.p.n.l.) sa zaoberal úvahami o spravodlivom rozdelení daňového bremena. Vznik a rozvoj poistného trhu v 8. a 9. storočí vyvolal potrebu nového špecialistu, matematika - aktuára odborníka vo finančnej a poistnej matematike, ktorý by bol zodpovedný predovšetkým za kalkuláciu sadzieb a výšku poistného, rezerv poisťovne a ich umiestnenie, ďalej za dohľad na to, aby poisťovňa mala v ľubovoľnom čase dostatok prostriedkov na krytie svojich záväzkov voči poisteným, ktoré vyplývajú z jednotlivých poistných zmlúv. Základom vedomostí a zručností aktuára je dôkladná znalosť finančnej a poistnej matematiky. Poistná matematika je samostatnou časťou finančnej matematiky, zaoberajúcou sa výpočtami tvorby, správy a rozdeľovania poistných fondov. Pouţíva hlavne metódy matematickej štatistiky, počtu pravdepodobnosti a zákonov aritmetických a geometrických postupností. Aktuárska matematika je otvoreným systémom odborných predmetov z oblasti poistnej matematiky a štatistiky, ktoré tvoria základ pre výchovu odborníka v oblasti aktuárstva aktuára. Kolískou aktuárov je Veľká Británia, kde sa prví aktuári objavili v polovici 8.storočia. Priemyselná revolúcia spôsobila rozvoj mnohých odvetví podnikania vrátane viacerých foriem poistenia s cieľom zníţenia rizika. Ako prvé profesijné zdruţenie, bol ešte za čias kráľovnej Viktórie zaloţený Institut of Actuaries so sídlom v Londýne, ktorý v roku 848 získal Kráľovskú chartu. Charta definuje hlavné ciele Inštitútu ako priblíţenie aktuárskej vedy verejnosti, regulácie praxe členov, zabezpečenie čo najvyšších štandardov pre vzdelávanie, tréning, prax a správanie sa aktuárov, ako aj definovanie pozície dozorného orgánu na 04

105 legislatívne účely. V roku 856 vznikla v škótskom Edinburgu Facullty of Actuaries. Obidve organizácie aktívne pôsobia dodnes. Z Británie sa táto profesia neskôr rozšírila do celého sveta. Za strešnú organizáciu moţno v súčasnosti povaţovať International Actuarial Association (IAA), ktorá vznikla v roku 998 a má sídlo v Ottawe v Kanade. IAA koordinuje prácu aktuárskych asociácií, ktoré spájajú aktuárov z rôznych krajín sveta a orientuje sa na výskum, vzdelávanie a rozvoj profesie. Našich aktuárov zastupuje Slovenská asociácia aktuárov SSA. Na Slovensku sa pojem aktuár začal vyskytovať aţ po demonopolizácii poistného trhu. Z klubu poistných matematikov sa v apríli 996 vyprofilovala Slovenská spoločnosť aktuárov (SSA). Jej členovia pracujú väčšinou v poisťovniach, niektorí v oblasti dozoru nad poisťovníctvom, v doplnkových dôchodkových poisťovniach, v audítorských firmách a na univerzitách. SSA má svoje pravidlá pôsobenia, a to Stanovy spoločnosti a etický Kódex aktuára. Podmienkou pre individuálne členstvo v SSA je zodpovedajúce vysokoškolské vzdelanie a minimálne rok praxe v oblasti poisťovníctva, resp. aktuárskeho vzdelávania. 5. Študijný program Aktuárstvo na EU Matematika sa vyučovala na všetkých typoch ekonomických škôl od ich vzniku a vţdy mala okrem teoretického i aplikačné zameranie. Na Vysokej škole obchodnej, predchodkyni EU (940), sa matematika vyučovala v predmetoch Základy vyššej matematiky a Politická aritmetika ktorá obsahovala i základy finančnej matematiky. Od začiatku 60-tyh rokov boli pokusy zaviesť do výučby matematiky ekonomické aplikácie vrátane základov finančnej a poistnej matematiky. Na tomto mieste treba spomenúť významnú odbornú i ľudskú podporu prof. RNDr. Antona Huťu z MMF UK, ktorú v tomto úsilí poskytoval učiteľom KM. V tom čase bol posledným ţijúcim odborníkom a nestorom v oblasti Poistnej matematiky na Slovensku. V roku 99 sa zaviedol do výučby nový predmet Finančná matematika (prof. Huťka, doc. Mojţišová), neskôr predmety Poistná matematika, Numerická matematika a ďalšie. Toto úsilie katedry pod vedením prof. Huťku bolo zavŕšené mimoriadnym počinom Katedra matematiky ako prvá a v nasledujúcom období dosť dlho aj jediná na vysokých školách nematematického zamerania, sa v roku 994 stáva gestorom študijnej špecializácie Poistná matematika a štatistika. Prví absolventi ukončili toto štúdium v akademickom roku V rokoch katedra zorganizovala v spolupráci s britskou aktuárskou profesiou za finančnej pomoci Know-how fondu britskej vlády, dva postgraduálne kurzy z aktuárskych vied, (ktoré obsahom pokrývali podobné Diploma Course vo Veľkej Británii), s domácimi i zahraničnými účastníkmi. Veľký podiel na vysokej kvalite prípravy budúcich učiteľov aktuárskych predmetov FHI EU (doc.bilíková, doc.fecenko, doc.horáková, prof.huťka, prof.pacáková, doc.rovder, prof.pinda, prof.sakálová, RNDr.Sekerová, doc.škrovánková), mali garanti postgraduálov z Veľkej Británie: Chris Daykin Goverment Actuary a Graham Luffrum Institute of Actuaries. Kurzy Diploma (Aktuárska matematika a štatistika a Aktuárska matematika a poistenie) absolvovali štyria členovia katedry, ďalší členovia katedry v rámci spolupráce s Institute of Actuaries London a Faculty of Actuaries Edinbourg a City Univetsity of London, absolvovali pobyty vo Veľkej Británii. Na základe nadobudnutých skúseností sa vytvorili a začali vyučovať nové predmety: Poistná matematika, Ţivotné poistenie, Neţivotné poistenie, Investície, Penzijné 05

106 a nemocenské poistenie. Takto sa vytvorili základy pre vznik novej špecializácie Poistná matematika a štatistika, neskôr Poistná matematika, od roku 2004 Aktuárstvo. Aktuárska veda vytvorila na katedre priestor na zvýšenie aktivít ako v pedagogickej, tak aj vedeckovýskumnej oblasti, rozšírila tieţ moţnosti publikačnej činnosti a kvalifikačného rastu členov katedry. V roku 997 sa katedra stáva školiacim pracoviskom doktorandského štúdia vo vednom odbore Štatistika, s odborným zameraním na Poistnú matematiku a štatistiku. V tom istom roku vyšla katedra víťazne (v spolupráci s Governemet Actuary s Department, Londýn) z medzinárodného tendra na projekt PHARE Actuarial Training in the Slovak Republic, vyhláseného Ministerstvom práce, sociálnych vecí a rodiny SR. Pre pracovníkov praxe zorganizovala kurz Aktuárska matematika a penzijné poistenie. Doteraz ukončilo doktorandské štúdium zamerané na aktuársku problematiku 5 externých doktorandov a 6 interných doktorandov. V súčasnosti má katedra 3 interných a 5 externých doktorandov. Z oblasti aktuárskej vedy inaugurovali dvaja a habilitovali šiesti učitelia katedry. Od akademického roka sa na katedre vytvorili dve oddelenia, a to oddelenie inţinierskej matematiky a oddelenie finančnej a poistnej matematiky. V akademickom roku bol na druhom stupni štúdia akreditovaný študijný program Aktuárstvo, v rámci študijného odboru Kvantitatívne metódy v ekonómii. Tento študijný program svojim obsahom a rozsahom reaguje na zvýšený dopyt po aktuároch najmä v poisťovníctve, ale aj v oblasti dohľadu a auditu. Jeho absolventi majú veľmi dobré uplatnenie doma i vo svete. V roku 2008 na EU úspešne prebehla akreditácia. Od akademického roku 200- sa začala výučba podľa nových študijných programov, pre ktoré katedra pripravila tieto predmety: Matematika, Vybrané kapitoly z matematiky, Diferenciálne a diferenčné rovnice, Teória pravdepodobnosti a 2, Numerická matematika, Diskrétna matematika, Finančná matematika a 2, Aktuárska matematika, Teória rizika v poistení a 2, Investície a ich poistenie, Penzijné a nemocenské poistenie, Deriváty cenných papierov. 6. Katedra matematiky a Slovenská spoločnosť aktuárov V prvej polovici deväťdesiatich rokov boli poloţené základy aktuárskej profesie na Slovensku a v roku 995, pod záštitou Slovenskej asociácie poisťovní, vznikol na katedre Klub poistných matematikov. Občianske zdruţenie, zaloţené na profesijnej báze, ktoré zdruţovalo odborníkov z akademickej oblasti a z praxe, pod názvom Slovenská spoločnosť aktuárov (SSA). Poţiadalo o registráciu na Ministerstve vnútra SR v roku 996. Na jeho vzniku a vedení sa významne podieľali prof. Huťka a doc. Bilíková. Pojem aktuár sa prvýkrát objavuje v novele zákona o poisťovníctve, prijatej v roku 2000 a Zákon o poisťovníctve z roku 2002 uţ pozná pozíciu zodpovedného aktuára. Zásluhu na tom má prof. Huťka, ktorý sa v roku 2007 stal čestným členom SSA. Na získaní medzinárodnej prestíţe sa podstatnou mierou podieľala doc.bíliková, ktorá v rade SSA pôsobila aţ do roku 200, ( ako predsedníčka). V tomto čase sa SSA stala plnoprávnym členom medzinárodných inštitúcií, GC Groupe Consultatif (zastupuje aktuárske asociácie krajín EU), IAA International Actuarial Association (celosvetová pôsobnosť), ktorých je menovaná členkou. Katedra matematiky, v spolupráci s SSA, pravidelne organizuje odborné a metodické semináre, na ktorých sa konzultujú a riešia aktuálne problémy vyplývajúce z poistnej praxe a hľadajú spôsoby a moţnosti ich teoretickej realizácie v rámci predmetov aktuárskej 06

107 matematiky. Členovia katedry sa podieľajú na práci SSA v rámci práce jednotlivých komisií a prednáškovou činnosťou. SSA je spoluorganizátorom pravidelnej vedeckej konferencie poriadanej katedrou, venovanej rozvoju Aktuárskej matematiky. Záver Etablovanie a úspešná akreditácia študijného programu Aktuárstvo je logickým vyvrcholením dlhoročnej snahy Katedry matematiky o vytvorenie vlastnej študijnej špecializácie študijného programu. Aktuárska matematika sa stala nielen základom študijného programu Aktuárstvo, ale aj aplikačným spojivom medzi teoretickou matematikou a jej uplatnením sa vo viacerých študijných programoch, poskytovaných fakultami Ekonomickej univerzity. Týmto sa potvrdil jej význam a nezastupiteľnosť v systéme štúdia ekonómie na Ekonomickej univerzite v Bratislave. Literatúra [] BILÍKOVÁ, M., SEKEROVÁ, V.: Znovuzrodenie aktuárskej profesie na Slovensku. Ekonomické rozhľady, Ekonomická univerzita v Bratislave, 997. ISSN X, s [2] ONDREJKOVÁ KRČOVÁ, I., STREŠŇÁKOVÁ, A., ŠOLTÉSOVÁ, T.: Matematika a jej postavenie medzi predmetmi ekonomického vzdelávania. Matematika, jej úloha a miesto vo vzdelávaní ekonómov: zborník príspevkov z medzinárodného vedeckého seminára : 7. október Bratislava [elektronický zdroj]. - Bratislava : Vydavateľstvo EKONÓM, 200. ISBN , s [3] PELLER, F.: Pamätnica Katedry matematiky. Ekonóm, Bratislava, 200. [4] ŠALÁT, T.: Malá encyklopédia matematiky. Obzor, 978. [5] Internetové zdroje. 07

108 Securitization of systemic risk in conditions the slovak agriculture Abstract Sekuritizácie systematického rizika v podmienkach slovenského poľnohospodárstva Ľudovít Pinda CAT bonds have never been used in the field of agriculture. The paper contributes by analyzing an entirely new class of index insurance instruments for risk management in agriculture. The instruments designed in this study are zero-coupon CAT bonds priced so as to provide a certain required rate of return plus an additional risk premium. The required rate of return, which can be interpreted as a certain spread over the Euribor. The triggers of the CAT bond contracts are specified as certain levels of yield loss measured as percentage deviations of realized state average yield from its long-term average. Once the realized yield loss exceeds the trigger, the CAT bonds default, paying eithernothing or a preset proportion of the face value to the investor, depending on design. For computation of CAT bond prices is necessarily involves estimation of the probability distributionof the index variable, i.e., the realized yield losses. Regardless, the findings of this analysis suggest CAT bonds may be a viable instrumentfor transferring systemic agricultural production risks. Key words CAT bonds, risk transfer, CAT bonds valuation, reinsurance JEL Classification: G22. Úvod Poľnohospodárska produkcia je citlivá na rôzne nebezpečenstvá vyplývajúce z neţiaduceho počasia, prírodných katastrof, chorôb. Tieto faktory vedú k zavedeniu poistenia poľnohospodárskych produktov. Štát svojimi dotáciami zniţuje stimuly farmárov k poisteniu poľnohospodárskej produkcie. V poslednom čase vznikol rad inovatívnych finančných nástrojov, medzi ktorými majú významné miesto katastrofické (CAT) dlhopisy. Ich vznik podmienilo hlavne zaistenie proti katastrofickým rizikám, ktorých dôsledkom bývajú straty obrovských rozmerov. Na rozdiel od tradičných poistných zmlúv, katastrofické dlhopisy predstavujú výhodný nástroj na prenos nediverzifikovatelného rizika. Sú atraktívne pre poisťovne, ktoré aj tak čelia vysokému riziku systematickej zloţky poistného portfólia a ktoré nemôţe byť dodatočne diverzifikovatelné. Katastrofické dlhopisy CAT dlhopisy predstavujú nástroj pre poisťovne alebo zaisťovne na prenos nediverzifikovatelného rizika (napr. v dôsledku prírodných katastrof) na kapitálové trhy. O CAT dlhopisy majú záujem investori ako v súkromnom, tak aj verejnom sektore, ktorí majú záujem o pridanie takých aktív do svojich portfólií, ktorých výnosy sú nekorelovatelné s takými aktívami, ako sú akcie a dlhopisy. CAT dlhopisy sa v konečnom dôsledku podobajú konvenčným dlhopisom v tom, ţe investor za pôţičku očakáva zaplatenie úroku a splátky istiny v dobe splatnosti. Investori Ľudovít Pinda, prof. RNDr. CSc., Ekonomická univerzita v Bratislave, Fakulta hospodárskej informatiky, Katedra matematiky, Dolnozemská cesta /b, Bratislava 5, Slovenská republika; ludovit.pinda@euba.sk. Článok je výstupom výskumného projektu VEGA /027/3: Modelovanie alternatívneho transferu rizika v procese poistenia. 08

109 investovaním do CAT dlhopisov však súhlasia s nevyplatením úroku v prípade vopred stanovených podmienok, ako je vyskytnutie katastrofickej udalosti. Emitent však môţe následne vyuţiť výnosy z predaja dlhopisov na krytie strát spôsobená touto udalosťou. CAT dlhopisy sa začali emitovať poisťovňami a zaisťovňami od roku 996. V posledných rokoch ich význam presiahol len krytie pred katastrofickými udalosťami, ale sa uplatňujú aj v prípadoch pri krytí rizika z dôsledku výpadku elektrickej energie, zrušenie športových podujatí, epidémie a teroristických činov. Záujem o CAT dlhopisy rastie aj v iných oblastiach poistenia. Doposiaľ nikdy neboli pouţité pre zaistenie katastrofického rizika v poľnohospodárstve. Avšak na základe pouţitia v iných ekonomických oblastiach sa zdá byť logické, ţe CAT dlhopisy by mohli zohrávať podobnú úlohu aj poľnohospodárstve. Schopnosť CAT dlhopisov preniesť systematickú zloţku rizika na kapitálové trhy môţe poskytnúť kapacity pre absorbovanie rozsiahlych strát z poistenia poľnohospodárskych plodín.. Súkromné poisťovne by takýmto spôsobom mohli pouţitím CAT dlhopisov presunúť katastrofickú expozíciu na kapitálové trhy. Ak by taká situácia nastala, tak vláda by mohla ovplyvniť motiváciu, rozsah a výšku dotácií a taktieţ aj zníţenie daní tých subjektov, ktorí sa podieľajú na zaistenie strát z poľnohospodárskej úrody. 2. Poisťovníctvo v slovenskom poľnohospodárstve Skôr ako pristúpime k podrobnejšej analýze CAT dlhopisov uveďme niektoré fakty o poistení v poľnohospodárstve. Medzi základné typy poistenia v poľnohospodárstve patria:. yield insurance (poistenie úrody) je najčastejšie pouţívané pre plodiny. Uvedený druh poistenia zahŕňa poistnú ochranu proti vybraným rizikám ako napr. ľadovec, pri ktorom je moţné na základe historických dát pomerne presne určiť pravdepodobnosť výskytu, 2. catastophic insurance (katastrofické poistenie). Katastrofické straty spôsobené prírodnými pohromami alebo epidémiami v ţivočíšnej výrobe spôsobujú pre poisťovniam problémy. Je to riziko vyznačujúce sa nízkou pravdepodobnosťou veľmi vysokej straty, 3. price insurance (poistenie ceny) znamená ochranu pre prípad, ţe cena statku klesne pod vopred určenú úroveň. Je dostupné len pre tie produkty, pri ktorých je moţné zistiť objektívnu cenu, 4. revenue insurance (poistenie výnosu z hektára) je kombináciou cenového a úrodového (produkčného) poistenia. Jeho potenciálnou výhodou je skutočnosť, ţe je lacnejšie ako poistenie ceny aj ako poistenie výnosu z hektára, 5. income insurance (poistenie príjmu) je pre farmárov atraktívnejšie viac ako poistenie ceny alebo poistenie výnosu z hektára. Je zaloţené na čistom príjme farmára (výnosy zvýšené o dotácie a zníţené o variabilné náklady, odpisy, úrok, dane a pod.). Rizikovosť v rámci poľnohospodárskej výroby bola do roku 990 realizovaná v podobe: zákonného poistenia, zmluvného poistenia, fondu na zmiernenie nepoistiteľných škôd v poľnohospodárstve, tzv. komplexného poistenia úrody. Zákonné poistenie - týmto poistením boli kryté riziká ako poţiar, výbuch, blesk, víchrica, povodeň alebo záplava, ľadovec, zosuv pôdy a padanie skál. Zákonné poistenie bolo v kompetencii Slovenskej štátnej poisťovne, ktorá sa v roku 992 zmenila akciovú spoločnosť s názvom Slovenská poisťovňa, a. s. Predmetom poistenia bola úhrada škôd na majetku 09

110 Poistné, náhrady škôd Náhrada škôd v % 9 th International Scientific Conference Actuarial Science in Theory and in Practise Bratislava socialistických poľnohospodárskych organizácií, ktoré vznikli v súvislosti s náhodnými udalosťami. Zmluvné poistenie predmetom poistenia boli vínna réva, jahody, ovocie, kvetiny a chmeľ. Zmluvné poistenie sa uzatváralo na základe poistnej zmluvy medzi poisťovňou a poľnohospodárskym podnikom. Fond na zmiernenie nepoistiteľných škôd v poľnohospodárstve na základe tohto poistenia boli kryté riziká ako sucho, mokro, dáţď, choroby a škodcovia. Komplexné poistenie úrody toto poistenie sa realizovalo v Slovenskej republike v priebehu deviatich rokov a bolo ukončené Podstatou bolo komplexné poistenie úrody poľnohospodárskych organizácií, pričom úroda bola krytá proti všetkým rizikám s výnimkou škôd, ktoré vznikli v súvislosti nesprávnym obrábaním, ošetrovaním alebo zberom. Rozvoj poistného trhu na Slovensku sa začal v roku 990, keď Slovenská poisťovňa stratila svoje monopolné postavenie a v rámci poisťovníctva začali vznikať aj ďalšie poisťovne a povolenie vykonávať poisťovaciu činnosť dostali aj zahraničné poisťovne, ktoré tu začali zakladať svoje dcérske spoločnosti. Slovenské poisťovníctvo za veľmi krátke obdobie dosiahlo pozitívne výsledky v rámci svojho rozvoja. Vývoj poľnohospodárskeho poistenia v oblasti poistného, náhrad škôd a percento (%) plnenia od roku 2000 do roku 202 je zobrazený na grafe. Graf. 30,0 Vývoj poistného, náhrad škôd v mil. a plnenie škôd v % 70 25, ,0 50 5,0 0,0 5,0 0, Poistné v mil. Náhrady škôd v mil. Náhrady /poistné v % Prameň: Informačné listy MP SR Poistenie poľnohospodárskych rizík v súčasnosti ponúkajú len tri komerčné poisťovne z veľkého počtu poisťovní, ktoré pôsobia na slovenskom poistnom trhu a to Allianz Slovenská poisťovňa, a. s., Generali Poisťovňa, a. s. a UNIQA poisťovňa, a. s. Poistenie poľnohospodárskych rizík, ktoré ponúkajú tieto poisťovne nie je veľmi odlišné a moţno ho zhrnúť do troch základných oblastí:. poistenie poľnohospodárskych plodín, 2. poistenie hospodárskych zvierat, 3. Poistenie poľnohospodárskeho majetku Poistenie poľnohospodárskych podnikov je v súčasnosti na nízkej úrovni. Len časť z nich má poistenú úrodu či hospodárske zvieratá. Jedným z dôvodov prečo je to tak, je ţe cenu poistných produktov poľnohospodári povaţujú za príliš vysokú. Efektívnosť poistenia znázorňuje opäť graf. 0

111 EU-5 EU-27 Malta Fínsko Grécko Belgicko Luxembursko Rakúsko Slovinsko Holandsko Nemecko Dánsko Írsko Švédsko Francúzsko Cyprus Taliansko Česko Maďarsko Španielsko Veľká Británia Slovensko Portugalsko Poľsko Estónsko Lotyšsko Bulharsko Litva Rumunsko 9 th International Scientific Conference Actuarial Science in Theory and in Practise Bratislava Európska únia nemá v súčasnosti jednotný systém poľnohospodárskeho poistenia. Riadenie rizík spočíva na bedrách jednotlivých štátov, preto sú prístupy k poisteniu rôzne. Miera štátnej podpory poistenia značne kolíše a škála poistiteľných rizík sa v európskych krajinách odlišuje. Vzhľadom na rozdielnu štruktúru poľnohospodárstva a odlišné klimatické podmienky nie je pravdepodobné, ţe by sa presadil jednotný prístup. Preto by stálo za námahu podrobiť analýze ponúkané poistné produkty v poľnohospodárstve poisťovní Allianz Slovenská poisťovňa, a. s., Generali Poisťovňa, a. s. a UNIQA poisťovňa, a. s. aké pravidlá poistenia uplatňujú vzhľadom na poľnohospodárske a klimatické podmienky Slovenska, lebo graf poukazuje dlhodobo v neprospech slovenského poľnohospodárstva. Graf Podpora v na hektár poľnohospodársky využívanej pôdy v roku Prameň: Eurostat, Agricultural statistics, dec. 202, Main results nov. 202, online data - marec 203 Taktieţ výšky podpory pre jednotlivé členské krajiny EU sú rôzne. Podpory do poľnohospodárstva dosiahli v roku 20 55,5 mld. podpôr, čo bolo o 0,4 % viac ako pred rokom. Rozhodujúca časť z celkových podpôr 82,3 % bolo alokovaných do pôvodných členských krajín (45,7 mld. ). Objemovo najviac podpory z celkovej podpory EÚ-27 bolo alokovanej do produkčne rozhodujúcich krajín a to Francúzska (7,5 %), Nemecka (3,2 %), Španielska (,9 %), Talianska (8,0 %) a Veľkej Británie (7,2 %). Slovensku bolo poskytnuté 0,9 % z celkových podpôr EÚ-27, čo znamenalo na ha p. v. p. /podpora v poľnohospodárstve/ 252,2 a touto hodnotou sa nachádzalo pod priemerom krajín EÚ-27. Podpora poľnohospodárstva stále zostava rozhodujúcou poloţkou v príjmoch poľnohospodárov všetkých krajín EÚ. Podpora v prepočte na ha poľnohospodársky vyuţívanej pôdy dosiahla v priemere krajín EÚ-27 úroveň 323,6 a krajín EÚ-5 370,9. Najviac podpôr v prepočte na ha p.v.p. mali (Graf 2) Malta (363,6 ), Fínsko (97,8 ) a Grécko (97,6 ). Najmenej podpôr, v prepočte na ha p. v. p., malo Rumunsko (2,8 ), Litva (29,6 ), Bulharsko (45,4 ), Lotyšsko (5,0 ) a Estónsko (86,7 ) [3]. Tieto nerovnosti by pomohlo odstrániť práve zavedenie CAT dlhopisov v poľnohospodárstve. 3. CAT dlhopisy CAT dlhopisy patria do skupiny finančných nástrojov závislých od hodnoty indexu, pretoţe výskyt katastrofických udalostí je determinovaný špecifickými stochastickými premennými alebo úrovňou indexu. Vlastník CAT dlhopisu je uzrozumený s tým, ţe prenechá

112 časť alebo všetky očakávané platby z dlhopisu za predpokladu, ţe index prekročí vopred stanovenú hodnotu. Pri zavedení katastrofických dlhopisov v poľnohospodárstve je dôleţité, aby poisťovne zváţili a zaviedli základnú terminológiu a taktieţ špecifiká týchto zmlúv. CAT dlhopisy sú obvykle emitované poisťovňami na vopred stanovenú dobu, zvyčajne jeden rok a vopred stanovenú nominálnu hodnotu. Podobne ako u klasických dlhopisov poisťovňa si poţičiava kapitál predajom dlhopisov od investorov a v dobe splatnosti spláca istinu podľa skutkového stavu t.j. buď vypláca nominálnu hodnotu dlhopisu kde sú zahrnuté úroky, alebo si vyhradzuje právo na podrţanie výplaty úrokov alebo celej nominálnej hodnoty dlhopisu v prípade nastania vopred definovanej katastrofickej udalosti. Tá môţe byť definovaná rôznymi spôsobmi. Zvyčajne ide o situáciu, u ktorej spoločnosť zaţíva katastrofické straty. Napríklad v prípade hurikánu spúšťacím mechanizmom pre danú geografickú oblasť môţe byť prekročenie rýchlosti vetra cez stanovenú hranicu. Alternatívne môţe byť väzba CAT dlhopisu štruktúrovaná na dlhopis s nulovým kupónom, ktoré sa predávajú za diskontovanú cenu. Investorov výnos je rozdiel medzi nominálnou hodnotou dlhopisu a jeho obstarávacou hodnotou. Poisťovňa si ale vyhradzuje právo zabaviť časť alebo celú nominálnu hodnotu dlhopisu v prípade nastania katastrofickej udalosti určenej vopred definovaným spúšťačom zvaným trigger. V prípade dobre fungujúceho primárneho a sekundárneho trhu nie je dôvod upravovať obstarávaciu hodnotu dlhopisu. Viac formálne, uvaţujme CAT dlhopis s nulovým kupónom u ktorého označme: F nominálna hodnota dlhopisu stanovená v čase t =0 s dobou splatnosti T, V T platba z dlhopisu v dobe splatnosti, L hodnota indexu, D hodnota spúšťača. Potom { () kde je konštanta, ktorá ovplyvní platbu z dlhopisu ak sa splnia stanovené podmienky pre spúšťač. Zo vzťahu () vidíme, ţe výplata z dlhopisu je podmienená hodnotou indexu a vopred určenou hodnotou spúšťača Napríklad uvaţujme poisťovňu XYZ emitujúcu CAT dlhopisy s nominálnou hodnotou EUR s dobou splatnosti rok a obstarávacou (diskontovanou hodnotou) 940 EUR. Platby z dlhopisu na konci roka sú závislé na stratách, ktorých horný limit je mil. EUR. Ak celkové straty poisťovne v danej oblasti sú mil. EUR, tak a investorovi bude na konci roku vyplatená nominálna hodnota CAT dlhopisu 000 EUR a teda realizoval výnosnosť z operácie 6,38 %, čo predstavuje hodnotu zisku nad jednoročný Euribor (rok 203). Ak poisťovňa XYZ má stratu napr. 6 mil. EUR, teda platí, tak konštanta upravuje výplatu z CAT dlhopisov napr., tak EUR a zostatok pouţije na náhradu straty. V extrémnom prípade môţe 0, teda poisťovňa pouţije všetky prostriedky získané z predaja dlhopisu na krytie strát. Teda môţeme povedať, ţe všetky uvádzané parametre sú flexibilné a závisia od charakteru poisťovanej katastrofickej udalosti. Ale ak sa katastrofická udalosť konkretizuje, tak potom sú uţ tieto veličiny fixne dané. CAT dlhopisy v poľnohospodárstve zahrňujú tieto aspekty: CAT dlhopisy sú emitované ročne na dobu jedného roku, 2

113 štruktúra platieb z CAT dlhopisov je daná vzťahom (). Veľkosť straty je meraná v percentuálnej odchýlke od dlhodobého priemerného výnosu ako * +, hodnota spúšťača je stanovená v percentách ako strata od priemerného výnosu, platby/straty z CAT dlhopisov v percentuálnom vyjadrení sú vopred pevne stanovené, ako aj konštanta v katastrofickom prípade, očakávané straty z výnosov sú odvodené z pravdepodobnostného rozdelenia výnosov, ktoré vychádzajú z dát o štátnych priemerných výnosov. Taktieţ ak priemerný výnos sa neodchyľuje od dlhodobého priemerného výnosu viac ako je hodnota spúšťača vyjadreného v percentách, tak CAT dlhopisy budú vyplatené v plnej nominálnej hodnote v dobe splatnosti. V opačnom prípade sa vypláca len časť alebo nič z nominálnej hodnoty. 4. Ocenenie CAT dlhopisov Navrhovaný prístup oceňovania CAT dlhopisov uvedený v predchádzajúcej časti pozostáva z dvoch základných krokov: a) odhad rozdelenia výnosností pre CAT dlhopis a súčasne pravdepodobnosti pre aktivovanie spúšťača CAT dlhopisu, b) začlenenie odhadnutých pravdepodobností a poţadovaných výnosností do dlhopisového kontraktu. Pre odhad jadra hustoty rozdelenia výnosností pouţijeme neparametrické techniky. Pre odhad jadra hustoty rozdelenia treba pouţiť historické dáta. Odhad hustoty jadra rozdelenia preferujeme pred parametrickým odhadom, lebo lepšie odzrkadľuje informáciu týkajúcu sa dát a ktoré by sa mohli strácať pri parametrickom odhade. Jadro hustoty rozdelenia vytvára rozdelenie pravdepodobností náhodnej premennej ako súčet špeciálne vybraných funkcií alebo jadier v tvare kde ( ). /, - namerané hodnoty náhodnej premennej, - vyhladzovací parameter, ( ) - jadro. Pre modelovanie hustoty rozdelenia percentuálnej odchýlky priemerných výnosov od dlhodobého priemeru pouţijeme Epanechnikovo jadro, ktorého tvar je ( ) { ( ) CAT dlhopisy oceníme diskontovaním moţných očakávaných platieb odvodených z rozdelení realizovaných výnosových strát a poţadovaných výnosností investície. Vzťah pre ocenenie CAT dlhopisov v dobe splatnosti môţeme vyjadriť v tvare (3) 0 ( ), (4) 3

114 kde - výnos z CAT dlhopisu určeného (), ( ) - odpovedajúca intenzita úrokovania, - koeficient očakávania závislý od dvoch stavových parametrov,, - stavový parameter zohľadňujúci cenu CAT dlhopisov zohľadňujúci časovú štruktúru úrokových sadzieb, - stavový parameter zohľadňujúci katastrofické riziko. Na základe hore uvedeného označenia cena CAT dlhopisu môţeme vyjadriť ako kde - očakávané platby z CAT dlhopisu, ( ), (5) ( ) - očakávaná platba z klasického dlhopisu s nulovým kupónom. Vzťah (5) separuje riziko katastrofickej zloţky od ostatných faktorov. Avšak riziko získania nominálnej hodnoty CAT dlhopisu môţe byť zohľadnené tieţ v závislosti od intenzity úrokovania ( ). Pre jednoduchosť uvaţujme konštantnú intenzitu úrokovania ( ) Ak označíme ( ) prítomnú hodnotu nominálne hodnoty dlhopisu pri danej na časovom intervale, tak ( ). Z očakávaných platieb CAT dlhopisu () máme ( ) ( ) kde ( ) je pravdepodobnosť, ţe strata bude menšia alebo rovná hodnote spúšťača a ( ) je pravdepodobnosť opačnej situácie. Teda všeobecná oceňovacia formula pre CAT dlhopis je ( ), ( ) ( )-. (6) Teda oceňovací model (6) hovorí, ţe cena CAT dlhopisu je vyjadrená ako súčin ceny klasického dlhopisu s nulovým kupónom a očakávaných platieb z CAT dlhopisu. Vidíme, ţe cena CAT dlhopisu závisí od intenzity úrokovania, nominálnej hodnoty dlhopisu, hodnoty spúšťača, veľkosti konštanty v prípade katastrofickej udalosti a od rozdelenia pravdepodobností priemerných výnosností, od ktorého sa odvíja naplnenie hodnoty spúšťača. Kombinácie týchto faktorov sú predmetom ďalšieho skúmania. 5. Analýza zaistenia Všetky CAT dlhopisy majú vopred stanovenú aktuársku cenu. Ani ďalší predaj a taktieţ ani ďalšia emisia nemení očakávanú výnosnosť emitenta. Finančná analýza je zameraná na redukciu variancie výnosnosti. Tieţ budeme predpokladať, ţe poisťovňa má averziu k riziku a preferuje niţšiu varianciu výnosnosti. Nech celkové straty poisťovne ABC pri poistení úrody pred emisiou CAT dlhopisov, celkové poistné pri poistení úrody, celkové straty z úrody týkajúce sa poisťovne po emisii predaných CAT dlhopisov zisk alebo strata z predaného CAT dlhopisu. V závislosti od počasia, či spúšťač CAT dlhopisu dosiahol vopred určenú hodnotu alebo nie 4

115 kde cena dlhopisu pri predaji (6), cena dlhopisu v dobe splatnosti (). Pomer strát k poisteniu pred vydaním CAT dlhopisov označme ako { Označme N počet CAT dlhopisov v emisii. Potom celková strata poisťovne po vydaní dlhopisov je =, kde fixné náklady emisie dlhopisov. Potom pomer strát k celkovému poistnému po vydaní CAT dlhopisov je. Pre stanovenie optimálnej zaisťovacej stratégie treba odvodiť varianciu pomeru strát k celkovému poistnému kde ( ). /. /. /, (7) variancia pomeru strát z úrody k poistnému úrody pred emisiou CAT dlhopisov, variancia pomeru zisku alebo straty z predaja CAT dlhopisov k poistnému úrody po emisii CAT dlhopisov,. / kovariancia medzi hore uvedenými náhodnými premennými. Z nutnej podmienky existencie lokálneho minima vzhľadom k premennej počet uzavretých kontraktov N * ( s CAT dlhopismi) rovný Rozdelenie náhodnej premennej 5. /. / je optimálny môţe byť odhadnuté z historických dát. Rozdelenie náhodnej premennej môţe byť odhadnuté z výnosov CAT dlhopisov určených vzťahom () pre pevne stanovenú hodnotu parametra. To ale nie je postačujúce pre analytický výpočet. /, lebo premenná závisí od veľkosti indexového spúšťača. Teda musí byť odhadnutá empiricky. Záver Pre veľa štátov predstavuje podpora poľnohospodárskeho poistenia významnú súčasť agrárnej politiky a rozvoja vidieka. Vďaka subvenciám sa môţu farmári chrániť aj proti rizikám, ktoré sú povaţované za komerčne nepoistiteľné. Prepracovaný jednotný systém poľnohospodárskeho poistenia funguje v Spojených štátoch amerických, zatiaľ čo Európska únia ponecháva členským štátom voľnú ruku. V poistení poľnohospodárskych podnikov na Slovensku sa po roku 990 udiali mnohé zmeny. Rozšírila sa paleta poistných produktov na jednej strane a na strane druhej vznikli mnohé problémy, ktoré zapríčinili pokles objemu poistného o viac ako 65%. Hlavnými príčinami tohto stavu je nie len zlá ekonomická situácia

116 poľnohospodárskych subjektov a zvýšenie ceny poistenia ale aj kvalita ponúkaných poistných produktov na slovenskom poistnom trhu. Poisťovne sa snaţia problematiku riešiť zavádzaním nových poistných produktov, ktorými dosiahli len čiastočné vyriešenie problémov poistenia v poľnohospodárstve. Práve nástrojom napomáhajúcim riešiť financovanie strát môţu byť katastrofické dlhopisy na poistenie úrody. Táto nová trieda nástrojov indexového poistenia účinnejšie napomáha riadeniu rizík v kontexte poistenia ako primárne poistné nástroje slúţiace na zabezpečenie rastlinného a výrobného rizika. Nástroje navrhnuté v tomto príspevku sú CAT dlhopisy s nulovým kupónom ktoré sú ocenené tak, aby poskytovali poţadovanú mieru návratnosti plus dodatočnú rizikovú prémiu. Poţadovaná návratnosť sa dá interpretovať ako určité rozpätie nad sadzbou Euribor. Pre zavedenie takéhoto nástroju treba v prvom rade rozhodnúť o akú strategickú komoditu krajiny pôjde, stanoviť jej dlhodobý výnos na ha, čo najpresnejšie odhadnúť hustotu rozdelenia neparametrickými metódami. Aby CAT dlhopisy boli atraktívne pre čo najširšiu skupinu investorov s rôznymi akceptáciami miery rizika, treba vytvoriť zaujímavú ponuku CAT dlhopisov s rôznymi očakávanými výnosnosťami. Literatúra [] BANKS, E.: Alternative Risk Transfer:Integrated Risk Management through Insurance, Reinsurance and the Capital Markets. John Wiley&Sons, Ltd. New Jersey, 2004, ISBN [2] CIPRA, T.: Zajištení a přenos rizik v pojišťovnictví. Grada, Praha, 2004, ISBN [3] CHRASTINOVÁ, Z - BELEŠOVÁ, S.: Ekonomická situácia v poľnohospodárstve a v potravinárstve v roku 202. Ekonomika poľnohospodárstva 3/203. Výskumný ústav ekonomiky poľnohospodárstva a potravinárstva. ISSN [4] PINDA, Ľ.: Sekuritizácia poistných rizík a parametrické škodové indexy. Ekonomický časopis. Bratislava : Ústav slovenskej a svetovej ekonomiky SAV. Prognostický ústav SAV, ISSN , 2008, roč. 56, č.0, s [5] PINDA, Ľ. - CHMELOVÁ, P.: Sekuritizácia poistných rizík a katastrofické dlhopisy. BIATEC: odborný bankový časopis. Bratislava: Národná banka Slovenska, ISSN , Január 2008, roč. 6, č., s Zdroj: < pdf>. 6

117 Abstract Modelling dependence with the use of copula functions Modelovanie závislostí pomocou funkcií kopula Barbora Simanová Copula functions have become an important tool for modeling random variables in many areas and are an important tool in area of actuarial science. Their use results in a need to model the evolution of two factors, which are to some extent mutually dependent, because they allow to capture dependence while maintaining the properties of probability distribution of individual risk factors, namely marginal distribution. This paper considers the various types of these functions, their properties and using them through software which allows for their effective use. Key words multivariate model, copulas, tail dependence, joint loss distribution JEL Classification: G22. Úvod V poslednom období sa kopula funkcie stávajú veľmi obľúbeným nástrojom modelovania náhodných premenných v rôznych oblastiach. Aj v aktuárstve tieto funkcie nájdu svoje vyuţitie, napríklad pri agregácií viacerých rizík. Našim predmetom záujmu budú riziká, ktoré sú popísané rozdielnymi marginálnymi rozdeleniami a existuje medzi nimi závislosť. Práve túto závislosť je moţné vyjadriť pomocou rôznych typov kopula funkcií, teda pomocou viacrozmerných rozdelení bez zmeny pôvodných marginálych rozdelení náhodných premenných. Pojem kopula v matematickom a štatistickom význame zaviedol ako prvý Abe Sklar, preto navyše uvedieme Sklarovu vetu, ktorá nám umoţňuje odvodiť viacrozmerné rozdelenie z jednotlivých marginálních rozdelení. 2. Kopule a Sklarova veta Kopula je nástroj, ktorý nám umoţňuje vytvoriť z marginálních rozdelení zdruţené rozdelenie, a tak získať zdruţenú funkciu hustoty, ktorá odzrkadľuje závislosť modelovaných náhodných premenných. Tento postup nám umoţní previesť viacrozmerné štatistické problémy na jednorozmerné s väzbou, ktorá je daná kopulou. Definujme -rozmernú kopulu ako spoločnú distribučnú funkciu rovnomerne rozdelených náhodných premenných. Ak rovnomerne rozdelené náhodné premenné označíme, tak potom kopulu môţeme vyjadriť nasledovne ( ) ( ) () Uvaţujme s ľubovoľnými spojitými náhodnými premennými popísanými distribučnými funkciami a so spoločnou distribučnou funkciou. Zo základov pravdepodobnosti vieme, ţe tieto distribučné funkcie nadobúdajúce hodnoty z intervalu Ing. Barbora Simanová, Katedra matematiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská /b, Bratislava, barbora.simanova@gmail.com. Príspevok vznikol v rámci riešenia grantu VEGA č. : /093/ Analýza a modelovanie rizík v zmysle kvantitatívnych štúdií QIS projektu SOLVENCY II. 7

118 môţeme ich vnímať ako rovnomerne rozdelené náhodné premenné. Podľa vzťahu () kopula pre hodnoty ( ) ( ) ( ) je definovaná nasledovne ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( )) (2) Dôleţitá je kvantilová funkcia ( ) { ( ) } pomocou ktorej prepíšeme kopulu pre hodnoty ( ) ( ) ( ) takto ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) (3) ( ) ( ) Z uvedeného vyplýva, ţe pre ľubovoľnú spoločnú funkciu existuje práve jedna kopula, čo potvrdzuje aj Sklarova veta, ktorej znenie je nasledujúce: Nech je -rozmerná distribučná funkcia s marginálnymi distribučnými funkciami. Potom existuje d-rozmerná kopula taká, ţe pre platí ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) (4) Naopak, ak je kopula a sú distribučné funkcie, potom funkcia definovaná vzťahom (4) je -rozmerná distribučná funkcia s marginálnymi distribučnými funkciami jednorozmerných náhodných premenných. Navyše, ak sú spojité, potom je jediná. V inom prípade je jednoznačne daná v priestore ohraničenom oborom hodnôt marginálnych distribučných funkcií. a. Vlastnosti kopúl Hoci sme v () definovali -rozmernú kopulu, v ďalšej časti budeme vţdy uvaţovať dvojrozmernej kopule ( ). Je potrebné poznamenať ţe, pre dvojrozmernú kopulu platí ( ) ( ) (5) a z toho ( ) ( ) (6) Z nerovnosti (6) a z faktu, ţe môţe nadobúdať záporné hodnoty je zrejmé, ţe dolná hranica je ( ) { } (7) A teda, ak pre náhodný vektor ( ) ( ), kde ( ) platí ( ) ( ) pričom, tak funkciu ( ) nazývame dolnou kopulou. Dolná hranica korešponduje s kopulou spoločnej náhodnej premennej dolnej kopule, v ktorej náhodné premenné sú negatívne závislé a nazýva sa Frechétova dolná hranica. Tak isto, ako sme odvodili dolnú hranicu, získame aj Frechétovu hornú hranicu. Platí ( ) ( ) a 8

119 z toho dostávame ( ) ( ) ( ) { } (8) Ak pre náhodný vektor ( ) ( ), kde ( ) platí ( ) ( ( )) ( ) pre, tak funkciu ( ) ( ) nazývame hornou kopulou. Takţe sme získali obidve hranice { } ( ) { } (9) Klasické štatistické analýzy viacrozmerných modelov poskytujú viacrozmerné rozdelenia vyjadrené priamo. To znamená, viacrozmerné rozdelenia sú zloţené pomocou marginálnych rozdelení náhodných premenných, ktoré sú rovnaké, ale s rôznymi parametrami. V tomto prípade ide o viacrozmerné normálne rozdelenie (marginálne rozdelenia - normálne rozdelenie) alebo o viacrozmerné Studentovo rozdelenie (marginálne rozdelenie-studentovo rozdeleni, ale môţe mať aj rôzny počet voľnosti), atď. Naopak, prístup zaloţený na kopuliach umoţňuje oddeliť výber marginálnych rozdelení náhodných premenných od výberu kopúl. Marginálne rozdelenia poskytujú informácie o jednotlivých rizikách a nemusia byť rovnakého typu. Tento prístup umoţňuje transformovať viacrozmerný štatistický problém na jednorozmerný, pričom väzbou je kopula. Ešte predtým ako z marginálnych rozdelení náhodných premenných vytvoríme niektorú z kopúl, musíme vedieť aká je miera závislostí medzi týmito modelovanými náhodnými premennými. b. Miera závislosti Najznámejšou mierou vyjadrujúcou závislosť premenných je koeficient korelácie, ktorý meria lineárnu závislosť, a teda je funkciou marginálnych rozdelení. Tento koeficient nie je najlepšou mierou závislosti v súvislosti s kopulami, pretoţe pomocou neho nevieme merať silu inej závislosti ako lineárnej a taktieţ transformáciou náhodných premenných nastane zmena jeho hodnoty. Preto pri analýze závislosti pri práci s kopulami, je lepšie pouţiť iné miery vyjadrujúce závislosť, a to Kendallove alebo Spearmanovo, ktoré boli vyvinuté v rámci neparametrickej štatistiky. Pre lepšiu predstavu moţných vzájomných vzťahov dvoch náhodných premenných uvedieme obrázok. Obrázok : Príklady možných vzťahov dvoch náhodných premenných i. Spearmanovo Majme spojitú dvojrozmernú náhodnú premennú ( ) s marginálnymi rozdeleniami ( ) a ( ). Mieru závislosti Spearmanovo ( ) potom môţeme vyjadriť ( ) ( ( ) ( )) 9

120 kde označuje lineárnu koreláciu. Z toho vyplýva, ţe ( ) vyjadruje obyčajnú lineárnu koreláciu medzi náhodnými premennými a, pričom ( ) a ( ). Pretoţe a sú rovnomerné rozdelené náhodné premenné so strednou hodnotou /2 a rozptylom /2, Spearmanovo môţeme napísať v tvare, ( ) ( )-, ( )-, ( )- ( ) ( ( )) ( ( )) (0) a pomocou kopúl v tvare, ( ) ( )- ( ), ( ) ( )- ( ) () ( ) ii. Kednallovo Majme dve nezávislé, dvojrozmerné, spojité, rovnako rozdelené náhodné premenné ( ) a ( ) s marginálnymi distribučnými funkciami ( ) pre náhodnú premennú a a ( ) pre náhodnú premennú a. Potom mieru závislosti Kendallovo ( ) vyjadríme nasledovne ( ),( )( ) -,( )( ) - (2) Pričom prvý výraz meria zhodu, v zmysle ktorej pre kaţdý z dvoch rozmerov, rozdiely medzi náhodnými premennými majú rovnaké označenie. Druhý výraz potom meria nezhodu, z definície je ľahko Kendallovo tau môţe byť prepísané pomocou kopúl ako ( ),( )( ) -,( )( ) -,( )( ) - *,( )( ) -+ (3),( )( ) - Pretoţe náhodné premenné sú zameniteľné ( ) ( ) * ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) (4) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ), ( )- 20

121 iii. Chvostová závislosť S mierou závislosti úzko súvisí chvostová závislosť. V posledných rokoch sa pozornosť sústredila nielen na priebeh rozdelenia náhodnej premennej, ale hlavne na správanie sa chvostov rozdelení náhodných premenných. Práve chvosty rozdelení nesú informácie o riziku, ktoré, ak by nastalo, spôsobilo by nemalé problémy poisťovni. Ak existuje závislosť medzi náhodnými premennými popisujúcimi riziko, je potrebné poznať spoločné správanie týchto náhodných premenných, keď nastanú extrémne škody. Z pozorovaní vyplýva, ţe ak extrémne škody nastali na jednom riziku, tak potom je pravdepodobnosť, ţe nastanú na iných typoch rizík vyššia. Preto je veľmi dôleţité pri analýze rizika sa zamerať práve na tieto extrémne škody, teda na pravé chvosty rozdelení. Odpoveď na otázky ohľadom chvostovej závislosti nám poskytnú nasledujúce miery. Majme dve spojité náhodné premenné a s marginálnymi rozdeleniami ( ) a ( ). Index hornej závislosti definujeme takto ( ( ) ( )) (5) Jednoducho povedané, index hornej závislosti meria šancu, ţe náhodná premenná nadobudne extrémne hodnoty, ak náhodná premenná dosiahne extrémne hodnoty, extrémne hodnoty sú merané v podmienkach rovnakých kvantilov. Index hornej závislosti vieme tieţ prepísať na tvar ( ( ) ( ) ) (6) ( ) kde a sú rovnomerne rozdelené náhodné premenné. Ďalšími úpravami získame ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tento vzťah ukazuje, ţe chvostová závislosť a môţe byť meraná pouţitím kopuly skôr ako pouţitím jednotlivých rozdelení. Trik spočíval v definovaní chvostovej závislosti pomocou kvantilov. Pretoţe je pôvodne definovaný ako pravdepodobnosť nadobúda hodnoty od 0 po. Index dolnej závislosti vieme získať analogicky, čiţe získavame ( ) ( ) (8) (7) Pretoţe nás budú zaujímať pravé konce rozdelení, tak budeme pouţívať dolný index závislosti. Tieto indexy závislosti sú veľmi uţitočné miery vyuţívané pri opise a porovnávaní kopúl. 3. Triedy kopúl Na základe Sklarovej vety boli popísané triedy kopúl. Vo všeobecnosti ich môţeme rozdeliť do triedy archimedovských kopúl a triedy eliptických kopúl (obrázok 2). Najprv 2

122 pozornosť upriamime na triedu archimedovských kopúl a postupne popíšeme aj jednotlivé kopule patriace do tejto triedy, pre prípád Obrázok 2: Triedy kopúl a. Trieda archimedovských kopúl Archimedovské kopuly sú kopulami asymetrickými. Práve moţnosť asymetrie je jednou z najprínosnejších vlastností týchto kopúl, nie je však jedinou. Ďalšou príhodnou vlastnosť je, ţe na rozdiel od eliptických kopúl majú archimedovské kopuly explicitne vyjadrené vzťahy, čo umoţňuje ich ľahšiu konštrukciu a prácu s nimi. Archimedovské kopuly, s rozmerom, sú tie, ktoré majú tvar ( ), ( ) ( )- (9) kde ( ) sa nazýva generátor. Generátor je spojitá, konvexná, klesajúca funkcia taká, ţe ( ). Navyše inverzná funkcia generátora musí byť rýdzo monotónna na intervale. Medzi najvýznamnejšie kopuly triedy archimedovských kopúl patrí neavislá, Claytonova, Gumbelova a Frankova kopula. Tieto kopuly si priblíţíme. i. Nezávislá kopula Pre nezávislých náhodných premenných, ktoré sú popísané distribučnými funkciami ( ), spoločnú distribučnú funkciu vyjadríme ( ). Korešpondujúca kopula sa nazýva nezávislá kopula a je vyjadrená nasledovne ( ) (20) Takto definovaná kopula korešponduje s vektorom nezávislých rovnomerne rozdelených náhodných premenných. Jej generátor môţeme vyjadriť takto ( ) 22

123 Tabuľka : Nezávislá kopula Kendallove 0 (2) ( ) Index hornej závislosti ( ) (22) Index dolnej závislosti (23) Ide o archimedovskú kopulu s generátorom ( ). Miera spojenia, Kednallove, sa rovná 0, čo vyplýva z nezávislosti náhodných premenných. Nezávislosť je tieţ moţné vyjadriť pomocou indexu hornej a dolnej nezávislosti, ktorých hodnota sa rovná 0. ii. Cook-Johnsonova kopula Cook-Johnsonova kopula je kopula, ktorej generátor má tvar ( ). Teda vieme ju pomocou neho vyjadriť nasledovne kde ( ) ( ) (24) je parameter, ktorý odhadneme z dát. Ak by sme uvaţovali s dvoma náhodnými premennými, dostali by sme špeciálny prípad Cook-Johnsonovej kopule, a to Claytonovu kopulu, ktorá je veľmi významnou, a preto pre ňu vyjadríme mieru spojenia Kendallovo, index hornej a dolnej závislosti. Tabuľka 2: Claytonova kopula Kendallove ( ) (25) Index hornej závislosti (26) Index dolnej závislosti (27) Obrázok 3: Hustota pravdepodobnosti Claytonovej kopule ( ) 23

124 iii. Gumbel-Hougaardova kopula Gumbel-Houghaardova kopula je kopula, ktorej generátor má tvar ( ) ( ) a vieme ju vyjadriť nasledovne kde ( ) { [( ) ( ) ]} (28) je parameter, ktorý odhadneme z dát. Podobne ako pri Cook-Johnsonovej kopuli, tak aj v prípade Gumbel-Hougaardovej sa v praxi častejšie vyuţíva jej dvojrozmerné vyjadrenie a nazýva sa Gumbelova kopula. Aj pre Gumbelovu kopulu uvedieme mieru asociácie Kendallove τ a index hornej nezávislosti. Tabuľka 2: Gumbelova kopula Kendallove ( ) (29) Index hornej závislosti (30) Index dolnej závislosti (3) Obrázok 4: Hustota pravdepodobnosti Gumbelovej kopule ( ) iv. Frankova kopula Frankova kopula je kopula, ktorej generátor má tvar ( ) a vieme ju vyjadriť nasledovne ( )( ) ( ) { } (32) ( ) kde je parameter, ktorý odhadneme z dát. Kendallove pre Frankovu kopulu vyjadríme v nasledujúcej tabuľke. Tabuľka 3: Frankova kopula Kendallove ( ) ( ) (33) Index hornej závislosti (34) Index dolnej závislosti (35) 24

125 Obrázok 5: Hustota pravdepodobnosti Frankovej kopule ( ) 4. Praktická ukážka V praktickej ukáţke vyuţijeme softvér ModelRisk od spoločnosti VOSE, ktorý obsahuje sofistikované techniky analýzy rizika v pracovnom prostredí MS Excel a podporuje aj prácu s kopulami. Umoţňuje z dát náhodných premenných odhadnúť ich závislosť pomocou Kendallovho a taktieţ vytvoriť kopule s odhadnutím ich príslušného parametra. Okrem dát pracuje aj s rozdeleniami a ich parametrami prostredníctvom ktorých si pouţívateľ vie vytvoriť kopulu s vopred známym parametrom. V tejto praktickej ukáţke sa budeme zaoberať modelovaním dvoch náhodných premenných pomocou funkcíí kopula. K dispozícii máme 500 pozorovaní na základe, ktorých odvodíme náhodnú premennú a tieto dáta najlepšie popisuje lognormálne rozdelenie ( ). Charakteristiky a grafické znázornenie obsahuje nasledujúci obrázok, ktorý sme získali prostredníctvom softvéru ModelRisk. Obrázok 6: Charakteristiky a grafické znázornenie náhodnej premennej 25

126 Obdobne druhú náhodnú premennú sme získali spracovaním ďalších 500 dát a došli sme k názoru, ţe ich najlepšie popisuje Weibullovo rozdelenie ( ). Charakteristiky a grafické znázornenie obsahuje obrázok 7, ktorý sme získali prostredníctvom softvéru ModelRisk. Obrázok 7: Charakteristiky a grafické znázornenie náhodnej premennej Medzi týmito dvoma premennými môţeme vyjadriť závislosť pomocou Kendallovho podľa vzťahov (2) a (3). Jeho hodnota je a poukazuje na to, ţe medzi náhodnými premennými je vysoká závislosť, a teda je moţné vyuţiť funkcie kopula. Výsledky sme overili pomocou softvéru ModelRisk a korešpondujú s výsledkami získanými pomocou vzťahov (25), (29) a (33). Výsledky, ktoré uvádzame, sú získané pomocou uvedeného softvéru, ktorý modeluje závislosť premenných a prostredníctvom Claytonovej, Gumbelovej a Frankovej kopule a získané výsledky sú znázornené na obrázkoch 0 aţ 2. Obrázky obsahujú grafické znázornenie, parametre a hodnotiace kritéria prislúchajúce k jednotlivým kopuliam. 26

127 Obrázok 8: Claytona kopula Obrázok 9: Gumbelova kopula 27

128 Obrázok 0: Frankova kopula Získané výsledky uvedieme v tabuľke 3 pre lepší prehľad. Tabuľka 3: Odhady parametrov a hodnotiace kritéria jednotlivých kopúl Kopula Parameter AIC Claytonova kopula 0,03 37,86 Gumbelova kopula 6,06 949,66 Frankova kopula 22,29 855,3 Z uvedených výsledkov je zrejmé, ţe najlepšie dané dáta popisuje Claytonova kopula, pretoţe je reprezentovaná najniţšou hodnotou Akaikehovho informačného kritéria (AIC). Najmenej vhodou je Frankova kopula. Uvedený postup modelovania náhodných premenných, ktore vykazujú istú závislosť, pomocu kopulí sa dá vyuţiť aj v aktuárstve, a to napríklad pri modelovaní individuálnej výšky škody a času od momentu vzniku poistnej udalosti do momentu nahlásenia poistnej udalosti. Literatúra [] Horáková, G., Simanová, B., 202: Archimedova kopula. Trenčianske Teplice.Aktuárske vedy v podmienkach poistného trhu Slovenskej republiky. Trenčianske Teplice: Vydavateľstvo EKONÓM. [2] Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot G. E., 2008: Loss Models (From Data to Decisions ). New York: John Wiley and Sons. [3] Panjer, H. H., Operational Risk. A John Wilye & Sons, Interscience Publication. 28

129 Abstract The use of moving averages in financial practice Vyuţitie kĺzavého priemeru vo finančnej praxi Daniela Sivašová Moving average (MA) is one of the oldest and basic technical analysis indicators. Their popularity has gained fue to the merit of simplicity and flexibility. A big advantage of using moving averages is their simplicity and the fact that they quickly inform investor about the the tendency of observed time series development, which is eliminated from the seasonal and cyclical fluctuations. For investor a shortterm moving average development is important, which responds more to change of the development trend and in the comparison with the long-term moving average it produces better signals for buying and selling. Key words moving average, financial markets, market volatility, financial instrument, technical analysis JEL Classification: C22. Základné analytické nástroje štatistiky Štatistické metódy poskytujú pre finančníkov neoceniteľnú pomôcku ako analyzovať výkonnosť svojej finančnej stratégie. Štatistické údaje slúţia ako indikátory sily finančného systému a investorovi napovedajú, či je na správnej ceste k úspechu. Cieľom kvalitnej analýzy a správnym interpretovaním výsledkov, investor môţe vylepšiť nedostatky a v predstihu odstrániť zvýšené finančné riziko []. Pri skúmaní trendovej zloţky časového radu ide v praxi hlavne o vymedzenie vplyvu takých činiteľov, ktoré pôsobia dlhodobo a tým určujú hlavný smer vývoja daného časového radu. Riešenie tejto úlohy zodpovedá hľadaniu takej čiary, ktorá by najlepšie vystihla hlavný vývoj daného časového radu[4]. Na vyjadrenie smeru vývoja časového radu moţno dospieť nasledovne:. Grafickým vyjadrením, odhadom takej čiary, ktorá by najlepšie vystihla jeho pôvodný priebeh 2. Analytickým opisom trendu, ktorý najčastejšie vyuţíva matematickú funkciu 3. Adaptívnym prístupom, ktorý sa všeobecne pouţíva pri takých trendoch, ktoré menia v čase globálne svoj charakter. K najjednoduchším z adaptívnych prístupov patrí metóda kĺzavých priemerov. Ide o výpočet kĺzavých priemerov počítaných vţdy z obdobia určitého počtu hodnôt, pričom toto obdobie sa postupne posúva kĺţe. Pomocou kĺzavých priemerov sa modeluje trendová zloţka a pri vhodnej voľbe dĺţky kĺzavého obdoba sa dá ich aplikáciou odstrániť sezónnosť[5]. Kĺzavý priemer (MOVING AVERANGE, MA) patrí medzi najstaršie a zároveň základné nástroje technickej analýzy. Význam kĺzavého priemeru spočíva v jeho vyhodnotení býčích alebo medvedích nálad finančného trhu, šumu finančného trhu, volatility trhu, falošných signálov trhu a podobne []. RNDr. Daniela Sivašová, PhD., Katedra štatistiky FHI EU, Dolnozemská cesta /b, Bratislava, daniela.sivasova@euba.sk. Príspevok vznikol v rámci riešenia projektu VEGA /024/3. 29

130 Existujú štyri základné druhy kĺzavých priemerov : Jednoduchý kĺzavý priemer (Simple MA), niekedy sa tieţ nazýva aj Aritmetický kĺzavý priemer (AMA) Exponenciálny kĺzavý priemer (Exponential MA) Vyhladený kĺzavý priemer (Smoothed MA) Vážený kĺzavý priemer (Weighte MA). S obľubou sa vyuţíva najmä kvôli jednoduchému výpočtu, pričom sa dá kombinovať viacero kĺzavých priemerov navzájom. Takto dostávame dvojitý kĺzavý priemer (Double MA - DMA), váţený trojuholníkový kĺzavý priemer (Triangular weighted MA), exponenciálny dvojitý (DEMA) alebo trojitý kĺzavý priemer (TEMA) a podobne. Tieto jednotlivé kĺzavé priemery sa od seba líšia tým, ţe najnovším pozorovaniam sú priraďované iné váhové koeficienty. Zjednodušene môţeme povedať, ţe kĺzavý priemer vyhladzuje priebeh finančného inštrumentu a vďaka tomu sa dá lepšie pozorovať trend [2]. 2. Aplikácia vybraných MA Jednou z moţností aplikácie kĺzavých priemerov je zisťovanie nákupného alebo predajného signálu, pri ktorom sa porovnávajú kĺzavé priemery s aktuálnym kurzom. Veľmi dôleţitá je správna voľba dĺţky kĺzavého priemeru. Pri analýze hlavného trendu sa často pouţíva 200-denný kĺzavý priemer (200MA), pri analýze strednodobého trendu ide väčšinou o pouţitie 50-denného kĺzavého priemeru (50MA) a pri krátkodobejších pozorovaniach sú to len niekoľkodňové kĺzavé priemery napr. 5MA[]. Obrázok : Použitie krátkodobého a strednodobého MA Zdroj: Na obrázku je znázornený graf podľa ktorého sa dajú analyzovať nákupné alebo predajné impulzy. Nákup sa odporúča v čase, keď krivka skutočného kurzu pretne kĺzavý priemer zdola smerom hore a naopak. Predaj sa odporúča vo chvíli, keď krivka kurzu pretne kĺzavý priemer zhora smerom nadol. Jednoduchý kĺzavý priemer (SMA) dĺţky n predstavuje aritmetický priemer posledných n pozorovaní. Kaţdému pozorovaniu prináleţí rovnaká váha /n. Jednoduchý kĺzavý priemer je vyjadrený vzťahom: S n t ( n) p t i n i0 30

131 kde p t predstavuje hodnotu kurzu v čase t a n vyjadruje dĺţku kĺzavého priemeru. Obrázok 2: Ukážka nákupných a predajných impulzov (5MA) Zdroj: 200MA poskytuje dobrú moţnosť, ako zistiť silu dlhodobého trendu a pravdepodobnosť zmeny jeho smeru. Tento indikátor nepredbieha hodnoty skutočného kurzu. Preto môţe niekedy pomalšie reagovať na zmeny trendu a to môţe spôsobiť neskorší nástup do obchodu. Vážený kĺzavý priemer (WMA) pouţíva lineárne rozloţené váhy. Najväčšiu váhu majú najaktuálnejšie hodnoty, ktoré smerom do minulosti lineárne klesajú. Tento priemer je vyjadrený vzťahom: W 2 n t ( n) ( ni) p t i n( n) i0 Exponenciálny kĺzavý priemer (EMA) sa zaraďuje tieţ medzi váţené kĺzavé priemery, avšak jeho váhy nie sú priraďované lineárne, ale majú exponenciálny trend. Najaktuálnejšie hodnoty majú najväčšiu váhu a smerom do minulosti váhy exponenciálne klesajú. Váha poslednej hodnoty závisí od zadanej periódy kĺzavého priemeru. Tvar EMA vyjadrujeme vzťahom: n i ti Et ( n) ( ) pt i ( ) p i0 kde 2. n Exponenciálny kĺzavý priemer kladie dôraz na aktuálnejšie hodnoty a tým umoţňuje analytikom rýchlejšie reagovať na zmeny v posledných cenách. Váha priradená najaktuálnejšej hodnote sa nazýva vyhladzovací faktor (smoothing factor). V praxi sa často pouţívajú aj modifikované tvary exponenciálnych kĺzavých priemerov ako sú napríklad 3

132 32 dvojité (DEMA) i trojité kĺzavé priemery (TEMA). Pri ich pouţití sú váhy rozloţené v rôznych ale podobných tvaroch []. Obrázok 3: Ukážka rozloženia váh pri kĺzavých priemeroch EMA DEMA TEMA Zdroj: Trojuholníkový kĺzavý priemer (TMA) vyhladzuje údaje pouţitím dvakrát za sebou SMA. Najväčšia váha sa priraďuje hodnotám leţiacim v strede periódy dĺţky n. Pre n = 2k platí: ) ( ) ( ) ( k i i k t k i i t t p i k p i k n T Pre n = 2k- platí: ) ( ) ( ) ( ) ( k i i k t k i i t t p i k p i k k n T Trojuholníkový kĺzavý priemer patrí medzi menej pouţívané priemery. Variabilný kĺzavý priemer (VMA) patrí medzi špeciálne prípady exponenciálneho kĺzavého priemeru s dvomi vyrovnávajúcimi konštantami, pričom hodnota druhej konštanty

133 sa mení v čase podľa volatility (tzv. kolísaní) ceny akcií. Najväčšiu váhu majú najaktuálnejšie hodnoty, ktoré smerom do minulosti klesajú. t 2 i0 t2 t j pt i t j i Vt ( n) t p j 0 j0 2 Pričom je prvá vyrovnávacia konštanta a t predstavuje druhú vyrovnávaciu n konštantu (volatility ratio). 3. Záver V štatistickej praxi sa vyuţíva kĺzavý priemer na odhad trendovej alebo trendovo-cyklickej zloţky na mnoţine určitých štatistických dát. V prípade technickej analýzy sú týmito dátami ceny akcií. Metóda kĺzavých priemerov ja vhodná pre udrţanie obchodníkov v zhode s cenovým trendom, pretoţe ide o indikátor sledujúci trend. Kĺzavý priemer nepredpovedá vznik alebo zánik trendu iba ho potvrdzuje. Je to dané tým, ţe je zaloţený na minulých hodnotách. Samotné vyuţitie kĺzavého priemeru nevedie k identifikovaniu správneho času nákupu alebo predaja. Finanční analytici musia preto pouţívať aj ďalšie technické indikátory. Literatúra [] DEMJAN, V., IŢIP, R., MORAVČÍK, M.,: Pravda a mýty o forexe. TRIM S&P, s. r. o., Bratislava, 20. ISBN [2] HARTMAN, O.: Jak se stat forexovým obchodníkem. FXstreet.cz s. r. o., Praha, 2009, ISBN [3] MURPHY, J.: Technical analysis of the financial markets. Prentice Hall NYIF, New York 999 s.96 [4] PACÁKOVÁ, V. a kolektív: Štatistika pre ekonómov. Edícia Ekonómia vydáva IURA EDITION, Bratislava 2003 s.358, ISBN [5] SODOMOVÁ, E. a kolektív: Štatistika pre bakalárov. Vydavateľstvo EKONÓM, Bratislava 200 s.258, ISBN

134 Abstract Comparison of methods BM and POT from the view of non-life insurance Valéria Skřivánková, Matej Juhás The paper deals with two methods of registration extreme values, namely with method of Block Maxima (BM) and Peaks Over Threshold (POT) method. The problem of parameter estimation of extreme value distributions in both cases, also the problem of testing equality between the empirical and theoretical distribution are solved. We discuss advantages and disadvantages of considered methods from the view of their application in non-life (re)insurance practice and present some results about real car insurance data analysis. Key words Extreme values, BM and POT methods, parameter estimation, statistical data analysis. JEL Classification: C3, C6, G22. Introduction Nowadays, the extreme value theory methods are widely used in non-life insurance practice, mainly in non-proportional reinsurance. By modeling extreme insurance claims, we can determine the optimal level of reinsurance or calculate the risk premium to cover potential catastrophic losses. This is very important for smaller insurance companies which pay for reinsurance to bigger companies (like Swiss Re or Munich Re). In the case of Excess-of-Loss (XL) reinsurance (see [3]) the claims over a certain contractually agreed threshold are covered by the big company. The problem of searching optimal threshold in this situation can be solved by POT methodology. In the case of Largest Claims Reinsurance (LCR() or LCR(p), p ), the principles of BM methodology and its modifications are useful. Historically, the first approach for modeling extreme values was based on the method of block maxima (BM). By this method as extreme values are recorded only the maxima of the blocks of the same size. The asymptotic distribution of block maxima, by the first basic theorem of extreme value theory (Fisher and Tippett, 928), belongs to one of the three standard extreme value distributions, namely to Gumbel, Fréchet and Weibull distribution, regardless of the original distribution of the observed data. These three distributions are special cases of generalized extreme value distribution (GEV). Another approach is the tail-fitting approach, called peaks-over-threshold (POT) method, which studies the behavior of large observations that exceed a high threshold. The second basic theorem of extreme value theory (Pickands,975; Balkema and de Haan, 974) says that the only possible limit distribution for exceedances is the general Pareto distribution (GPD), more precisely its three special cases - exponential, standard Pareto and beta distribution. In real situations, the exact distribution of observed data is not known, so we need statistical analysis for approximation. It usually means to chose some probability distribution, estimate its unknown parameters and test the equality between theoretical and empirical distribution. The choice of the probability distribution is often based on visualization and graphical Valéria Skřivánková, Doc. RNDr., CSc., Institute of mathematics, Faculty of Science, P. J. Šafárik University of Košice, Jesenná 5, Košice, SR, valeria.skrivankova@upjs.sk. Matej Juhás, RNDr., Institute of Mathematics, Faculty of Science, P. J. Šafárik University of Košice, Jesenná 5, Košice, SR, matej.juhas@student.upjs.sk. Acknowlegement: This work was supported by Slovak grant agency under VEGA /040/ and /093/. 34

135 analysis of data, including time series, histogram, kernel density, probability plots (PP-plot) and quantile graph (QQ-plot) construction. We dealt with these methods in detail in [4], [6], and we proposed alternative methods of characterization extreme value distributions using records in [5], [9]. In this paper, we will concentrate only on some problems of estimating parameters of GEV and GPD and on testing the equality between the theoretical and empirical distribution. Using the considered methods we state optimal threshold in case of real non-life insurance data. 2. The method of block maxima Consider a sequence {X n, n } of independent identically distributed (iii) random variables with common distribution function F(x). We denote the sample block maximum as M n = max {X, X 2,,X n } for n. The distribution of maxima is given by P ( Mn 2 n x) P( X x, X x,..., X n x) F ( x), x R, n N. In general, the distribution F(x) is unknown, so we need some approximation of F n (x). The limit distribution of block maxima is given by the following theorem. Theorem. ( Fisher, Tippett) Let {X n, n } is a sequence of iid random variables. If there exist norming constants c n > 0 and d n real and some non-degenerate distribution function H such that c n ( M n d n d ) H, for n, then H belongs to the type of one of the following three types of standard extreme value distributions: Gumbel: Fréchet : Weibull : (x) exp( e x ( x) exp( x ( x) exp( ( x) ), for x R, ), for x 0, 0, ), for x 0, 0. There exists a one parameter representation of the three standard cases, called generalized extreme value distribution. Definition. Distribution function H ξ defined by relation exp ( ), if 0, ( ) x H x () x exp e, if 0, where +ξx > 0, is called generalized extreme value distribution (GEV). The parameter ξ is called extreme value index (EVI). Distribution H ξ corresponds with Gumbel distribution for ξ = 0, x ϵ R, with Fréchet distribution for ξ = α - > 0, x > - ξ - and with Weibull distribution for ξ = α - 0, x - ξ -. The GEV distribution defined by () can be modified adding location parameter μ ϵ R and scaling parameter σ > 0, so we get the modified version of GEV in the form 35

136 36. 0, for, exp, 0, for, exp ) (,, R x e x x x H x (2) The unknown parameters ξ, μ, σ can be estimated by the maximum likelihood (ML) method. The density function h ξ,μ,σ ( x) we obtain by derivation of (2). For ξ 0, the logarithm likelihood function is given by n i n i x i x i n x L ln ln ),, ; ( ln (3) By derivation of (3) according to unknown parameters ξ, μ, σ we get the likelihood equations n i i i i i i n i i i i n i i i x y y y y y y x y y n 2 ln 0 ) ( 0 ) ( 0 (4) where y i = (x i -μ)/σ. If ξ = 0, the likelihood equations are less complicated. exp 0 exp 0 i n i i n i i x x n x n (5) Unfortunately, there is no closed form for the parameters in (4) and (5) but numerical methods provide good estimates using software. In case of ξ = 0 to estimate location parameter μ and scale parameter σ we can also use moment estimators. They are deduced from the sample mean and variance. We can show that the mean and the variance of Gumbel distribution are μ + σγ and σ 2 π 2 /6, where γ ~ 0,5772 is the well known Euler constant (see [8]), therefore n n x and where, 6 x s n n and s n 2 are the sample mean and variance. Further special methods of estimations we can find e.g. in [2], [8] and []. To test hypothesis that the observed maxima come from Gumbel distribution, we can use likelihood ratio (LR) test. We are testing the null hypothesis H 0 : ξ = 0 against the alternative H : ξ 0. The test statistic is, ) ( 2ln ~ ~, 0, ˆ ˆ, ˆ, k i i k i i LR x h x h T (6)

137 where ˆ, ˆ, ˆ and ~, ~ are maximum likelihood estimations for parameters of GEV and Gumbel distribution, h is the density function of GEV and x i, i =,2,, k, are the observed maxima. The test statistic T LR is asymptotical 2 (), for k. Hypothesis H 0 is rejected at level α if T LR is more than the corresponding quantile. 3. Peaks over threshold method Consider again the sequence {X n, n } of iid random variables (insurance claims) with common distribution function F(x). We are interested now in modeling exceedances which are larger than a sufficient high threshold u. The conditional distribution function of excesses (tail distribution) is of the form F u F( x u) F( u) ( x) PX u x X u, for x > 0, u > 0. (7) F( u) By the well known Pickands theorem (see [2]), for sufficiently high threshold u the limit distribution of excesses can be approximated by generalized Pareto distribution. Definition 2. Random variable X has generalized Pareto distribution (GPD) if its distribution function is x, if 0, G ( ), x (8) x exp, if 0, where x 0, ) for 0 and x 0, / for ξ 0. Theorem 2 (Pickands, Balkema, de Haan) F u (x) is an excess distribution function if and only if there exists a positive measurable function β=β(u) for every ξ > 0 such that lim sup F u, u ( F ) 0x F xg x 0, where ω(f) = sup{x ; F(x) } is the right end point of F(x). Parameter ξ characterizes the three special types of possible limit distributions. If ξ = 0 than GPD in represents exponential law, for ξ > 0 we have Pareto distribution and for ξ 0 one get beta distribution. So, the estimated value of EVI gives us an important information about the type of the tail distribution. Parameter β=β(u) depends on the threshold. If the threshold is unknown, we must state it carefully, because if u is too high we have only a few exceedances and large estimation variance. For u too low the estimate can be bias. Special methods of choosing threshold and methods for estimation parameters ξ and β are presented in [8]. We studied similar problems in [4] and [0]. In this paper, we deal with the maximum likelihood method and the method of probability weighted moments to estimate ξ and β. According to (8) we get the density function of GPD in the form x g ( x;, ) G, ( x), x > 0, ξ > 0. (0) (9) 37

138 38 The logarithm of likelihood function is, ln ln ), ; ( ln n i x i n x L and the corresponding likelihood equations are of the form n i i i n i i i n i i x x n x x x 2 2 ) ( 0 ln 0 () There is no explicit form for the solution of equations (), so we have, similarly to GEV model, numerical methods and software to use. For GPD model we consider another method, the method of probability weighted moments (PWM). This method has the basic idea that estimations for unknown parameters of GPD can be derived from the expressions for the sample moments. We define the PWM of random variable X with distribution function F as, ) ( ) (,, s r p s r p X F X F X E M for p,r,s ϵ R. For our purpose we will need only the special case p= and r= 0.Then we get M p,r,s in form M,0,s = E[X (- F(X)) s ], for s = 0,,2, (2) To get the PWM estimators for parameters ξ and β of GPD we calculate the mean value and the variance of this distribution. Using density (0) and calculating the corresponding integrals we get (for ξ ½). ) 2 ( ) (, 2 2 X D X E (3) Using the distribution function G ξ,β (x) from (8) and density function g ξ,β (x) from (0) we derive M,0,s in the form 0,0, dx x x x X X E X F X E M s s s s, Calculating the integral we obtain M,0,s = β/(s +)(s +-ξ), for s = 0,,2, (4) The empirical counterpart of (2) is for ordered sample X n,n X n-,n X,n of the form. ˆ,,0, n j s n i s X n j n M (5) Choosing s = 0 and s = from (4) we get M,0,0 = β/( ξ) and M,0, = β/2(2 ξ). (6) Solving the system (6) we obtain,0,,0,0 ) 2(2 ) ( M M and then

139 M M,0,0,0,0 4M 2M 2(2 ) M,0,,0,,0, 2 M 2M M,0,0,0,0,0,0 M M M 2M Replacing M,0,0 and M,0, with their empirical counterpart given by (5) we obtain the probability weighted estimators ˆ and ˆ PWM PWM. Unfortunally, the application of PWM estimators is not without problems. In case ξ the PWM estimators do not exist. To measure the compatibility of random sample with theoretical distribution, we can use goodness-of-fit tests (the Kolmogorov-Smirnov and the Anderson-Darling tests are suitable). Testing hypothesis is of the form,0,,0,,0,0.,0, H 0 : F n (x) = F(x) against H : F n (x) F(x), where F n (x) is the empirical and F(x) is the theoretical distribution function. Test statistic for K-S test is Test statistic for A-D test A n n n K n k n x x sup F F. x n (2k ) ln F x ln Fx k, n n k, n The null hypothesis is rejected at level α if the considered statistic is bigger than the corresponding tabulated critical value. 4. Real data analysis In this section we will analyze 9748 car insurance claims coming from a Slovak insurance company over ten years period and given in euros. Our main goal will be to model the tail distribution of data, estimate the parameters of considered distributions, verify the equality of empirical and theoretical distribution and at the end, state the optimal reinsurance level using POT methodology. Since our data were not sorted into blocks, it will be very important step to find suitable block size or number of blocks, and for selected variants block sizes using BM methology estimate the distribution of block maxima and state the expected level of maximal claim which will not exceeded whith required high probability. To realize these goals we used statistical and mathematical software R, Matlab, Maple and Excel. The time series of data, plotted in Figure, give us useful information about the occurence of extreme claims and their approximate time of occurence. We also see whether there exists an evidence of clustering large claims which signalize the dependence of data. Our data can be considered as independent.,. (7) 39

140 Figure : Time series of car insurance claims Source: own The basic characteristics of data are in Table. We can see, that the variance is large enough, the distribution is positively skewed and the kurtosis is essentialy larger than 3 (which is the kurtosis of standard normal distribution), so the data have heavy tailed distribution. Table : Estimation of unknown parameters Count Mean Variance Skewness Kurtosis Source: own First we estimate the parameters of generalized Pareto distribution using maximum likelihood method. The results are ˆ and ˆ MLE MLE Then we compared the results with another methods of estimation parameters ξ ( Pickands, Hill, Dekkers ) which we have studied in [9]. All estimation methods lead to positive value of EVI, so the considered distribution is heavy tailed. For the threshold selection we used methods based on stability of Pickands graph and of Hill s graph as in [4], and stated as possible numbers of excesses 380 or 634. For this case we verified the correspondence between the theoretical and empirical distribution using K-S and A-D tests. According to p-value we decided to choose the MLE estimations and block size 380. For the estimated distribution we designated the maximum claim size, which will not be exceeded with probability for example For our data it is x = euros, which means that claims above this value should be secured by reinsurance. For using block maxima method we selected variants blok sizes. After careful analysis of data based on the p-values, PP-plots and QQ-plots and kernel density, studied in detail in [7], it seems that the most suitable models for claims are blocks of lengths 30, 50 and 70. Individual values of estimated parameters of GEV distribution for each block, obtain by maximum likelihood method, are in the following Table 2. Table 2: ML estimation of unknown GEV parameters Block size μ σ ξ Source : own 40

141 We see, that the value of the parameter ξ is grater than 0.3 for all blocks, so the distribution corresponds to the heavy tailed Fréchet distribution. To verify this argument we use likelihood ratio (LR) test for Gumbel distribution presented in Section 2. The results are in the following Table 3. Table 3: Likelihood Ratio tests Block size Statistics () p-value e e e -9 Source : own 2 Comparing the values of the test statistics with the quantile of distribution, we can see that at significance level α = 0.05 the Gumbel hypothesis is rejected for all selected models. If we consider as criterion of optimality the highest p-value of K-S and A-D tests, the optimal block size is 50. Now we can state the value of claim that will not be exceeded with probability for example For our data and block size 50 is the founded value euros. References [] BEIRLANT J. at al.: Statistics of extremes: Theory and applications, Wiley, New York, [2] EMBRECHTS P. at al.: Modelling extremal events in insurance and finance. Springer- Verlag, New York, 997. [3] FECENKO J., ŠELENG M.: Niektoré aspekty XL zaistenia. In: Poistná matematika v teórii a v praxi. EU Bratislava, 2005, [4] JUHÁS M., SKŘIVÁNKOVÁ V.: Analýza extrémnych hodnôt v poistení motorových vozidiel metódou POT. Forum Statisticum Slovacum, 5(200), [5] JUHÁS M., SKŘIVÁNKOVÁ V.: Analysis of accurance of records in car insurance. In: Aktuárska veda v teórii a v praxi. EU Bratislava, 20, [6] JUHÁS M., SKŘIVÁNKOVÁ V.: Odhady parametrov v modeli extrémnych hodnôt. Forum Statisticum Slovacum, 7(20), [7] JUHÁS M., SKŘIVÁNKOVÁ V.: Analýza dát z oblasti neţivotného poistenia metódou blokového maxima. Forum Statisticum Slovacum, 7(202), [8] REISS D.R., THOMAS M.: Statistical analysis of extreme values with application to insurance, finance, hydrology and other fields. Birkhäuser Verlag, Basel, [9] SKŘIVÁNKOVÁ V., JUHÁS M.: EVT methods as risk management tools. In: Managing and modeling financial risks. VŠB-TU Ostrava, 202, [0] SKŘIVÁNKOVÁ V., JUHÁS M.: An alternative method of characterization extreme value distributions. In: Financial management of firms and financial institutions. VŠB- TU Ostrava, 203 (to be appear). [] TARTAĽOVÁ A.: Neparametrické metódy odhadu hustoty rozdeleni pravdepodobnosti. Forum Statisticum Slovacum, 5(200),

142 Abstract Insurer reinsurance program optimization the software application project Optimalizácia zaisťovacieho programu poisťovne návrh softvérovej aplikácie František Slaninka This paper presents a software application project allowing to identify the optimal protection of reinsurance formed by various combination of proportional and nonproportional reinsurances obtained from the optional input data. The article provides basic algorithm describing the process of optimizing reinsurance, as well as various treatments of optimization process used in software applications such as folding hedge chains and application of optimization criteria. Appropriateness application submitted solutions is verified by reduced risk rate and collapse probability. The results are also supported graphically. Key words chain of reinsurance protections, optimization algorithm, optimization criterion, risk premium, the probability of failure, software application JEL Classification: G22. Úvod Garancia solventnosti schopnosti poisťovne zabezpečiť v kaţdom momente splnenie záväzkov vyplývajúcich z poisťovacej činnosti s pravdepodobnosťou minimálne 99,5% - je základnou podmienkou pre pôsobenie na poisťovacom trhu v EÚ. Na druhej strane cieľom poisťovne ako podnikateľského subjektu je maximalizovať zisk zo svojej činnosti. Nájsť rovnováhu medzi maximalizáciou zisku a minimalizáciou prijatého rizika je jednou z primárnych úloh poisťovne. Efektívnym prostriedkom redukcie rizika je zaistenie. Optimalizáciou zaisťovacieho programu poisťovňa dokáţe eliminovať straty na zisku vyplývajúce z redukcie prijatého rizika. Optimalizácia zaisťovacieho programu poisťovne je matematicky náročný proces a jeho efektívna realizácia v podmienkach praxe je uskutočniteľná len pomocou počítačového softvéru. Štruktúre a základným procedúram softvérovej aplikácie umoţňujúcej nastaviť optimálne parametre zaistenia bude venovaný náš príspevok. 2. Optimalizácia zaisťovacieho programu procedúry algoritmu Cieľom príspevku je redukovať riziko vyplývajúce z portfólia prijatých poistných zmlúv optimálnym nastavením zaisťovacej ochrany. Navrhovaný optimalizačný algoritmus nájde na základe vstupných údajov optimálne hodnoty parametrov všetkých reťazcov zaisťovacích ochrán nachádzajúcich sa v ponuke programu a pouţitím vhodných analytických nástrojov vyberie optimálne zloţenie a poradie zaisťovacích ochrán. Program by mal zohľadňovať František Slaninka, Mgr., Katedra matematiky a aktuárstva, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, Dolnozemská cesta /b, Bratislava, SR, frantisek.slaninka@gmail.com, Identifikácia vedeckovýskumného projektu: Analýza a modelovanie rizík v zmysle kvantitatívnych štúdií QIS projektu SOLVENCY II, VEGA č. /093/ 42

143 poţiadavky uţívateľa jednak na typy a poradie zaistení, ktoré chce v rámci redukcie rizika uplatniť, ako aj na hodnoty parametrov prislúchajúcich k vybraným typom zaistení. Štruktúra navrhovaného algoritmu sa v súlade s procesom optimalizácie zaisťovacieho programu skladá z nasledujúcich procedúr, ktoré moţno začleniť do troch základných blokov: A. Analýza poistných údajov dodaných poisťovňou. návrh rozdelenia počtu škôd a výšky individuálnej škody 2. odhad parametrov vhodných rozdelení 3. overenie vhodnosti navrhnutých rozdelení a odhadnutých parametrov príslušných rozdelení B. Analýza prijatého rizika poisťovne - stanovenie mier rizika pomocou. pravdepodobnosti krachu 2. hodnoty Value-at-Risk 3. hodnoty Conditional Value-at-Risk C. Optimalizácia reťazca zaisťovacích ochrán. voľba princípu kalkulácie rizikového poistného resp. zaistného 2. skladanie reťazcov zaisťovacích ochrán 3. aplikovanie optimalizačného kritéria na reťazec zaisťovacích ochrán V nasledujúcej časti príspevku uvedieme bliţší opis jednotlivých blokov a s nimi súvisiacich procedúr. a. Analýza poistných údajov dodaných poisťovňou Analýza poistných údajov dodaných poisťovňou je realizovaná na základe výberových dát dodaných poisťovňou. Vyuţívať budeme metódy akými sú prieskumová - grafická analýza dát, odhady neznámych parametrov a štatistické overovanie hypotéz. V rámci analýzy poistných údajov budú realizované nasledujúce procedúry:. Návrh rozdelenia počtu škôd a rozdelenia výšky individuálnej škody Návrhy predpokladaných rozdelení uskutočníme na základe grafického zobrazenia rozdelenia početnosti empirických údajov a v navrhovanej softvérovej aplikácii sú preddefinované predpokladané vhodné typy skúmaných rozdelení. 2. Odhad parametrov vhodných rozdelení 43

144 Na odhad parametrov predpokladaného rozdelenia počtu škôd a rozdelenia výšky individuálnej škody budeme vyuţívať nasledujúce pravdepodobnostno-štatistické metódy intervalového odhadu: - metódu momentov numericky jednoduchú metódu, ktorá dáva dobré výsledky pri náhodných výberoch väčšieho rozsahu, ktorá je zaloţená je na porovnávaní teoretických a empirických začiatočných, alebo centrálnych momentov náhodnej premennej; - metódu maximálnej vierohodnosti ktorá je zaloţená na maximalizácii funkcie vierohodnosti, kde odhady neznámych parametrov uvaţovanej náhodnej premennej sa vyberú tak, aby hodnoty hustoty v bodoch náhodného výberu boli maximálne. 3. Overenie vhodnosti navrhnutých rozdelení a odhadnutých parametrov príslušných rozdelení Analytickým nástrojom, ktorý budeme vyuţívať na overovanie vhodnosti odhadnutých parametrov, resp. rozdelení náhodných premenných bude testovanie štatistických hypotéz. Typy testov, ktoré sú súčasťou navrhovanej softvérovej aplikácie sú: Kolmogorov Smirnovov test dobrej zhody slúţi na porovnávanie teoretickej a empirickej distribučnej funkcie náhodnej premennej určenej z náhodného výberu, pričom dobrá zhoda medzi dátovým súborom a teoretickým modelom je vtedy, ak sa tieto dve distribučné funkcie odlišujú minimálne; Chí kvadrát test dobrej zhody slúţi na overenie rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej, pričom dobrá zhoda medzi náhodným výberom a teoretickým modelom je, keď nenastanú veľké rozdiely medzi reálnymi početnosťami hodnôt náhodného výberu v jednotlivých triedach a teoretickými početnosťami, ktoré sú jednoznačne definované pomocou hustoty f(x) alebo distribučnej funkcie F(x); test normality cez momenty test slúţiaci na overenie štatistickej zhodnosti empirického rozdelenia s teoretickým rozdelením pravdepodobnosti náhodnej premennej, vyuţívajúci koeficienty šikmosti a špicatosti. b. Anaýza prijatého rizika poisťovne Analýza prijatého rizika poisťovne poskytuje poisťovni dôleţité informácie o prevzatom riziku. Na základe uskutočnenia analýzy rizika sa poisťovňa rozhoduje o prípadnej redukcii ako aj o forme redukcie prevzatého rizika. Pri analýze skúmaného portfólia poistných zmlúv budeme vychádzať zo základných predpokladov kolektívneho modelu rizika reprezentovaného celkovou škodou kde N kol S X i, () i X i - sú nezávislé, identicky rozdelené kladné náhodné premenné reprezentujúce individuálne výšky škôd N - je diskrétna náhodná premenná opisujúca počet škôd nezávislá od premenných X i. 44

145 Náhodná premenná všeobecný tvar kol S spĺňajúca uvedené predpoklady má zloţené rozdelenie, ktoré má kol S ~ Co( p ( n); F ( x )). (2) N Uţívateľ by mal mať moţnosť v rámci navrhovanej softvérovej aplikácie analyzovať svoje riziko nasledujúcimi nástrojmi, ktorými sú:. Pravdepodobnosť krachu vyjadruje moţnosť, ţe v určitom čase - na konci časovej kol periódy prebytok poisťovne U RP S klesne do záporných čísel, čo môţeme zapísať v tvare: kol P U RP S 0 (3) ak uvaţujeme jednu časovú periódu, resp. pre dlhšie časové obdobie. X P U t RP S t 0 (4) 2. Value-at-Risk (VaR) vyjadruje maximálnu škodu, ktorá nastane s konkrétnou kol pravdepodobnosťou za určité obdobie. VaR náhodnej premennej S opisujúcej celkovú kol škodu s pravdepodobnosťou p, je 00 p % kvantil, 0 p VaR S alebo x p a pre ktorý platí: (5) p kol inf : kol VaR S x R F x p, označovaný p 3. Podmienená hodnota v riziku CVaR (Conditional Tail Expectation, Tail VaR) - je kol kol spresnením odhadu hodnoty v riziku. Hodnotu CVaR ( S ) náhodnej premennej S kol opisujúcej riziko, pre ktorú P( S x p ) 0, vyjadríme pomocou náhodnej premennej kol Y S x p, ktorej distribučná funkcia má tvar: S p kol 0 x VaRp ( S ) F kol kol ( x) F ( ) S / S x kol x p p S kol x VaRp ( S ) p (6) c. Optimalizácia reťazca zaisťovacích ochrán Optimalizácia reťazca zaisťovacích ochrán - je uskutočňovaná v krokoch, ktoré teraz podrobnejšie uvedieme.. Voľba princípu kalkulácie rizikového poistného: Poistné je čiastka, ktorú poisťovňa potrebuje na krytie prevzatého rizika, pričom pri určovaní poistného musí počítať aj s pokrytím správnych nákladov a s dosiahnutím zisku. Poistné kol stanovené poisťovňou tzv. bruttopoistné, ktoré vznikne rozšírením strednej hodnoty ES ( ) o ďalšie činitele má tvar 45

146 BP NP PR C (7) kol kol kol kol S S S S kol kde NP E( S ) je nettopoistné, PR kol priráţka a C kol správne náklady a zisk, pričom kol S rizikové poistné je dané vzťahom S kol kol kol S S S S RP NP PR (8) V tabuľke sú uvedené princípy kalkulácie rizikového poistného, ktoré sú voliteľnou zloţkou navrhovanej softvérovej aplikácie. Tabuľka : Princípy kalkulácie rizikového poistného navrhovanej softvérovej aplikácie Princíp kalkulácie rizikového Rizikové poistné poistného princíp strednej hodnoty kol kol RP kol E( S ) E( S ), 0 princíp rozptylu kol kol RP kol E( S ) D( S ), 0 princíp smerodajnej odchýlky exponenciálny princíp princíp semivariancie princíp priemernej hodnoty Wangov princíp S S kol kol RP kol E( S ) D( S ), 0 S RP kol E S E e S kol kol. S ( ) ln ( ), 0 2 ( kol ) kol kol, 0 RP kol E S E S E S S kol S RP E S W 0 kol 2 kol p RP P( S t) d t, 0 p CVaR princíp CV a R RP kol F kol ( x)d x, 0 p S S p kol S kvantilový princíp RP kol F kol S S p kvadratický princíp u RP E S u u D S u u D S kol S kol 2 kol 2 kol ( ) ( ), 0, ( ) Zdroj: Vlastné spracovanie Zaistné je čiastka, ktorú poisťovateľ platí zaisťovateľovi za prevzatie časti rizika. V našej navrhovanej softvérovej aplikácii budeme určovať rizikové zaistné podľa princípov, ktoré vyuţívame pri kalkulácii rizikového poistného. 2. Skladanie reťazcov zaisťovacích ochrán Poisťovňa môţe eliminovať prijaté riziko jednoduchým zaistením, alebo vhodným zloţením niekoľkých zaistení do reťazca zaisťovacích ochrán. V tabuľke 2 sú uvedené základné typy zaistenia, ktoré by mali byť súčasťou navrhovanej softvérovej aplikácie. Tabuľka 2: Zaistenia v ponuke navrhovaného programu 46

147 Zaistenie Parametre zaistenia Typ zaistenia Kvótové zaistenie Excedentné zaistenie vzhľadom na poistnú sumu Škodový nadmerok na riziko WXL/R Škodový nadmerok katastrofickej udalosti WXL/E Zaistenie ročného nadmerku stop loss reinsurance q kvóta, L limit zaisťovateľa - vlastný vrub prvopoisťovateľa k násobný limit zaisťovateľa - priorita prvopoisťovateľa L limit zaisťovateľa - priorita prvopoisťovateľa L limit zaisťovateľa - priorita prvopoisťovateľa- L limit zaisťovateľa Zdroj: Vlastné spracovanie proporcionálne proporcionálne neproporcionálne neproporcionálne neproporcionálne V navrhovanej softvérovej aplikácii sú zvaţované nasledujúce reťazce zaisťovacích ochrán tvorené zaisteniami uvedenými v tabuľke 2: - kombinácia kvótového zaistenia a excedentného zaistenia vzhľadom na poistnú sumu bez limitov zaisťovateľov (vrátane zmeny poradia jednotlivých zaistení) - kombinácia kvótového zaistenia s limitom zaisťovateľa a excedentného zaistenia vzhľadom na poistnú sumu s limitom zaisťovateľa - kombinácie kvótového zaistenia s neproporcionálnymi zaisteniami uvedenými v tabuľke 2 vrátane limitu zaisťovateľa - excedentné zaistenie s k - násobným limitom prvého zaisťovateľa a k2 - násobným limitom druhého zaisťovateľa - kombinácie excedentného zaistenia vzhľadom na poistnú sumu s limitom zaisťovateľa s neproporcionálnymi zaisteniami v tabuľke 2 vrátane limitu zaisťovateľa - kombinácia kvótového zaistenia, excedentného zaistenia vzhľadom na poistnú sumu s limitom zaisťovateľa s neproporcionálnymi zaisteniami v tabuľke 2 vrátane limitu zaisťovateľa (kombinácia 3 zaistení) Najefektívnejší spôsob odvodenia základných charakteristík zloţených zaistení je zaloţený na grafickom znázornení hodnôt poistnej sumy prislúchajúcich poisťovni a jednotlivým zaisťovateľom. Napríklad situácia pri kombinácii kvótového zaistenia a excedentného zaistenia vzhľadom na poistnú sumu s k - násobným limitom zaisťovateľa je zobrazená na obrázku. 47

148 Obrázok : Kombinácia kvótového a excedentného zaistenia s k-násobným limitom zaisťovateľa z pohľadu poisťovne a zaisťovateľov Zdroj: Vlastné spracovanie Na základe grafického znázornenia môţeme odvodiť nasledujúce vzťahy poistnej sumy prvopoisťovateľa a obidvoch zaisťovateľov: P q S pre S S q pre S k q, k q S k pre S k (9) Z q S q S (0) Z 2 0 pre S S q S pre S k k q k pre S k () Pomocou vzťahov (9) - () vieme odvodiť relácie vyjadrujúce poistné plnenia prvopoisťovateľa a obidvoch zaisťovateľov ako aj s daným zaistením súvisiace charakteristiky. 3. Aplikovanie optimalizačného kritéria na reťazec zaisťovacích ochrán Určiť optimálnu časť rizika, za ktorú by mala ručiť poisťovňa znamená stanoviť optimálne hodnoty parametrov zaistení tvoriacich príslušný reťazec zaisťovacích ochrán. V podmienkach kolektívneho modelu rizika definovaného vzťahom () vytvoríme v súlade so zvoleným optimalizačným kritériom pre konkrétny princíp kalkulácie rizikového poistného účelovú funkciu, ktorú optimalizujeme. Stacionárny bod, resp. stacionárne body, v ktorých nadobúda extrémnu hodnotu dávajú informácie o optimálnom reťazci. Navrhovaná softvérová aplikácia bude riešiť tieto dva typy úloh matematického programovania: - úloha na lokálny extrém vo všeobecnom tvare: 48

149 u x min (2) - úloha na viazaný extrém vo všeobecnom tvare: pri ohraničení resp. pri ohraničení u x max n pk xk M (3) k u x min n pk xk M (4) k V softvérovej aplikácii navrhujeme vyuţiť tieto optimalizačné kritériá: I. Kritérium maximálneho očakávaného zisku s väzbou na konštantný rozptyl, pri ktorom hľadáme maximum účelovej funkcie pri splnení podmienky n P kol Zi kol x x E Z x RP E S S i P kol 2 x D Z x D S k (5) II. Kritérium minimálneho rozptylu s väzbou na očakávaný zisk, pri ktorom hľadáme minimum účelovej funkcie P kol DZ x D S x pri splnení podmienky n P kol Zi kol x x E Z x RP E S S k (6) III. Kritérium minimalizácie pravdepodobnosti krachu s väzbou na očakávaný zisk, pri ktorom hľadáme minimum účelovej funkcie pri splnení podmienky x i Zi kol P kol x x P kol Sx n U RP S E S i n P kol Zi kol x x E Z x RP E S S k (7) i 49

150 IV. Kritérium minimalizácie hodnoty VaR, pri ktorom hľadáme minimum účelovej funkcie n P kol P kol Zi kol TC x x x VaR S VaR S S (8) V. Kritérium minimalizácie hodnoty CVaR, pri ktorom hľadáme minimum účelovej funkcie i n P kol P kol Zi kol TC x x x CVaR S CVaR S S (9) kde v kritériách I. V. predstavuje: P S - celkovú škodu poisťovne po aplikácii konkrétneho zaisťovacieho programu; kol x Z x - funkciu zisku poisťovne po aplikácii konkrétneho zaisťovacieho programu; Zi kol S x - náklady poisťovne na zaistenie i-tého zaistenia po aplikácii konkrétneho zaisťovacieho programu; P kol x - celkové náklady poisťovne na zaistenie po aplikácii konkrétneho zaisťovacieho TC S programu; n počet zaistení v rámci uskutočneného zaisťovacieho programu, pričom x je n-rozmerný vektor. i 3. Optimalizácia zaisťovacieho programu štruktúra algoritmu Ako uţ bolo uvedené v kapitole 2 - navrhovaný optimalizačný algoritmus nájde na základe vstupných údajov optimálne hodnoty parametrov všetkých reťazcov zaisťovacích ochrán nachádzajúcich sa v ponuke programu a pouţitím vhodných analytických nástrojov vyberie optimálne poradie zaisťovacích ochrán, ako aj optimálne hodnoty parametrov prislúchajúcich jednotlivým zaisteniam v danom reťazci zaisťovacích ochrán. Program by mal s ohľadom na poţiadavky poisťovne, akými môţu byť záujem o konkrétny typ zaistenia, resp. záujem o konkrétne nastavenie niektorého z parametrov zaistení v reťazci zaisťovacích ochrán pracovať v týchto dvoch reţimoch:. Automatický reţim program postupne pre kaţdé zaistenie resp. reťazec zaisťovacích ochrán určí optimálne hodnoty prislúchajúcich parametrov a vyberie na základe analýzy najvhodnejší zaisťovací program. Stručný náčrt algoritmu zaznamenáva nasledujúca schéma: pre i tý reťazec zaisťovacích ochrán z ponuky programu uskutočni aplikuj j té optimalizačné kritérium z ponuky programu na i tý reťazec zaisťovacích ochrán vonkajší cyklus vytvor množinu Pi, joptimálnych hodnôt parametrov. vnorený cyklus analyzuj kvalitu Pi, joptimálnych hodnôt parametrov k tou mierou rizika 2. vnorený cyklus vytvor množinu Qi, j, k optimálnych hodnôt parametrov po analýze rizika vyber najlepší zaisťovací program 2. Manuálny reţim poisťovňa má moţnosť zvoliť vstupné dáta, ktorými sú typy zaistení, resp. reťazcov zaisťovacích ochrán vrátane poradia jednotlivých zaistení v konkrétnom reťazci z ponuky programu, parametre jednotlivých zaistení, alebo konkrétne optimalizačné kritérium, ktorým chce dané zaistenie optimalizovať. 50

151 4. Záver V manuálnom reţime navrhovaná softvérová aplikácia uskutočňuje na základe zvolených vstupných dát nasledovné postupnosti krokov: a) Analýza kvality zaistenia v prípade, ţe špecifikovanými vstupmi sú zaistenie resp. reťazec zaisťovacích ochrán, parametre jednotlivých zaistení, aj miera rizika, program určí výslednú mieru rizika a nevykoná ţiaden cyklus b) Optimalizácia zaistenia ak poisťovňa nešpecifikuje všetky vstupné dáta ako v prípade a) program uskutoční podľa zvolených vstupov niektorý z cyklov schémy uvedenej v manuálnom reţime. V príspevku sme prezentovali návrh softvérovej aplikácie, ktorá na základe vstupných dát uskutoční analýzu rizika a prípadnou optimalizáciou zaisťovacieho programu dané riziko redukuje optimálne a umoţňuje vytvoriť mnoţstvo scenárov a zo všetkých vybrať ten najvhodnejší a to na základe typu skúmaného rizika. Práve navrhovaná softvérová aplikácia, ktorá je v štádiu realizácie by mala byť účinnou pomôckou pri tejto činnosti. Literatúra [] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teória rizika, časť. Vydavateľstvo EKONÓM, 2008 [2] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teória rizika, 2 časť. Vydavateľstvo EKONÓM, 2008 [3] HORÁKOVÁ, G. POLJOVKA, J.: Optimálne zaistenie stanovené hodnotou VaR resp. CVaR. 5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik, KF Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava, 200. [4] HORÁKOVÁ,G.: Hodnota CVaR a ekonomický kapitál. 6. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik, KF Ekonomická fakulta VŠB-TU Ostrava 202 [5] KLUGMANN, S., A., PANJER, H., H., WILLMOT,G.,E.: Loss models. Wiley series in probability and statistics [6] TAN, K. - WENG, CH. - ZHANG, Y. : VaR and CTE criteria for optimal quota-share and stop-loss reinsurance. North American Actuarial Journal, Volume 3, Number 4 5

152 Abstract Pricing of selected options using the Finite difference method Oceňovanie niektorých druhov opcií pomocou Metódy konečných diferencií Lucia Švábová The paper deals with pricing of selected options using the Finite difference method. This numerical method is based on the known Black - Scholes - Merton model for option pricing. In the paper using of this method for determination of the price of some options, especially some kinds of exotic options, is proposed. For some cases of exotic options some modification of the method or of the entrance parameters is necessary. In the paper also the application of the Finite difference method for some options with selected parameters is presented. Key words Option pricing. Black Scholes Merton Model. Finite Difference Method. European Option. Exotic Option. JEL Classification: C02, G00. Úvod Finančné trhy sú veľmi dôleţitou súčasťou trhovej ekonomiky kaţdého štátu. Kaţdý subjekt na finančnom trhu pri obchodovaní sleduje samozrejme svoje vlastné ciele a záujmy. Cieľom obchodovania na finančnom trhu môţe byť investovanie voľných finančných prostriedkov za účelom dosiahnutia zisku, dopyt po finančných prostriedkoch vo forme pôţičky, ale tieţ zabezpečenie sa proti moţným budúcim stratám. Na tento účel sú vyuţívané finančné deriváty, ktoré umoţňujú obchodníkom získať istotu a chrániť sa pred rizikom nepredvídanej cenovej zmeny príslušného aktíva, preniesť toto riziko na niekoho iného. Uzavretím termínového kontraktu má obchodník zaručený budúci predaj za dnes pevne stanovenú cenu a súčasne kupujúci má zabezpečenú budúcu dodávku za dohodnutú cenu. Často sú tieto obchody vyuţívané za účelom špekulácií, je beţné, ţe predávajúci danú komoditu vôbec nevlastní a kupujúci ju vôbec nepotrebuje. Obom obchodníkom ide o dosiahnutie zisku špekuláciou o zmene ceny danej komodity. Cena finančných derivátov musí byť preto veľmi pozorne sledovaná a správne stanovená, pretoţe v prípade, ţe by došlo k moţnosti bezrizikového zisku arbitráţe uzavretím viacerých termínových obchodov, obchodníci by ju bez váhania vyuţili. Existuje niekoľko postupov stanovenia ceny finančných derivátov a väčšina z nich si za základ berie Black Scholesovu parciálnu diferenciálnu rovnicu. Fischer Black a Myron Scholes vytvorili model oceňovania európskych opcií v roku 973. Tento model sa stal prelomovým v oblasti oceňovania opcií na akcie a Myron Scholes a Robert Merton (F. Black zomrel v r. 995) zaň dostali v roku 997 Nobelovu cenu za ekonómiu. RNDr. Lucia Švábová, Katedra kvantitativných metód a hospodárskej informatiky, Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov, Ţilinská univerzita v Ţiline, Univerzitná, Ţilina, tel , lucia.svabova@fpedas.uniza.sk 52

153 2. Teoretické východiská Finančný derivát je finančný nástroj, ktorého hodnota je odvodená od hodnoty iného, tzv. podkladového finančného aktíva (napr. hodnoty akcie, komodity, dlhopisu), od kurzu (výmenného kurzu meny alebo kurzu úrokovej miery), od hodnoty burzových indexov atď. Vo všetkých prípadoch ide o obchodovanie s právami na dohodnuté budúce plnenia. [4] Opcia je finančný derivát, ktorý dáva jej vlastníkovi právo kúpiť (predať) dané podkladové aktívum (napr. akciu) v danom čase T v budúcnosti za vopred dohodnutú realizačnú cenu X. Vyrovnanie opcie nie je povinné, opcia môţe vypršať bez uplatnenia. [5] To znamená, ţe ak sa vlastníkovi opcie neoplatí vyuţiť v čase T svoje právo na kúpu, resp. predaj aktíva, pretoţe by mu toto obchodovanie neprinieslo zisk, môţe nechať opciu exspirovať bez realizácie tejto kúpy resp. predaja. Vypisovateľ opcie je v opačnej pozícii voči jej vlastníkovi, teda v prípade, ţe sa vlastník opcie rozhodne svoje opčné právo uplatniť, vypisovateľ opcie je povinný dohodnuté aktívum predať, resp. kúpiť za dohodnutú realizačnú cenu. Z tohto obchodu má samozrejme stratu, pretoţe vlastník opcie realizáciou tohto obchodu zaznamenal zisk. Obaja obchodníci však vstupujú do opčných pozícií za účelom dosiahnutia zisku, pričom jeden z nich vţdy predpokladá, ţe cena podkladového aktíva v budúcnosti klesne a druhý, ţe cena stúpne. Z hľadiska funkcie delíme opcie na kúpnu (call) opciu a predajnú (put) opciu. Call opcia je kúpna opcia, zaisťuje vlastníkovi právo na kúpu podkladového aktíva v dohodnutom čase v budúcnosti za dohodnutú realizačnú cenu. Analogicky, put opcia je predajná opcia, dáva vlastníkovi právo predať aktívum. [5] Výplata z call opcie (payoff funkcia) udáva vnútornú hodnotu opcie v dobe jej exspirácie. Majme európsku call opciu s cenou c, realizačnou cenou X a expiračným časom T. Nech S T je cena podkladového aktíva v čase exspirácie T. Výplatná funkcia kúpnej opcie je daná rozdielom S X T. Analogicky, výplata z put opcie (payoff funkcia) pre európsku put opciu s cenou p, realizačnou cenou X a dobou splatnosti T je daná rozdielom X S T. [5] a. Exotické opcie Exotické opcie sú všetky iné druhy opcií rôzne od štandardných opcií. Špeciálnym typom exotických opcií sú path dependent opcie, ktorých výplatná funkcia závisí od cesty, to znamená, ţe výplata z opcie je závislá od konkrétneho vývoja ceny akcie počas celej doby ţivotnosti derivátu. Medzi exotické opcie patria napríklad: [4] Chooser opcie, ktoré sú charakterizované tým, ţe ich vlastník si môţe po určitom čase vybrať, či daná opcia je put alebo call opciou. Shout opcie majú takú vlastnosť, ţe ich vlastník si môţe vybrať nejaký časový okamih T počas doby ţivotnosti opcie, potom výplata (payoff) shout opcie je maximum z payoff klasickej európskej opcie a z payoff opcie, ktorá by sa uplatnila v tomto vybranom čase T. Ázijské opcie sú také exotické opcie, ktorých payoff závisí od priemernej hodnoty ceny podkladového aktíva počas doby ţivotnosti opcie. Rozdeľujeme ich na o average price opcie, ktorých payoff je daný rozdielom priemernej ceny akcie počas doby ţivotnosti opcie a realizačnej ceny opcie. o average strike opcie, ktorých payoff je daný rozdielom priemernej ceny akcie počas doby ţivotnosti opcie a ceny tejto akcie v realizačnom čase. 53

154 Exchange opcie (Option to exchange one asset for another) sú exotické opcie, ktoré dávajú vlastníkovi právo vymeniť aktívum B za aktívum A a to v dohodnutom realizačnom čase v budúcnosti. [6]. Na rozdiel od iných opcií, v prípade exchange opcií nerozlišujeme medzi call a put opciami, pretoţe tieto opcie môţeme chápať ako call opcie na prvé podkladové aktívum A s realizačnou cenou rovnou spotovej cene druhého aktíva B v dobe splatnosti opcie, alebo tieţ ako put opcie na druhé podkladové aktívum B s realizačnou cenou rovnou spotovej cene prvého aktíva A v dobe splatnosti opcie. Payoff (výplatná) funkcia z Exchange opcie je daná rozdielom spotových cien týchto dvoch aktív, v prípade, ţe tento rozdiel je kladný. [6] Výhodou exotických opcií, napríklad Ázijských opcií, je, ţe sú lacnejšie ako klasické európske opcie a sú vhodnejšie na zaistenie. Ďalej napríklad Exchange opcie sú povaţované za najjednoduchšie korelačné opcie a analytický vzorec pre ich oceňovanie sa veľmi často pouţíva na oceňovanie iných korelačných opcií (napr. opcií najlepšej/najhoršej ceny best/worst cash options). 3. Blackov Scholesov - Mertonov model oceňovania finančných derivátov Blackova Scholesova - Mertonova (ďalej len BSM) diferenciálna rovnica je rovnica, ktorú musí za platnosti sústavy určitých predpokladov spĺňať cena f derivátu s podkladovým aktívom (akciou), ktoré prináša počas doby ţivotnosti tohto derivátu spojitý dividendový výnos vyplácaný v % z ceny akcie. BSM model je riešením BSM diferenciálnej rovnice, ktorú musí spĺňať cena f ľubovoľného derivátu (opcie) európskeho typu: [5] 2 f f 2 2 f r f r qs S, 2 t S 2 S pričom r označuje bezirizikovú úrokovú mieru, q je spojitý dividendový výnos vyplácaný v % z ceny podkladovej akcie, S je cena akcie a je volatilita ceny akcie. Riešením tejto diferenciálnej rovnice je BSM vzorec, ktorý sa pouţíva na stanovenie ceny európskej opcie, ktorej podkladovým derivátom je akcia, prinášajúca spojitý dividendový výnos q % p.a.: [6] pričom d Xe N c Se N, d qt rt d 2 ln S X 2 r q T 2 T,2, kde T je doba ţivotnosti opcie a X je jej realizačná cena. Tento analytický vzorec slúţi na správne ocenenie opcie európskeho typu, ktorá je viazaná na dividendovú podkladovú akciu. Podobné analytické riešenie nie je známe pre niektoré druhy exotických opcií, preto je v tomto prípade namieste odhadovať cenu takéhoto druhu exotickej opcie pomocou numerickej metódy. 54

155 4. Metóda konečných diferencií Metóda konečných diferencií je jednou zo základných numerických metód na výpočet hodnoty derivátu. Spočíva v transformácii BSM diferenciálnej rovnice, ktorú musí spĺňať cena daného derivátu, na systém diferenčných rovníc, ktoré sa dajú riešiť iteračnou metódou. Riešenie spomínanej BSM diferenciálnej rovnice sa podstatne zjednoduší, ak oblasť riešenia zúţime len na konečný počet bodov. Tieto body zvolíme tak, ţe zadefinujeme v súradnicovej sústave čiary rovnobeţné z osami súradnicovej sústavy. Teda ak S max je maximálna cena akcie, aká môţe byť dosiahnutá počas doby ţivotnosti derivátu, tak interval 0, S rozdelíme na zvolený počet n podintervalov s krokom S. Podobne, ak T je max expiračný dátum opcie, tak interval dostaneme sieť s m 0 ; T rozdelíme na m podintervalov s krokom t. Takto n uzlami, hodnotu derivátu v kaţdom bode označíme f ij. [4] Pri výpočte ceny derivátu pomocou metódy konečných diferencií potom vychádzame z BSM rovnice, ktorú musí daný derivát spĺňať. Definičný obor zúţime iba na sieťové body. Hodnoty derivátu v krajných bodoch siete vieme určiť: v spodných sieťových bodoch s nulovou cenou akcie je cena call opcie nulová, vo vrchných bodoch je analogicky cena put opcie nulová, ostatné hodnoty vyplývajú z put call parity. V koncových bodoch siete sú hodnoty opcie dané jej payoff funkciou. V ostatných vnútorných bodoch siete sú hodnoty derivátu ovplyvnené hodnotami v najbliţších susedných bodoch siete v nasledujúcom alebo v rovnakom čase. Potrebujeme vypočítať neznáme hodnoty derivátu f 0, j (v čase 0). Tieto hodnoty dostaneme dosadením do BSM rovnice, pričom aproximujeme parciálne derivácie diferenciami. V závislosti od pouţitých aproximácií sa rozlišuje implicitný prístup riešenia pomocou Metódy konečných diferencií, pri ktorom sú hodnoty vo vnútorných bodoch siete ovplyvnené hodnotami v okolitých bodoch v rovnakom čase; alebo explicitný prístup, pri ktorom sú hodnoty v kaţdom vnútornom bode siete ovplyvnené hodnotami v najbliţších susedných bodoch v nasledujúcom časovom kroku. Bliţšie o Metóde konečných diferencií pozri [9]. 5. Oceňovanie opcií metódou konečných diferencií V tejto časti uvedieme príklady stanovenia ceny vybraných druhov opcií pomocou Metódy konečných diferencií (MKD). V prípade, keď pre daný typ opcie existuje aj analytický vzorec pre jej oceňovanie, porovnáme spoľahlivosť dosiahnutých výsledkov s riešením priamo zo vzorca. Pre niektoré druhy exotických opcií však tento analytický vzorec nie je známy, preto je stanovenie ceny takejto opcie numericky veľmi uţitočné. a. Európska call opcia na bezdividendovú akciu Majme európsku call opciu s realizačnou cenou X 50, úroková miera nech je r 0, 0, doba ţivotnosti opcie T rok, volatilita 0, 0.Nech maximálna cena opcie, ktorú môţe počas svojej ţivotnosti dosiahnuť, je S max 200. Chceme stanoviť cenu call opcie na akciu, ktorá má cenu S 00. Nasledujúci obrázok uvádza, ako sa pri pouţití explicitného prístupu so zjemňovaním delenia časového intervalu na dvojnásobný počet podintervalov odhadovaná cena tejto call opcie pribliţuje k skutočnej cene, stanovenej pomocou analytického vzorca pre európsku call opciu s bezdividendovou podkladovou akciou. [9] 55

156 Obrázok : Ocenenie európskej call opcie s bezdividendovou akciou explicitnou MKD Zdroj: vlastné spracovanie b. Európska call opcia na akciu s dividendovým výnosom Majme európsku call opciu s rovnakými parametrami ako v predchádzajúcom prípade, avšak táto je viazaná na podkladovú akciu, ktorá prináša spojitý dividendový výnos q = 8 % p.a. Nasledujúci obrázok znázorňuje hodnoty ceny call opcie odhadnuté numericky pomocou explicitnej Metódy konečných diferencií s rastúcim počtom podintervalov času. Znázornená je aj skutočná cena call opcie, stanovená z analytického vzorca. Obrázok 2: Ocenenie call opcie na akciu s dividendovým výnosom explicitnou MKD Zdroj: vlastné spracovanie c. Ázijská Average Price Call opcia Majme ázijskú average price call opciu opciu bez dividend (teda q = 0), pričom volatilita je 0, 3 a čas do splatnosti je T = 0,4. Nech počiatočná cena akcie je S = 05, realizačná cena opcie je X = 00, bezriziková úroková miera je stanovená na r = 8 % p.a. a opcia môţe dosiahnuť maximálnu cenu S 20. Chceme stanoviť cenu opcie v bode S 05. max Nech daná Ázijská opcia je geometrická, teda pri výplatnej funkcii tejto opcie je pouţitý geometrický priemer. Keďţe Ázijská opcia je uţ typom exotickej opcie, je potrebné spôsob pouţitia MKD modifikovať. Hlavná myšlienka spočíva v tom, ţe je potrebné modifikovať 56

157 hodnoty vstupných parametrov volatility a dividendového výnosu. Táto modifikácia potom umoţní oceňovať Ázijskú geometrickú Average Price call opciu ako klasickú európsku opciu na akciu s dividendovým výnosom. Modifikované hodnoty volatility a dividendového výnosu budú ~ 2 0, 732 a ~ q 0,5r q 0, Nasledujúci obrázok znázorňuje hodnoty ceny tejto opcie, stanovené pomocou explicitnej MKD s rastúcim počtom podintervalov času. Znázornená je aj skutočná cena call opcie, stanovená z analytického vzorca. Obrázok 3: Ocenenie ázijskej geometrickej call opcie explicitnou MKD Zdroj: vlastné spracovanie d. Exchange opcia Majme Exchange opciu na výmenu aktíva A za aktívum B. Nech počiatočná cena aktíva A je S = $00, počiatočná cena aktíva B je S 2 = $05.Volatilita u oboch aktív je 2 20%, bezriziková úroková miera je r = 0% a čas do splatnosti je T = rok. Atívum A prináša počas doby ţivotnosti opcie dividendový výnos q 6 %, aktívum B prináša dividendový výnos q 4 2 %. Korelácia medzi aktívami je 0, 5. Spoločná volatilita bude 20%. Nech maximálna cena podkladového aktíva počas doby ţivotnosti derivátu je S max 200. Najdôleţitejším krokom pri stanovení ceny tejto exotickej opcie pomocou MKD bude modifikácia vstupných parametrov modelu. V tomto prípade pouţijeme modifikované hodnoty ceny podkladovej akcie S a realizačnej ceny opcie X. Týmto spôsobom Exchange opciu s danými parametrami prevedieme na klasickú európsku opciu. Modifikované rq hodnoty ceny podkladovej akcie a realizačnej ceny sú dané: S S e 09, 285 a 2 rq X Se 04,08. Teda cenu tejto Exchange opcie budeme odhadovať metódou konečných diferencií rovnakým postupom, ako pre klasické európske opcie so spojitým dividendovým výnosom (pozri [2]). Spoločný dividendový výnos bude vo výške q r q q2 0,08. Chceme vypočítať cenu opcie pre modifikovanú hodnotu S = $09,285, čo je bod, v ktorom má aktívum B hodnotu

158 Nasledujúci obrázok znázorňuje hodnoty ceny Exchange opcie, stanovené pomocou explicitnej MKD s rastúcim počtom podintervalov času. Znázornená je aj skutočná cena call opcie, stanovená z analytického vzorca. Obrázok 4: Ocenenie Exchange opcie explicitnou MKD Zdroj: vlastné spracovanie e. Chooser opcia Majme Chooser opciu, v ktorej majú obe zodpovedajúce opcie, call aj put, dobu ţivotnosti T 2 rok, realizačná cena pri oboch je rovnaká, a to X $ 00. Počiatočná cena podkladového aktíva je S = $05, bezriziková úroková miera je r = 0% a volatilita je 2 0,. Podkladové aktívum neprináša počas doby ţivotnosti opcie dividendový výnos, teda q 0. Vlastník tejto opcie má právo sa v polovici jej ţivotnosti, teda o pol roka rozhodnúť, či daná chooser opcia bude kúpna, alebo predajná, tento čas označujeme T 0, 5. Nech maximálna cena podkladového aktíva počas doby ţivotnosti derivátu je S max Pri stanovení ceny Chooser opcie MKD postupujeme tak, ţe vo všetkých tých bodoch siete, ktoré sú v časovom intervale 0,5; počítame cenu call opcie a aj put opcie. V prvom kroku teda v pravých koncových bodoch siete pouţijeme na výpočet hodnôt opcií payoff funkcie call opcie aj put opcie. V ďalších krokoch smerom sprava doľava aţ do času T 0,5 počítame hodnoty derivátu pre prípad call aj put opcie. Pritom netreba zabúdať na správne stanovenie hodnôt derivátu v horných a spodných okrajových bodoch siete, nakoľko v prípade call opcie sú spodné hodnoty nulové a v prípade put opcie sú vrchné hodnoty nulové, ostatné hodnoty sa stanovia z put call parity. V čase T 0, 5 potom v kaţdom bode siete vyberieme z týchto dvoch hodnôt tú vyššiu: v max c, p. V ostatných krokoch pre časy v intervale 0 ;0,5 postupujeme ďalej aţ do času 0 s týmito vybranými hodnotami. Hodnota v ľavom bode siete, pre ktorú S 05, je odhadom ceny Chooser opcie, stanoveným pomocou explicitnej MKD. Nasledujúci obrázok znázorňuje vypočítané hodnoty ceny Chooser opcie pomocou explicitnej metódy s rastúcim počtom podintervalov času. Pre tento druh opcie analytické riešenie nie je známe.

159 cena opcie 9 th International Scientific Conference Actuarial Science in Theory and in Practise Bratislava 24,5 23,5 Obrázok 4: Ocenenie Chooser opcie explicitnou MK 22,5 2,5 20,5 9, počet podintervalov času 4 podintervaly ceny akcie 0 podintervalov ceny akcie 20 podintervalov ceny akcie Zdroj: vlastné spracovanie 6. Záver V tomto príspevku sme sa venovali stanoveniu ceny vybraných druhov opcií pomocou zvolenej numerickej metódy Metódy konečných diferencií. Jej základom je Blackov Scholesov - Mertonov model, ktorý vychádza z Blackovej Scholesovej Mertonovej parciálnej diferenciálnej rovnice, ktorú musí spĺňať cena derivátu s dividendovým podkladovým aktívom. Riešenie tejto rovnice je známe pre prípad európskej opci:; riešením je analytický vzorec, pomocou ktorého môţeme dosadením známych parametrov opcie, ako je jej realizačná cena, doba do splatnosti, bezriziková úroková miera, cena podkladovej akcie a volatilita ceny akcie, správne stanoviť cenu zodpovedajúcej call opcie za vylúčenia moţnosti arbitráţe. Existujú tieţ analytické vzorce pre niektoré druhy exotických opcií. Exotické opcie však môţu byť natoľko zloţité, ţe nie je moţné toto analytické riešenie odvodiť. V tomto prípade je vhodné cenu daného derivátu odhadnúť pomocou numerickej metódy. Na základe BSM modelu sme navrhli spôsob pouţitia metódy konečných diferencií najskôr pre európsku call opciu a to jednak na bezdividendovú akciu a tieţ pre prípad call opcie s dividendovým podkladovým aktívom. Ďalej sme navrhli spôsob modifikácie vstupných parametrov MKD alebo spôsobu jej pouţitia pre prípad vybraných druhov exotických opcií. Výsledky, ktoré sme pomocou MKD získali pre vybrané opcie so zvolenými parametrami, sú dostatočne presné a je zrejmé, ţe čím podrobnejšiu sieť deliacich bodov sme pouţili, tým sa získané výsledky viac pribliţujú k skutočným cenám, stanoveným z analytického vzorca. Literatúra [] CARR, P.: The valuation of American exchange options with applications to real options. Cornell University: Preprint. Available from < papers.cfm?abstract_id=403746>, 992. [2] DEMJAN, V.: Black - Scholesov model oceňovania opcií. Finančné trhy. Bratislava: Derivat s.r.o.,

160 [3] GOUNDEN, S., O HARA, J.G.: An Analytic Formula for the Price of American Exchange Options. Available from < id=403746>, [4] HULL, J.C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 3. vydanie, Prentice Hall. New York, 993. ISBN [5] HULL, J.C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 7. vydanie, Prentice Hall. New York, ISBN [6] HULL, J.C.: Options, Futures, and Other Derivatives, 8. vydanie, Prentice Hall. New York ISBN [7] CHOVANCOVÁ, B.: Finančný trh: nástroje, transakcie, inštitúcie, 3.vydanie, Bratislava: IURA EDITION, [8] KISHIMOTO, M.: On the Black Scholes Equation: Various Derivations. [online]. [citované ]. Dostupné na: < 200/lectures/OnBlackScholesEq.pdf> [9] ŠVÁBOVÁ, L.: Použitie metódy konečných diferencií na stanovenie ceny Európskych call opcií. Zborník príspevkov z 8. Medzinárodnej vedeckej konferencie Aktuárska veda v teórii a praxi, Katedra matematiky, Fakulta hospodárskej informatiky, Ekonomická univerzita v Bratislave, s Ekonóm, Bratislava, 20 [0] ŠVÁBOVÁ, L., ĎURICA, M.: Asian option pricing. Proceedings of the 6th International Scientific Conference Managing and Modeling of Financial Risks 202 VŠB-TU Ostrava, p , 202. [] ŠVÁBOVÁ, L., ĎURICA, M.: Asian option pricing using the Finite Difference Method. Proceedings of the International Scientific Conference for Doctoral Students and Young Researchers EDAMBA 202, University of Economics in Bratislava, Publishing House Ekonóm, Bratislava. p , 202. [2] ŠVÁBOVÁ, L.: Exchange option pricing using the Finite Difference Method. Proceedings of the 6th International Scientific Conference Finance and Performance of Firms in Science, Education and Practise, 203, Tomas Bata University in Zlín, Faculty of Management and Economics, Zlín. p ,

161 Abstract GLM analysis applied on claim severity of motor hull insurance portfolio: an empirical study Jiří Valecký The insured accident probability and the expected claim severity are used in order to estimate the insurance risk capital requirement within the concept SOLVENCY II. In addition to that the GLM analysis of given insurance portfolio is in accordance with this concept, determining of the appropriate tariffs is closely related to modelling solvency capital requirements on non-life underwriting risk. The paper is devoted to empirical models for claim severity for given motor hull insurance portfolio over the years We put great emphasis on the incorporating of large claims in the claim severity model and we present some potential methods for that purpose. Key words Gamma regression, generalized linear model, exponential dispersion model, motor hull insurance, claim severity, Solvency II, large claim. JEL Classification: C3, C58, G22 Introduction The Solvency II directive will take effect in near future. This concept will have significant impact on insurance companies and governmental authorities carrying supervision over the financial market. This directive determines, among others, capital requirements of insurance companies with regard to their risk profiles which enables to insurers to develop own internal models for the purpose of modelling solvency capital requirements (SCR). Except for that, the trend of differentiating premiums according to the undertaken risk has been observable in recent decades. The pure premium is usually determined in accordance with undertaken risk which implies that the annual premium paid should be determined in accordance with risk behaviour of given policyholder and other relevant rating factors. For this purpose, one can perform a tariff analysis based on the generalized linear model for claim frequency and claim severity separately (Brockman and Wright, 992) or construct a tweedie model to model pure premium directly, see (Jorgensen and Souza, 994) or (Smyth and Jorgensen, 2002). Generally, the former is preferred because the separated analysis gives more insight into how the rating factors affect the pure premium, see (Ohlsson and Johansson, 200) for more details. This is in accordance with Solvency II concept because the GLM model is appropriate methodology for modelling insurance risk and consequently capital requirements on non-life underwriting risk. The paper is devoted to the GLM analysis of motor-hull insurance portfolio generally but the main attention is paid to the claim severity analysis. The goal of the paper is to estimate an empirical models for claim severity and to propose the appropriate way how to incorporate the large claims. In the second section, we describe GLM model generally and the GLM model based on gamma distribution which is intended for modelling of claim severity is derived in section 3. The next section is devoted to the estimation of empirical claim severity Ing. Jiří Valecký, Ph.D., VŠB-TU Ostrava, Faculty of Economics, Department of Finance, Sokolská tř. 33, 70 2, jiri.valecky@vsb.cz. This paper was solved within the project P403/2/P692 Managing and modelling of insurance risks within Solvency II and project CZ..07/2.3.00/

162 models for motor hull insurance portfolio over the year and appropriate conclusion are drawn. The last section concludes the paper. 2 GLM model The key concept of all GLM model is the general exponential dispersion model with frequency function in the form of b y f y;, exp c y,, () a where y is the response, is the canonical (natural) parameter or link function, b is the cumulant, is the dispersion parameter and c y, is normalization term guaranteeing that the probability function sums to unity. The choice of b and determines the actual probability function and GLM model. If the probability distribution of random variable can be expressed in the form of(), we say that it is a member of exponential family. b is assumed twice continuously differentiable with invertible first derivative. The first and second derivative with respect to gives mean response and its variance, thus E y b', (2) b ' V y b'' V, (3) 2 where V is variance function, ( for normal, for Poisson and for gamma distribution for instance). Some authors specify dispersion parameter as w if they use grouped data, where w is exposure (time). Then the frequency function becomes y b f y;, exp c y,, w. (4) w Whereas we have only one parameter of interests in (), (regardless to dispersion parameter), in GLM, we assume that each observation comes from the same type of distribution but with various mean response given by individual covariates (rating factors) i and termed of systematic components i though the expression x x x β g, (5) i 0 i j ij i i where x is a rating factor of i-th policyholder, represents parameter estimates, known link function and the inverse link function is mean function i g i equality g b follows that i i xiβ. i i g is. If the holds, the link function represents canonical link function and it We now turn to the estimation of -parameters in general under assumption of grouped data. Let the individual observations y i follow the exponentially family distribution () and they are mutually independent, the log-likelihood function of β -estimates is N N β wi yii b i, ; y c yi,, wi. (6) i i 62

163 The derivative of (6) with respect to is, by the chain rule, j where i ' w y b w y derivatives into (7), we obtain i i i i i i i i, (7) j i i j, i i i i xij. Inserting these j i j i wi yi i xij, (8) i i i i i i where. Thus we get the general first order i i i i g' i Vi condition in the form of yi i wi xij 0. (9) g' V j i i i To obtain parameter estimates, one may employ two estimator methods, iteratively reweighted least squares (IRLS) based on Fisher scoring and maximum likelihood Newton- Raphson type algorithm. The dispersion parameter can be estimated by ML method solving 2 0 or by methods of moments on the basis of Pearson x X N r or deviance residuals D D N r, where r is the number of parameters (including constant). (McCullagh and Nelder, 989) or (Meng, 2004) made some numerical experiments, from which follows that the calculation based on Pearson residuals is more robust against model error and they recommend using X. Both estimator (Newton-Raphson and IRLS algorithm) gives the same results in the case of using canonical link function despite the former is based on observed information matrix (OIM) and the latter on expected information matrix (EIM). In the case of using noncanonical link, the IRLS algorithm must be amended to use OIM. 3 Model for Claim Severity The models for claim severity are mostly based on heavy tail distributions, but it is also possible to work with light tail distribution such as gamma distribution. There are several reasons for that. Firstly, the practical tariff analysis is made for small/medium claims and large claims separately and the gamma distributions should be a good approximation for the small claims. Secondly, within GLM theory, the gamma regression for modelling of individual risk can be simply derived, see (Hardin and Hilbe, 2007) for instance, and only one individual parameter is necessary to estimate (assuming invariant scale parameter for all policyholders). On the contrary in the case of Pareto distribution for example, the parameter estimation is exacting because of expressing two parameters for each policyholder. Lastly, there is a problem with estimation because of insufficient number of large claims for each policyholder which implies uncertain assumption about the individual heavy tail. Let s suppose that total claim costs of policyholder over the given period follow gamma G w, with density function distribution 63

164 ; x 0, (0) w w w x fx x x e where w is number of claims, is the shape parameter and is rate parameter (, where is the scale parameter). Since and, where is the dispersion parameter of exponential dispersion model (), then we can reparametrize (0) though w w x fx x x e into. () w We are interested in claim severity rather than in total claim costs. Setting x wy, where y is claim severity, and knowing that the sum of independent gamma distributions with the same rate parameter are gamma distributed, the total claim size is expressed wf x x and density function of claim severity is y f y wf wy x w w w w w wy w w y e w w y w w w w w wy which can be expressed in exponential form y ln ln w w wln exp w ln y ln w (3) with log-likelihood function ln ln ln, ; y y w w w ln y w w. (4) We can also derive the canonical link function here, thus y w e e wy, i i i i (2) g x β, but the beta restrictions are necessary to keep mu positive because 0 implies 0. log x β is used. Inserting inverse Therefore, the non-canonical log-link function i non-canonical function expressed by the individual rating factors exp obtain log-likelihood function for beta estimates in the form of, ; y w, ; y i i x β into (4), we yi exp xiβ xiβ ln wi wi wi ln wi (5) wi ln yi. i i 64

165 4 Claim severity analysis of empirical insurance portfolio In this section, we present several individual GLM claim severity models estimated on the data of given motor hull insurance portfolio. We used data sample encompassing characteristics of policies over the years ( 524 observations). The dependent variable is a total loss of each policyholder within each year over the period and the explanatory variables are following: vehicle age (agecar), engine power-volume ratio (kwvol), owner s age (ageman), vehicle price (price), number of citizens in a region (nocit), company car (company), gender of policyholder (gender), type of fuel (fuel) and district area (district). First of all, we present the histograms of empirical claim severity, see next figure. Figure Histogram of empirical severity (left) and histogram of empirical severity over the interval 0, (right) Source: STATA 2. The heavy tail of the distribution is obvious. On the contrary, taking auxiliary point of view on the interval 0,67.000, we can highlight rather lower density for smaller claims than for the higher ones which may support the assumption of gamma distribution for small claims if the total claims are truncated at some level of threshold value. Therefore first of all, it was necessary to evaluate the large claims in the data set and to truncate them. It is necessary to note here, that each claim must be truncated separately and then aggregated over each policyholder. The core of the issue is to determine an appropriate threshold level which was set at level of 67,000 subjectively and we defined a new variable AdjSev min size, c, where c is the threshold value for truncation, size is the original claim and AdjSev is truncated claim. After that we estimated two GLM models under assumption of gamma distribution on the original and on the truncated claims and by using the explanatory rating factors mentioned above. Since we are interested in claim severity rather than total claims size, we set the claim count as the exposure. The next table records the estimation results. sevadj/size agecar ageman Table Parameters and relativities estimates of claim severity models Truncated claims Original claims Rel. Coef. P>z Rel. Coef. P>z

THE IMPLICATIONS OF LONGEVITY FOR RISK-SHARING IN PUBLIC AND PRIVATE PENSION SCHEMES

THE IMPLICATIONS OF LONGEVITY FOR RISK-SHARING IN PUBLIC AND PRIVATE PENSION SCHEMES THE IMPLICATIONS OF LONGEVITY FOR RISK-SHARING IN PUBLIC AND PRIVATE PENSION SCHEMES Chris Daykin, UK Government Actuary Chairman, PBSS Section of IAA Helsinki, 21 May 2007 POPULATION AGEING Expectation

More information

Figure 1 Old-age dependency ratios in selected EU countries

Figure 1 Old-age dependency ratios in selected EU countries Pension reform and coverage Chris Daykin Immediate Past Chairman, Groupe Consultatif Actuariel Européen Director, NOW: Pension Trustee Ltd The demographic context The ageing of the population and the likely

More information

AWG Pension Projection Methodology Actuarial Considerations and other projects of the GC SSSC. Chris Daykin Chairman, Social Security Sub-committee

AWG Pension Projection Methodology Actuarial Considerations and other projects of the GC SSSC. Chris Daykin Chairman, Social Security Sub-committee AWG Pension Projection Methodology Actuarial Considerations and other projects of the GC SSSC Chris Daykin Chairman, Social Security Sub-committee 18 September 2013 1 Agenda Role of the Groupe Consultatif

More information

Financial Sustainability of Pension Systems in the European Union

Financial Sustainability of Pension Systems in the European Union European Research Studies, pp. 46-70 Volume XVI, Issue (3), 2013 Financial Sustainability of Pension Systems in the European Union Yılmaz Bayar 1 Abstract: Increases in life expectancy together with the

More information

REFORMING PENSION SYSTEMS: THE OECD EXPERIENCE

REFORMING PENSION SYSTEMS: THE OECD EXPERIENCE REFORMING PENSION SYSTEMS: THE OECD EXPERIENCE IX Forum Nacional de Seguro de Vida e Previdencia Privada 12 June 2018, São Paulo Jessica Mosher, Policy Analyst, Private Pensions Unit of the Financial Affairs

More information

Major Trends in Pension Reforms. Ambrogio Rinaldi Director, COVIP, Italy Chair, OECD Working Party on Private Pensions

Major Trends in Pension Reforms. Ambrogio Rinaldi Director, COVIP, Italy Chair, OECD Working Party on Private Pensions Major Trends in Pension Reforms Ambrogio Rinaldi Director, COVIP, Italy Chair, OECD Working Party on Private Pensions 6th Global Pension & Savings Conference the World Bank - Washington, DC April 2-3,

More information

DEMOGRAPHICS AND MACROECONOMICS

DEMOGRAPHICS AND MACROECONOMICS 1 UNITED KINGDOM DEMOGRAPHICS AND MACROECONOMICS Nominal GDP (EUR bn) 1 442 GDP per capita (USD) 43. 237 Population (000s) 61 412 Labour force (000s) 31 118 Employment rate 94.7 Population over 65 (%)

More information

Pension schemes in EU member states, For more information on this topic please click here

Pension schemes in EU member states, For more information on this topic please click here Pension schemes in EU member states, 2009-2015 For more information on this topic please click here Content: 1. Pension schemes in EU member states and projection coverage, 2015...2 2. Pension schemes

More information

Live Long and Prosper? Demographic Change and Europe s Pensions Crisis. Dr. Jochen Pimpertz Brussels, 10 November 2015

Live Long and Prosper? Demographic Change and Europe s Pensions Crisis. Dr. Jochen Pimpertz Brussels, 10 November 2015 Live Long and Prosper? Demographic Change and Europe s Pensions Crisis Dr. Jochen Pimpertz Brussels, 10 November 2015 Old-age-dependency ratio, EU28 45,9 49,4 50,2 39,0 27,5 31,8 2013 2020 2030 2040 2050

More information

ANALYSIS OF PENSION REFORMS IN EU MEMBER STATES

ANALYSIS OF PENSION REFORMS IN EU MEMBER STATES Annals of the University of Petroşani, Economics, 12(2), 2012, 117-126 117 ANALYSIS OF PENSION REFORMS IN EU MEMBER STATES ELENA LUCIA CROITORU * ABSTRACT: The demographic situation in the European Union

More information

SELECTED MAJOR SOCIAL SECURITY PENSION REFORMS IN EUROPE, Source: ISSA Databases

SELECTED MAJOR SOCIAL SECURITY PENSION REFORMS IN EUROPE, Source: ISSA Databases SELECTED MAJOR SOCIAL SECURITY PENSION REFORMS IN EUROPE, 1995-2014 Source: ISSA Databases COUNTRY AREA YR SUMMARY OBJECTIVE POSSIBLE EVALUATION CRITERIA* United Kingdom Pensions 2014 Replacing public

More information

TREVOR LLANWARNE GOVERNMENT ACTUARY UNITED KINGDOM

TREVOR LLANWARNE GOVERNMENT ACTUARY UNITED KINGDOM TREVOR LLANWARNE GOVERNMENT ACTUARY UNITED KINGDOM May 2012 ABOUT ME MORTALITY SOLVENCY II CURRENT ISSUES FOR UK ACTUARIES NEW STRATEGY FOR UK ACTUARIAL PROFESSION ABOUT ME UK Government Actuary since

More information

FIAR PRIVATE PENSIONS Conference Poiana-Brasov, 24 May 2017

FIAR PRIVATE PENSIONS Conference Poiana-Brasov, 24 May 2017 Pensions in Europe A personal perspective on some important developments by Falco Valkenburg Independent Actuary Chairperson Pensions Committee of the Actuarial Association of Europe Member of the Occupational

More information

Securing sustainable and adequate social protection in the EU

Securing sustainable and adequate social protection in the EU Securing sustainable and adequate social protection in the EU Session on Social Protection & Security IFA 12th Global Conference on Ageing 11 June 2014, HICC Hyderabad India Dr Lieve Fransen European Commission

More information

MMGPI 2016 Outcomes. Dr David Knox Senior Partner, Mercer

MMGPI 2016 Outcomes. Dr David Knox Senior Partner, Mercer Editions 2016 Top 3 Rankings MMGPI 2016 Outcomes Dr David Knox Senior Partner, Mercer Every retirement system is different! Insurance Private Public Pensions DC Indexation Assets RETIREMENT INCOME SYSTEMS

More information

Finally arriving? Pension Reforms in Europe

Finally arriving? Pension Reforms in Europe Finally arriving? Pension Reforms in Europe Chris de Neubourg Tokyo 2010 Finally arriving? Pension Reforms in Europe Chris de Neubourg Innocenti Research Centre, Unicef, Florence October 2010 Drivers

More information

Long Term Reform Agenda International Perspective

Long Term Reform Agenda International Perspective Long Term Reform Agenda International Perspective Asta Zviniene Sr. Social Protection Specialist Human Development Department Europe and Central Asia Region World Bank October 28 th, 2010 We will look

More information

EU Pension Trends. Matti Leppälä, Secretary General / CEO PensionsEurope 16 October 2014 Rovinj, Croatia

EU Pension Trends. Matti Leppälä, Secretary General / CEO PensionsEurope 16 October 2014 Rovinj, Croatia EU Pension Trends Matti Leppälä, Secretary General / CEO PensionsEurope 16 October 2014 Rovinj, Croatia 1 Lähde: World Bank 2 Pension debt big (implicit debt, % of GDP, 2006) Source:Müller, Raffelhüschen

More information

EFRP CONVENES VERY FIRST MEETING OF CEEC FORUM IN BRATISLAVA

EFRP CONVENES VERY FIRST MEETING OF CEEC FORUM IN BRATISLAVA 7 MARCH 2007 PRESS STATEMENT EFRP CONVENES VERY FIRST MEETING OF CEEC FORUM IN BRATISLAVA Hosted by the Slovakian Association of Pension Funds Management Companies, the European Federation for Retirement

More information

The Danish DC Pensions - Beauties and Challenges

The Danish DC Pensions - Beauties and Challenges The Danish DC Pensions - Beauties and Challenges The Association of Chilean Pension Funds - AAFP Conference March 27 2018 Henning Hansen Diclaimer: All content and views in this presentation represent

More information

In The Public Interest

In The Public Interest Article from: In The Public Interest January 2012 Issue 5 Report on the PBSS Colloquium By Doug Andrews The Pension Benefits and Social Security Section of the International Actuarial Association (IAA)

More information

Corrigendum. OECD Pensions Outlook 2012 DOI: ISBN (print) ISBN (PDF) OECD 2012

Corrigendum. OECD Pensions Outlook 2012 DOI:   ISBN (print) ISBN (PDF) OECD 2012 OECD Pensions Outlook 2012 DOI: http://dx.doi.org/9789264169401-en ISBN 978-92-64-16939-5 (print) ISBN 978-92-64-16940-1 (PDF) OECD 2012 Corrigendum Page 21: Figure 1.1. Average annual real net investment

More information

Pension Fund Investment and Regulation - An International Perspective and Implications for China s Pension System

Pension Fund Investment and Regulation - An International Perspective and Implications for China s Pension System Pension Fund Investment and Regulation - An International Perspective and Implications for China s Pension System Yu-Wei Hu, Fiona Stewart and Juan Yermo Financial Affairs Division OECD, Paris OECD/IOPS

More information

The Canadian Pension System

The Canadian Pension System The Canadian Pension System Edward Tamagno Policy Associate Caledon Institute of Social Policy Ottawa, Canada General Assembly of the Japan Pension Research Council Tokyo, 8-98 9 September 2005 Outline

More information

COVERAGE OF PRIVATE PENSION SYSTEMS AND MAIN TRENDS IN THE PENSIONS INDUSTRY IN THE OECD

COVERAGE OF PRIVATE PENSION SYSTEMS AND MAIN TRENDS IN THE PENSIONS INDUSTRY IN THE OECD COVERAGE OF PRIVATE PENSION SYSTEMS AND MAIN TRENDS IN THE PENSIONS INDUSTRY IN THE OECD Fafo Pension Forum Oslo, 16 November 2012 Stéphanie Payet OECD Financial Affairs Division Structure of the Presentation

More information

Modernising pensions: What policy directions? What choices?

Modernising pensions: What policy directions? What choices? Modernising pensions: What policy directions? What choices? Nicholas Barr London School of Economics http://econ.lse.ac.uk/staff/nb Social Security Conference 2011 Public Pension Funds in Perspective.

More information

Sustainability and Adequacy of Social Security in the Next Quarter Century:

Sustainability and Adequacy of Social Security in the Next Quarter Century: Sustainability and Adequacy of Social Security in the Next Quarter Century: Balancing future pensions adequacy and sustainability while facing demographic change Krzysztof Hagemejer (Author) John Woodall

More information

PENSIONS IN OECD COUNTRIES: INDICATORS AND DEVELOPMENTS

PENSIONS IN OECD COUNTRIES: INDICATORS AND DEVELOPMENTS PENSIONS IN OECD COUNTRIES: INDICATORS AND DEVELOPMENTS Marius Lüske Directorate for Employment, Labour and Social Affairs, OECD Lisbon, 28.09.2018 Marius.LUSKE@oecd.org www.oecd.org/els OUTLINE Talk based

More information

COVER NOTE The Employment Committee Permanent Representatives Committee (Part I) / Council EPSCO Employment Performance Monitor - Endorsement

COVER NOTE The Employment Committee Permanent Representatives Committee (Part I) / Council EPSCO Employment Performance Monitor - Endorsement COUNCIL OF THE EUROPEAN UNION Brussels, 15 June 2011 10666/1/11 REV 1 SOC 442 ECOFIN 288 EDUC 107 COVER NOTE from: to: Subject: The Employment Committee Permanent Representatives Committee (Part I) / Council

More information

Challanges of the EU-12

Challanges of the EU-12 DC issues arising from the IORP Directive Challanges of the EU-12 Dr. Judit Zolnay Hungarian Association of Pension Funds STABILITAS CEIOPS Conference Frankfurt, 20.11.2007 1 EU Enlargement Brings Growing

More information

Burden of Taxation: International Comparisons

Burden of Taxation: International Comparisons Burden of Taxation: International Comparisons Standard Note: SN/EP/3235 Last updated: 15 October 2008 Author: Bryn Morgan Economic Policy & Statistics Section This note presents data comparing the national

More information

Multi-pillar Pension Systems: Lessons from Central Europe. Heinz P. Rudolph, World Bank Will Price, World Bank Brussels, Belgium June 25-26, 2012

Multi-pillar Pension Systems: Lessons from Central Europe. Heinz P. Rudolph, World Bank Will Price, World Bank Brussels, Belgium June 25-26, 2012 Multi-pillar Pension Systems: Lessons from Central Europe Heinz P. Rudolph, World Bank Will Price, World Bank Brussels, Belgium June 25-26, 2012 Overview of the Presentation Initial expectations The multi-pillar

More information

Decumulation debate. New Zealand Society of Actuaries Financial Services Forum 16 November 2015

Decumulation debate. New Zealand Society of Actuaries Financial Services Forum 16 November 2015 Decumulation debate New Zealand Society of Actuaries Financial Services Forum 16 November 2015 1 Contents Recap of our conclusions International developments and relevance Importance of advice Rules of

More information

THE GROSS AND NET RATES OF REVENUES REPLACEMENT WITHIN THE RETIRING PENSIONS

THE GROSS AND NET RATES OF REVENUES REPLACEMENT WITHIN THE RETIRING PENSIONS THE GROSS AND NET RATES OF REVENUES REPLACEMENT WITHIN THE RETIRING PENSIONS Tudor Colomeischi Department of Computer Science, Stefan cel Mare University of Suceava, ROMANIA. tudorcolomeischi@yahoo.ro

More information

17 OCTOBER Dr David Knox Senior Partner, Mercer

17 OCTOBER Dr David Knox Senior Partner, Mercer 17 OCTOBER 2011 Dr David Knox Senior Partner, Mercer Can different systems be compared? Variety of pension systems is considerable Mix of public and private provisions OECD: classifying pension systems

More information

Weighting issues in EU-LFS

Weighting issues in EU-LFS Weighting issues in EU-LFS Carlo Lucarelli, Frank Espelage, Eurostat LFS Workshop May 2018, Reykjavik carlo.lucarelli@ec.europa.eu, frank.espelage@ec.europa.eu 1 1. Introduction The current legislation

More information

Annuities: a private solution to longevity risk

Annuities: a private solution to longevity risk Annuities: a private solution to longevity risk Product & Knowledge Fair 2007 Rüschlikon 30 March 2007 Thomas Hess Head of Economic Research & Consulting Veronica Scotti Client Solutions Need for private

More information

Dopady prístupu nových členských krajín k EU na vývoj niektorých makroekonomických ukazovateľov

Dopady prístupu nových členských krajín k EU na vývoj niektorých makroekonomických ukazovateľov Dopady prístupu nových členských krajín k EU na vývoj niektorých makroekonomických ukazovateľov Impacts of EU- Accession of New Member States on development of some macroeconomic indices FEKETE Pál Abstract

More information

Social Protection and Social Inclusion in Europe Key facts and figures

Social Protection and Social Inclusion in Europe Key facts and figures MEMO/08/625 Brussels, 16 October 2008 Social Protection and Social Inclusion in Europe Key facts and figures What is the report and what are the main highlights? The European Commission today published

More information

FDI development during the crisis from 2008 till now

FDI development during the crisis from 2008 till now VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí 8. -. září FDI development during the crisis from 8 till now Michal Fabuš, Miroslav Kohuťár Abstract Investments represent an important resource of country

More information

Remodelling Pillars and Tiers:

Remodelling Pillars and Tiers: DEPARTMENT OF SOCIAL POLICY AND INTERVENTION Bernhard Ebbinghaus Professor of Social Policy, Department of Social Policy & Intervention Senior Research Fellow, Green Templeton College, University of Oxford

More information

Planning for Retirement with Reasonable Targets FCAC-OECD Conference on Financial Literacy

Planning for Retirement with Reasonable Targets FCAC-OECD Conference on Financial Literacy Planning for Retirement with Reasonable Targets FCAC-OECD Conference on Financial Literacy Jack M. Mintz Palmer Chair of Public Policy School of Public Policy The University of Calgary What is the Problem?

More information

Australia s super system stacks up well internationally. Ross Clare, Director of Research ASFA Research and Resource Centre

Australia s super system stacks up well internationally. Ross Clare, Director of Research ASFA Research and Resource Centre Australia s super system stacks up well internationally Ross Clare, Director of Research ASFA Research and Resource Centre January 2019 The Association of Superannuation Funds of Australia Limited (ASFA)

More information

OECD/ IOPS Global Forum On Private Pensions. Reforming Private DB Plans. Istanbul, Nov 2006 Brigitte Miksa, Head of AGI International Pensions

OECD/ IOPS Global Forum On Private Pensions. Reforming Private DB Plans. Istanbul, Nov 2006 Brigitte Miksa, Head of AGI International Pensions OECD/ IOPS Global Forum On Private Pensions Reforming Private DB Plans Istanbul, Nov 2006 Brigitte Miksa, Head of AGI International Pensions Private pensions of key importance in pension reforms Copyright

More information

Finnish pension (investment) system. 28th Ljubljana Stock Exchange Conference May 2011 Mika Vidlund

Finnish pension (investment) system. 28th Ljubljana Stock Exchange Conference May 2011 Mika Vidlund Finnish pension (investment) system 28th Ljubljana Stock Exchange Conference May 2011 Mika Vidlund 2 Contents Overall picture of the Finnish pension system EU-Commission s guidelines for how to make pension

More information

Introduction. Contribution ID: 8e5ffe4e-93bb-41d0-83ce-9178d123b00b Date: 04/10/ :35:08

Introduction. Contribution ID: 8e5ffe4e-93bb-41d0-83ce-9178d123b00b Date: 04/10/ :35:08 Contribution ID: 8e5ffe4e-93bb-41d0-83ce-9178d123b00b Date: 04/10/2018 11:35:08 Online survey on the integration of sustainability risks and sustainability factors in the delegated acts under the Insurance

More information

Canada s old-age pension system in an international perspective

Canada s old-age pension system in an international perspective CANADA S PENSION SYSTEM IN AN INTERNATIONAL PERSPECTIVE RETIREMENT INCOME AND MIDDLE-INCOME CANADIANS QUEEN S INTERNATIONAL INSTITUTE ON SOCIAL POLICY, 20 AUGUST 2014 Hervé Boulhol Senior Economist (Pensions

More information

The role of public pensions and reform options

The role of public pensions and reform options The role of public pensions and reform options Nicholas Barr London School of Economics http://econ.lse.ac.uk/staff/nb Fiscal Policy for Long-term Growth and Sustainability in Aging Societies: Achieving

More information

The development of the actuarial profession in emerging economies

The development of the actuarial profession in emerging economies The development of the actuarial profession in emerging economies Actuarial Conference for Insurance Supervisors, Ohrid, June 2014 Gordana Letica Member of the Board Croatian Financial Services Supervisory

More information

Fiscal sustainability challenges in Romania

Fiscal sustainability challenges in Romania Preliminary Draft For discussion only Fiscal sustainability challenges in Romania Bucharest, May 10, 2011 Ionut Dumitru Anca Paliu Agenda 1. Main fiscal sustainability challenges 2. Tax collection issues

More information

Neistota pri oceňovaní technických rezerv poisťovní

Neistota pri oceňovaní technických rezerv poisťovní Neistota pri oceňovaní technických rezerv poisťovní Peter Marko 1 Abstrakt Technické rezervy sú dôležité z hľadiska schopnosti poisťovne plniť svoje záväzky vyplývajúce z poistných zmlúv v budúcnosti.

More information

Aggregation of periods for unemployment benefits. Report on U1 Portable Documents for mobile workers Reference year 2016

Aggregation of periods for unemployment benefits. Report on U1 Portable Documents for mobile workers Reference year 2016 Aggregation of periods for unemployment benefits Report on U1 Portable Documents for mobile workers Reference year 2016 Frederic De Wispelaere & Jozef Pacolet - HIVA KU Leuven June 2017 EUROPEAN COMMISSION

More information

HUNGARY 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM

HUNGARY 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM HUNGARY 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM Since the 1997 pension reform the mandatory public pension system consists of two tiers. The first tier is a publicly managed, pay-as-you-go financed,

More information

POLAND 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM

POLAND 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM POLAND 1 MAIN CHARACTERISTICS OF THE PENSIONS SYSTEM Poland has introduced significant reforms of its pension system since 1999. The statutory pension system, fully implemented in 1999 consists of two

More information

The Skillsnet project on Medium-term forecasts of occupational skill needs in Europe: Replacement demand and cohort change analysis

The Skillsnet project on Medium-term forecasts of occupational skill needs in Europe: Replacement demand and cohort change analysis The Skillsnet project on Medium-term forecasts of occupational skill needs in Europe: Replacement demand and cohort change analysis Paper presented at the Workshop on Medium-term forecast of occupational

More information

A PRESENTATION ON THE CHALLENGES FACING THE ACTUARIAL PROFESSION IN AFRICA - THE CASE OF GHANA

A PRESENTATION ON THE CHALLENGES FACING THE ACTUARIAL PROFESSION IN AFRICA - THE CASE OF GHANA A PRESENTATION ON THE CHALLENGES FACING THE ACTUARIAL PROFESSION IN AFRICA - THE CASE OF GHANA OUTLINE OF PRESENTATION 1. INTRODUCTION 2. GHANA THE COUNTRY CHARACTERISTICS 3. STATE OF THE ACTUARIAL PROFESSION

More information

Ways to increase employment

Ways to increase employment Ways to increase employment Iceland Luxembourg Spain Canada Italy Norway Denmark Germany Portugal Ireland Japan Belgium Switzerland Austria Slovenia United States New Zealand Finland France Netherlands

More information

Pensions Core Course Mark Dorfman The World Bank March 2, 2014

Pensions Core Course Mark Dorfman The World Bank March 2, 2014 Pensions Diagnostic Assessment and Conceptual Framework Pensions Core Course Mark Dorfman The World Bank March 2, 2014 Organization 1. Diagnostic assessment process 2. Conceptual framework design typology

More information

IDENTIFICATION OF CAUSES OF DIFFERENCES IN STATUTORY AND EFFECTIVE RATES OF CORPORATE TAXES

IDENTIFICATION OF CAUSES OF DIFFERENCES IN STATUTORY AND EFFECTIVE RATES OF CORPORATE TAXES ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS Volume LX 52 Number 2, 2012 IDENTIFICATION OF CAUSES OF DIFFERENCES IN STATUTORY AND EFFECTIVE RATES OF CORPORATE TAXES J. Široký,

More information

Pros and cons of the Swedish pension system in an international perspective: Adjusting the system but keeping the faith

Pros and cons of the Swedish pension system in an international perspective: Adjusting the system but keeping the faith Pros and cons of the Swedish pension system in an international perspective: Adjusting the system but keeping the faith Nicholas Barr London School of Economics http://econ.lse.ac.uk/staff/nb Seminar at

More information

Barbora Drugdová. University of Economics in Bratislava, Bratislava, Slovak Republic

Barbora Drugdová. University of Economics in Bratislava, Bratislava, Slovak Republic Management Studies, Mar.-Apr. 2019, Vol. 7, No. 2, 157-161 doi: 10.17265/2328-2185/2019.02.008 D DAVID PUBLISHING On the Issue of Commercial Insurance Market as in the Slovak Republic Barbora Drugdová

More information

3 Labour Costs. Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Indicator 3.1a

3 Labour Costs. Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Indicator 3.1a 3 Labour Costs Indicator 3.1a Indicator 3.1b Indicator 3.1c Indicator 3.2a Indicator 3.2b Indicator 3.3 Indicator 3.4 Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Cost of Employing Labour

More information

Eurofound in-house paper: Part-time work in Europe Companies and workers perspective

Eurofound in-house paper: Part-time work in Europe Companies and workers perspective Eurofound in-house paper: Part-time work in Europe Companies and workers perspective Presented by: Eszter Sandor Research Officer, Surveys and Trends 26/03/2010 1 Objectives Examine the patterns of part-time

More information

Retirement saving and tax incentives

Retirement saving and tax incentives Presentation to Annual Conference of the Czech Economic Society 2006, November 25 th 2006 Retirement saving and tax incentives Lessons from the UK experience Richard Disney University of Nottingham & Institute

More information

ADJUSTMENT OF THE PENSION SYSTEM IN SLOVAKIA

ADJUSTMENT OF THE PENSION SYSTEM IN SLOVAKIA ADJUSTMENT OF THE PENSION SYSTEM IN SLOVAKIA Marek Andrejkovič Zuzana Hajduova Matej Hudák Abstract This article is dedicated to reform in Slovakia. We focus on the issue of allocation of funds in PAYG

More information

Pension Diagnostic Assessment Pensions Core Course April 27, Mark C. Dorfman Pensions Team SPL Global Practice The World Bank

Pension Diagnostic Assessment Pensions Core Course April 27, Mark C. Dorfman Pensions Team SPL Global Practice The World Bank Pension Diagnostic Assessment Pensions Core Course April 27, 2015 Mark C. Dorfman Pensions Team SPL Global Practice The World Bank Organization I. Pension Diagnostic Assessment A. Evaluation Process &

More information

Quality of Life of Public Servants in European Comparison

Quality of Life of Public Servants in European Comparison Quality of Life of Public Servants in European Comparison Franz Rothenbacher, Mannheim 7th ISQOLS Conference, Grahamstown, South Africa, 2006 1. The research question 2. The civil service and welfare production

More information

GLOBAL TRENDS IN PENSION POLICIES AND REGULATIONS

GLOBAL TRENDS IN PENSION POLICIES AND REGULATIONS GLOBAL TRENDS IN PENSION POLICIES AND REGULATIONS Pablo Antolin Principal economist and Head OECD Private Pensions Unit, Deputy Head OECD Financial Affairs Division Structure of the talk 1. A global snapshot

More information

THE EUROPEAN COMMISSION S GREEN PAPER ON PENSIONS

THE EUROPEAN COMMISSION S GREEN PAPER ON PENSIONS S T R I C T L Y P R I V A T E A N D C O N F I D E N T I A L THE EUROPEAN COMMISSION S GREEN PAPER ON PENSIONS Sheenagh Gordon-Hart Industry and Client Research Executive J.P. Morgan Worldwide Securities

More information

Fiscal Projections in OECD Countries: What is produced and what lessons can be learned?

Fiscal Projections in OECD Countries: What is produced and what lessons can be learned? Fiscal Projections in OECD Countries: What is produced and what lessons can be learned? James Sheppard Policy Analyst, Public Governance and Territorial Development Directorate Joint OECD-IPSASB Seminar

More information

The Selected Aspects of Tax Policy in the Field of Indirect Taxes in the Czech Republic and in the International Scale

The Selected Aspects of Tax Policy in the Field of Indirect Taxes in the Czech Republic and in the International Scale The Selected Aspects of Tax Policy in the Field of Indirect Taxes in the Czech Republic and in the International Scale LIBUŠE SVOBODOVÁ, EVA HAMPLOVÁ, KATEŘINA PROVAZNÍKOVÁ Department of Economics University

More information

MPF & Retirement Protection System in Hong Kong A personal view

MPF & Retirement Protection System in Hong Kong A personal view MPF & Retirement Protection System in Hong Kong A personal view Darren McShane Chief Regulation & Policy Officer and Executive Director Mandatory Provident Fund Schemes Authority 21 March 2017 Agenda I.

More information

Restoring Public Finances: Fiscal and Institutional Reform Strategies

Restoring Public Finances: Fiscal and Institutional Reform Strategies Restoring Public Finances: Fiscal and Institutional Reform Strategies Ronnie Downes Deputy Head Budgeting & Public Expenditures Rio de Janeiro 19-20 October 2015 Studies by OECD Senior Budget Officials

More information

Growth, competitiveness and jobs: priorities for the European Semester 2013 Presentation of J.M. Barroso,

Growth, competitiveness and jobs: priorities for the European Semester 2013 Presentation of J.M. Barroso, Growth, competitiveness and jobs: priorities for the European Semester 213 Presentation of J.M. Barroso, President of the European Commission, to the European Council of 14-1 March 213 Economic recovery

More information

The entitlement to and use of sickness benefits by persons residing in a Member State other than the competent Member State

The entitlement to and use of sickness benefits by persons residing in a Member State other than the competent Member State The entitlement to and use of sickness benefits by persons residing in a Member State other than the competent Member State Report on S1 portable documents Reference year 2015 Jozef Pacolet & Frederic

More information

OECD Report Shows Tax Burdens Falling in Many OECD Countries

OECD Report Shows Tax Burdens Falling in Many OECD Countries OECD Centres Germany Berlin (49-30) 288 8353 Japan Tokyo (81-3) 5532-0021 Mexico Mexico (52-55) 5281 3810 United States Washington (1-202) 785 6323 AUSTRALIA AUSTRIA BELGIUM CANADA CZECH REPUBLIC DENMARK

More information

The Government Debt Committee in Austria

The Government Debt Committee in Austria The Government Debt Committee in Austria Günther Chaloupek, Austrian Chamber of Labour, Vice president of the Austrian Government Debt Committee Contribution to the workshop Fiscal Policy Councils: Why

More information

Pension reforms. Early birds and laggards

Pension reforms. Early birds and laggards Pension reforms Early birds and laggards Reforming pensions has loomed large over the policy agenda of OECD countries. It is often said in the United States and elsewhere that reforming public pensions

More information

3 Labour Costs. Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Indicator 3.1a

3 Labour Costs. Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Indicator 3.1a 3 Labour Costs Indicator 3.1a Indicator 3.1b Indicator 3.1c Indicator 3.2a Indicator 3.2b Indicator 3.3 Indicator 3.4 Cost of Employing Labour Across Advanced EU Economies (EU15) Cost of Employing Labour

More information

Pension Reforms Revisited Asta Zviniene Sr. Social Protection Specialist Human Development Department Europe and Central Asia Region World Bank

Pension Reforms Revisited Asta Zviniene Sr. Social Protection Specialist Human Development Department Europe and Central Asia Region World Bank Pension Reforms Revisited Asta Zviniene Sr. Social Protection Specialist Human Development Department Europe and Central Asia Region World Bank All Countries in the Europe and Central Asia Region Have

More information

EUROPA - Press Releases - Taxation trends in the European Union EU27 tax...of GDP in 2008 Steady decline in top corporate income tax rate since 2000

EUROPA - Press Releases - Taxation trends in the European Union EU27 tax...of GDP in 2008 Steady decline in top corporate income tax rate since 2000 DG TAXUD STAT/10/95 28 June 2010 Taxation trends in the European Union EU27 tax ratio fell to 39.3% of GDP in 2008 Steady decline in top corporate income tax rate since 2000 The overall tax-to-gdp ratio1

More information

PROGRESS TOWARDS THE LISBON OBJECTIVES 2010 IN EDUCATION AND TRAINING

PROGRESS TOWARDS THE LISBON OBJECTIVES 2010 IN EDUCATION AND TRAINING PROGRESS TOWARDS THE LISBON OBJECTIVES IN EDUCATION AND TRAINING In 7, reaching the benchmarks for continues to pose a serious challenge for education and training systems in Europe, except for the goal

More information

Taxation trends in the European Union Further increase in VAT rates in 2012 Corporate and top personal income tax rates inch up after long decline

Taxation trends in the European Union Further increase in VAT rates in 2012 Corporate and top personal income tax rates inch up after long decline STAT/12/77 21 May 2012 Taxation trends in the European Union Further increase in VAT rates in 2012 Corporate and top personal income tax rates inch up after long decline The average standard VAT rate 1

More information

FINANCIAL PLAN for CONSTRUCTION and EXPLOITATION PHASE

FINANCIAL PLAN for CONSTRUCTION and EXPLOITATION PHASE FINANCIAL PLAN for CONSTRUCTION and EXPLOITATION PHASE Deliverable 8S-2.2 June 2011 Editors: Bente Maegaard, Steven Krauwer Contributor: Peter Wittenburg All rights reserved by UCPH on behalf of CLARIN

More information

Valuation of Certificates of Deposit 1

Valuation of Certificates of Deposit 1 Valuation of Certificates of Deposit 1 Božena Hrvoľová Abstract: Certificates of Deposit are securities that belong to the debt, short-term securities on the money market. It follows that for their valuations

More information

Macroeconomic scenarios for skill demand and supply projections, including dealing with the recession

Macroeconomic scenarios for skill demand and supply projections, including dealing with the recession Alphametrics (AM) Alphametrics Ltd Macroeconomic scenarios for skill demand and supply projections, including dealing with the recession Paper presented at Skillsnet technical workshop on: Forecasting

More information

ScienceDirect. Economic Value Added as a measurement tool of financial performance

ScienceDirect. Economic Value Added as a measurement tool of financial performance Available online at www.sciencedirect.com ScienceDirect Procedia Economics and Finance 26 ( 2015 ) 484 489 4th World Conference on Business, Economics and Management, WCBEM Economic Value Added as a measurement

More information

Pension projections Denmark (AWG)

Pension projections Denmark (AWG) Pension projections Denmark (AWG) November 12 th, 2014 Part I: Overview of the Pension System The Danish pension system can be divided into three pillars: 1. The first pillar consists primarily of the

More information

Dealing with the New Giants

Dealing with the New Giants Dealing with the New Giants Tito Boeri, Lans Bovenberg Benoît Cœuré, Andrew Roberts ICMB International Conference 2006, Geneva, May 5 2006 1 Pension funds assets (% of GDP) Iceland Switzerland Netherlands

More information

Position Paper. The Role of the Actuary in Solvency II: Managing Financial Risks

Position Paper. The Role of the Actuary in Solvency II: Managing Financial Risks Position Paper The Role of the Actuary in Solvency II: Managing Financial Risks Working Group on the Roadmap to Solvency II, Dutch Actuarial Association Utrecht, June 8, 2011 This document has been drawn

More information

The economic and budgetary consequences of ageing populations

The economic and budgetary consequences of ageing populations The economic and budgetary consequences of ageing populations Henri Bogaert Bureau du Plan and Chairman of the Ageing Working Group Giuseppe Carone European Commission DG ECFIN Rome, 23 February 2007 Outline

More information

Retirement Incomes Australia v the Rest of the World

Retirement Incomes Australia v the Rest of the World Retirement Incomes Australia v the Rest of the World Dr David Knox Mercer This presentation has been prepared for the Actuaries Institute 2018 Financial Services Forum. The Institute Council wishes it

More information

fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky

fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky Bratislava 2008 Martin Takáč Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského v

More information

Irish Economy and Growth Legal Framework for Growth and Jobs High Level Workshop, Sofia

Irish Economy and Growth Legal Framework for Growth and Jobs High Level Workshop, Sofia Irish Economy and Growth Legal Framework for Growth and Jobs High Level Workshop, Sofia Diarmaid Smyth, Central Bank of Ireland 18 June 2015 Agenda 1 Background to Irish economic performance 2 Economic

More information

The OECD s Society at a Glance Simon Chapple OECD ELS/SPD Villa Vigoni, Italy, 9-11 th March 2011

The OECD s Society at a Glance Simon Chapple OECD ELS/SPD Villa Vigoni, Italy, 9-11 th March 2011 The OECD s Society at a Glance 2 Simon Chapple OECD ELS/SPD Villa Vigoni, Italy, 9- th March 2 Reconceptualisation for 2: Internal reasons OECD growth from 3 to 34 countries Other major economies (e.g.

More information

Definition of Public Interest Entities (PIEs) in Europe

Definition of Public Interest Entities (PIEs) in Europe Definition of Public Interest Entities (PIEs) in Europe FEE Survey October 2014 This document has been prepared by FEE to the best of its knowledge and ability to ensure that it is accurate and complete.

More information

TAX REVENUES, STATE BUDGET AND PUBLIC DEBT OF SLOVAK REPUBLIC IN RELATION TO EACH OTHER

TAX REVENUES, STATE BUDGET AND PUBLIC DEBT OF SLOVAK REPUBLIC IN RELATION TO EACH OTHER Social sciences Vadyba Journal of Management 2017, 1(30) ISSN 1648-7974 TAX REVENUES, STATE BUDGET AND PUBLIC DEBT OF SLOVAK REPUBLIC IN RELATION TO EACH OTHER Anna Schultzová University of Economics in

More information

Author: Prof. Dr. Natalia Ribberink. Professor of Foreign Trade and International Management

Author: Prof. Dr. Natalia Ribberink. Professor of Foreign Trade and International Management Author: Prof. Dr. Natalia Ribberink Professor of Foreign Trade and International Management Faculty of Business & Social Affairs / Department of Business Hamburg University of Applied Sciences Berliner

More information

Aging, the Future of Work and Sustainability of Pension System

Aging, the Future of Work and Sustainability of Pension System Aging, the Future of Work and Sustainability of Pension System WKÖ & Salzburg Global Seminar Event Dénes Kucsera Agenda Austria Vienna, Austria November 5, 2015 Introduction Increasing pressure on the

More information

Measuring Ireland s Progress

Measuring Ireland s Progress IRELAND Measuring Ireland s Progress 2004 %of Eurozone 12 Ireland %ofgdp 3%of GDP def icit limit under EM U St abilit y and Grow th Pact 6 4 2 0-2 - 4-6 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 population

More information