VREDNOTENJE OPCIJ IN APLIKACIJA METODE MONTE CARLO

Transcription

1 REPUBLIKA SLOVENIJA UNIVERZA V MARIBORU EKONOMSKO-POSLOVNA FAKULTETA MAGISTRSKO DELO VREDNOTENJE OPCIJ IN APLIKACIJA METODE MONTE CARLO Kandidatka: Katja Jager, univ. dipl. ekon., rojena leta 1978, v kraju Ljubljana. Zaposlena v Novi Ljubljanski banki d.d., Ljubljana kot samostojni komercialist na Področju poslovanja z velikimi podjetji Osrednje Slovenije. Absolventka smeri Poslovne finance in bančništvo. Tema odobrena na seji senata EPF dne z delovnim naslovom: Vrednotenje opcij in aplikacija metode Monte Carlo. Mentor: prof. dr. Draško Veselinovič.

2 1 KAZALO POVZETEK...4 ABSTRACT UVOD Opredelitev problema Namen in cilji dela ter osnovne trditve Namen Cilji Osnovne trditve Predpostavke in omejitve raziskave Uporabljene raziskovalne metode...8 OPCIJE Definicija opcije...9. Trgovanje z opcijami Oblike trgovanja z opcijami Klasifikacija opcij Nakupna opcija Prodajna opcija Cena opcije in faktorji, ki vplivajo nanjo Notranja vrednost opcije Časovna vrednost opcije Dejavniki, ki vplivajo na ceno opcije Določanje zgornjih in spodnjih mej cen delniških opcij Zgornja meja cen opcij Spodnja meja cen opcij Prodajno-nakupna pariteta VREDNOTENJE OPCIJ Določanje vrednosti delniških opcij...

3 3. Modeli vrednotenja opcij Ekonometrični modeli Verjetnostni modeli Black-Scholesov model Drevesa Model Cox Ross Rubinstein Trinomska metoda (Boyle) Model razpršenega skoka Prilagodljivi Meshov model Pristop konstantne elastičnosti variance METODE MONTE CARLO Zgodovinsko ozadje metod Monte Carlo Definiranje metod Uvodne značilnosti Bistvene komponente algoritma Monte Carlo OSNOVNI POJMI VERJETNOSTNE TEORIJE Kvantitativno modeliranje Deterministični model Stohastični model Pomembni pojmi iz verjetnostnega računa Diskretne verjetnostne porazdelitve Zvezne verjetnostne porazdelitve Najbolj pogoste oblike verjetnostnih porazdelitev Normalna porazdelitev Momenti Zakon velikih števil Centralni limitni izrek Vzorčenje Monte Carlo Načrtovanje simulacij Monte Carlo MODEL OBLIKOVANJA CEN DELNIC...53

4 3 6.1 Zvezni stohastični procesi Splošen Wienerjev proces Ito proces Brownovo gibanje Opis matematičnega modela VREDNOTENJE OPCIJ Z METODO MONTE CARLO Antitetični variati Simulacija evropske nakupne opcije Programska koda in rezultati »Spodaj in ven«opcija Programska koda in rezultati Azijska opcija Programska koda in rezultati SKLEP LITERATURA IN VIRI...75 PRILOGA.....

5 4 POVZETEK Opcije so danes eden najbolj trgovanih instrumentov na finančnih trgih. Zelo priljubljene so postale po objavi slavne Black-Scholesove enačbe v letu To je razumljivo, saj ne moremo trgovati s produktom, ki ga ne znamo ovrednotiti. Slednje je tema magistrskega dela z naslovom Vrednotenje opcij in aplikacija metode Monte Carlo, v katerem predstavljam različne načine vrednotenja opcij od začetkov vrednotenja nakupnih bonov in izpeljave Black-Scholesove enačbe do vrednotenja s pomočjo dreves. Kompleksnost opcij in drugih strukturiranih finančnih produktov, ki jih danes srečujemo na trgu, pogosto pomeni, da za njihovo vrednotenje ni analitičnih rešitev. V takšnem primeru so zelo uporabne numerične metode. V magistrskem delu s simulacijami Monte Carlo praktično prikažem vrednotenje evropske nakupne opcije,»spodaj in ven«opcije ter azijske opcije. Glavna ugotovitev je, da je metoda Monte Carlo zelo fleksibilna tehnika vrednotenja kompleksnih opcij. Posebej uporabna je za vrednotenje tistih opcij, ki nimajo analitičnih rešitev. Ključne besede: opcija, vrednotenje opcij, drevesa, metoda monte carlo, numerične simulacije. ABSTRACT Today options are one of the most traded instruments on financial markets. Most of their popularity can be attributed to the derivation of the famous Black-Scholes equation in This is understandable, since we can not trade with a product we do not know how to price. The latter is also the topic of this master thesis entitled»option pricing and application of the Monte Carlo method«, where I discuss different methods of option pricing starting with the beginning of the pricing of warrants, moving on to the derivation of the Black-Scholes equation and concluding with the trees pricing methods. The complexity of options and other structured financial products that are nowadays traded sometimes implies that there is no analytical solutions behind. In these cases the usefulness of numerical methods is obvious. I use the Monte Carlo simulations to present three examples of how to price: the European call option, the»down-and-out«option and the Asian option. I can conclude that the Monte Carlo simulations are a very flexible option pricing method, particularly useful for pricing options that have no analytical solutions. Key words: option, option pricing, trees, Monte Carlo method, numerical simulations.

6 5 1 UVOD 1.1 Opredelitev problema Izvedeni finančni instrumenti so v zadnjem obdobju postali zelo priljubljeno orodje v finančni industriji. Od prvih začetkov v srednjem veku, ko so se pridelovalci in trgovci vnaprej dogovarjali o cenah poljščin, ki so jih pridelovalci kasneje iztržili za svoj pridelek (prve nestandardizirane terminske pogodbe), so doživeli zelo velik napredek. Z razvojem kapitalskih trgov in potreb investitorjev so se sočasno razvijali tudi izvedeni finančni instrumenti, katerih struktura in predvsem vrednotenje je tako postalo zelo kompleksno. Nabor instrumentov, ki je danes na voljo investitorjem, zajema opcije, standardizirane terminske pogodbe, nestandardizirane terminske pogodbe in posle z obveznim povratnim nakupom, če naštejem le nekaj najbolj razširjenih instrumentov. V magistrskem delu bom opredelila problem vrednotenja delniških opcij. Razvoj in današnja razširjenost uporabe delniških opcij temelji na podmeni, da te instrumente tudi ustrezno vrednotimo, saj v nasprotnem primeru njihova uporaba postane brezpredmetna. Ključno vlogo na tem področju sta v začetku sedemdesetih let prejšnjega stoletja odigrala Myron Scholes in Robert Merton, ki sta kasneje sodelovala tudi s Fischer Blackom. Skupaj so odkrili model oblikovanja cen delnic in izpeljali enačbo, ki jo danes poznamo kot Black-Scholesovo enačbo vrednotenja opcij. Sodobni izvedeni finančni instrumenti, kot so nekateri strukturirani proizvodi, postajajo vedno bolj kompleksni, zato njihovo vrednotenje z analitičnimi enačbami (integracijo) ni več mogoče. Tu v ospredje prihajajo tako imenovane numerične metode, med katere spada tudi metoda Monte Carlo. V magistrskem delu bom predstavila več načinov analitičnega vrednotenja opcij (poudarek bo na Black-Scholesovi enačbi). Empirični del naloge bo zajemal vrednotenje treh različnih opcij (evropske opcije,»spodaj in ven«opcije in azijske opcije) prek simulacij Monte Carlo. 1. Namen in cilji dela ter osnovne trditve Kot že omenjeno, bo magistrsko delo razdeljeno v dva sklopa teoretični opis različnih modelov vrednotenja ter empirični oziroma aplikativni del. Delo bom začela s kratkim opisom splošnih značilnosti opcij, ki mu bo sledila deskriptivna predstavitev modelov vrednotenja. Pri predstavitvi modelov bom vsebinsko razlikovala med vrednotenjem s pomočjo dreves ter analitičnim vrednotenjem z izpeljanimi enačbami. V tem delu bom predstavila tudi ključne predpostavke vseh obravnavanih modelov in tako izpostavila njegovo praktično uporabnost. V empiričnem delu bom razložila temeljne pojme iz statistike in stohastične algebre, ki so ključni za razumevanje aplikativnega dela magistrskega dela. Logično nadaljevanje bo precej

7 6 podrobna izpeljava modela oblikovanja cen delnic, ki je teoretična podlaga za kasnejše izvajanje simulacij in samo vrednotenje opcij. Model oblikovanja cen delnic, ki ga bom uporabila, predpostavlja gibanje cen delnic po matematičnih zakonitostih Brownovega gibanja. Največjo dodano vrednost samega magistrskega dela bo predstavljajo poglavje o simulacijah Monte Carlo, ki bodo podrobno predstavljene s programskimi kodami. Rezultati, razlaga rezultatov in glavne ugotovitve bodo vsebinsko zaključili delo Namen Namen magistrskega dela je predstaviti poglavitne značilnosti izvedenih finančnih instrumentov opcij, predvsem v luči njihovega vrednotenja. Predstavila bom različne modele vrednotenja opcij in v empirični aplikaciji pokazala uporabno vrednost metod Monte Carlo. 1.. Cilji Natančnejši teoretični in empirični cilji so predstavljeni v nadaljevanju. Cilji v teoretičnem delu: opis osnovnih značilnosti izvedenih finančnih instrumentov in razlaga osnovnih pojmov s poudarkom na delniških opcijah; pregled relevantne literature s področja vrednotenja opcij; pregled predpostavk posameznih modelov vrednotenja opcij; opis in proučitev statističnih in matematičnih zakonitosti, potrebnih za izvedbo simulacij Monte Carlo; izpeljava matematičnega modela oblikovanja cen delnic, ki bo osnova za simulacije. Cilji v empiričnem delu: zapis programske kode v programu Matlab za vrednotenje opcij z metodo Monte Carlo; vrednotenje evropske nakupne opcije,»spodaj in ven«opcije ter azijske opcije z metodo Monte Carlo; preverjanje ustreznosti vrednotenja primerjava z analitično izračunanimi cenami; izboljšava učinkovitosti vrednotenja z uporabo metode antitetičnih variatov Osnovne trditve V magistrskem delu preverjam pet hipotez. Dve sodita v teoretični del, tri pa sodijo v empirični del.

8 7 V teoretični del sodita hipotezi: H1: Najbolj splošno uporabljena metoda vrednotenja opcij je Black-Scholesova enačba. H: Za vrednotenje ameriških opcij (oziroma nasploh opcij, katerih vrednost je odvisna od celotne poti cene osnovnega instrumenta v zadevnem obdobju) je bolj primerna metoda dreves. V empirični del sodijo hipoteze: H3: Metoda Monte Carlo je uporabna in praktična metoda za vrednotenje opcij. H4: Rezultati vrednotenja z metodo Monte Carlo so primerljivi s primerljivimi analitičnimi rezultati (v primerih opcij, za katere obstajajo analitične rešitve). H5: S pomočjo posebnih metod (antitetični variati) lahko zmanjšamo variabilnost rezultatov in posledično tudi zahtevani procesni čas in moč računalnika. 1.3 Predpostavke in omejitve raziskave V tem delu se pri opredelitvi predpostavk in omejitev raziskave osredotočam predvsem na empirični del magistrskega dela, medtem ko so predpostavke različnih modelov, ki jih obravnavam v teoretičnem delu, predstavljene v ustreznih poglavjih. Ključne predpostavke pri vrednotenju opcij s pomočjo simulacij Monte Carlo zajemajo predpostavke, ki se nanašajo na simulacijo oblikovanja cene osnovnega instrumenta. Za potrebe magistrskega dela tako predpostavljam, da se cena osnovnega instrumenta oblikuje v skladu z Brownovim gibanjem, ki je splošno uporabljen model oblikovanja cene osnovnega instrumenta. Tako v tem pogledu sledim klasični finančni teoriji. Brownovo gibanje temelji na Markovi lastnosti, ki opredeljuje stohastičen proces, za katerega velja, da so za napovedovanje prihodnjih vrednosti relevantne le sedanje vrednosti spremenljivk. To je skladno s šibko obliko tržne učinkovitosti, ki opredeljuje, da tržne cene delnic odražajo vse relevantne informacije, ki so do tistega trenutka razpoložljive. Iz tega izhaja tudi ena od omejitev raziskave, saj na ta način zanikam uporabnost tehnične analize kot enega od dobičkonosnih orodij za trgovanje, tudi če v strokovni literaturi obstajajo nepojasnjene tržne anomalije ena od njih je trgovanje na podlagi kratkoročnih preteklih gibanj cen delnic (Jagadeesh in Titman 1993). Izpostavljena omejitev ne omejuje uporabnosti simulacij Monte Carlo, saj je Brownovo gibanje v finančni teoriji najbolj splošno uporabljen model oblikovanja cen osnovnega instrumenta. Ena od pomembnih predpostavk, s katero poenostavim proces simulacij, je tudi tako imenovani rezultat nevtralnosti tveganja (ang. risk neutral result). Ta implicira, da lahko problem vrednotenja obravnavamo kot odločitev tveganju nevtralnega odločevalca, če hkrati

9 8 spremenimo tudi pričakovani donos osnovnega instrumenta, tako da zasluži netvegano obrestno mero. To je, podobno kot predhodne predpostavke, splošno uporabljena rešitev pri vrednotenju opcij, ki ne zmanjšuje uporabne vrednosti dobljenih rezultatov. 1.4 Uporabljene raziskovalne metode V teoretičnem delu bom uporabila predvsem: opisno (deskriptivno) metodo opis osnovnih značilnosti opcij ter posameznih modelov; zgodovinsko metodo kronološki opis razvoja modelov skozi čas; primerjalno (komparativno) metodo primerjava med različnimi modeli vrednotenja; induktivno metodo sklepanja o praktični uporabnosti obravnavanih modelov z analizo predpostavk. V empiričnem delu bom uporabila: statistične in matematične metode opis in izpeljava modela oblikovanja cen delnic; metodo simulacij jedro metode Monte Carlo; metodo programiranja implementacija teoretičnih izhodišč in predpostavk v programsko kodo za vrednotenje opcij.

10 9 OPCIJE.1 Definicija opcije Opcija je izvedeni finančni instrument, katere vrednost je povezana z osnovnim instrumentom (ang. underlying asset), na katerega je napisana, izstavljena oziroma izdana. Vrednost opcije, ki je izdana na določeno delnico, je tesno povezana z vrednostjo te delnice. Predstavlja pravico, ne pa tudi obveznost kupiti oziroma prodati osnovni instrument po vnaprej določeni ceni. Prodajalec opcije je dolžan na zahtevo kupca opcije izvršiti nakup oziroma prodajo osnovnega instrumenta, na katerega se opcija glasi. Kupec opcije plača prodajalcu opcije premijo, ne glede na to, ali bo opcija unovčena ali ne (Veselinovič 1998, 7). Nakup opcije je na nek način možno primerjati z nakupom vstopnice, ki daje kupcu možnost, da si ogleda predstavo, ga pa seveda v to ne obvezuje. Višina tveganja, ki ga prevzame kupec vstopnice (podobno velja tudi za kupca opcije), je samo do višine cene, ki jo je plačal za nakup vstopnice (opcije). V kolikor se kupec vstopnice (opcije) odloči, da si predstave ne bo ogledal (ne bo izkoristil opcije), lahko le-to proda, če seveda obstaja povpraševanje po vstopnici oziroma opciji (Mrak 00, 136). Bistvena razlika med opcijami in terminskimi pogodbami je predvsem v položajih, v katerih se nahajajo kupci in prodajalci le-teh. Pri terminskih pogodbah sta tako kupec kot prodajalec v enakem položaju, saj prvi kupi, drugi pa proda pogodbe. Njuna obveznost je izvršitev pogodb do zapadlosti. Tovrstne pogodbe kupcem omogočajo zavarovanje pred neugodnimi spremembami finančnega instrumenta, vendar pa kupec v primeru ugodnega gibanja instrumenta dobička ne more izkoristiti. Pri opcijah pa vlogi kupca in prodajalca nista simetrični 1. Kupec ima pravico unovčiti opcijo ali ne, medtem ko mora prodajalec izpolniti obveznosti iz opcije, če to od njega zahteva kupec. Opcija kupcu tega instrumenta zagotavlja veliko stopnjo fleksibilnosti, saj mu daje možnost, da kupi oziroma proda finančni instrument. Prodajalec opcije pa zagotavlja, da bo izpolnil obveznosti iz pogodbe, če je to kupčeva želja oziroma če lastnik izvrši opcijsko pogodbo. Prodajalec opcije dobi od kupca premijo kot kompenzacijo oziroma nadomestilo.. Trgovanje z opcijami Trgovanje z delniškimi opcijami lahko opredelimo tudi kot nadomestilo trgovanja z delnicami, ki ima višji vzvod in manj zahtevanega oziroma potrebnega kapitala. Bistvena razlika med nakupom posameznih delnic in opcijami je v tem, da delnice dajejo lastniku sorazmeren del 1 Zaradi te asimetrije med potencialnim dobičkom in rizikom, ki ga prevzameta ena oziroma druga stran v poslu, se trg opcij zelo razlikuje od drugih trgov, na katerih obstaja bistveno večje ravnotežje med kupci in prodajalci posameznega instrumenta (več v Dubofsky 199 ter Edwards in drugi 199).

11 10 lastništva v podjetju, medtem ko so opcije le pogodbe, ki dajejo lastniku pravico kupiti oziroma prodati delnice po vnaprej določeni ceni do določenega dneva oziroma na določeni dan poteka opcije. Pri trgovanju z opcijami se uporabljajo tri različne cene, in sicer: izvršilna cena (ang. exercise price ali strike price), ki je cena, po kateri je opcijo mogoče kupiti oziroma prodati; premija (ang. cost of the option, price of the option ali value of the option), ki predstavlja strošek, ki ga mora kupec opcije plačati njenemu prodajalcu v zameno za ugodnosti, ki mu jih opcija nudi; premija, ki jo je običajno treba plačati vnaprej, je sestavljena iz dveh delov: iz notranje vrednosti ter časovne vrednosti opcije; tržna cena osnovnega instrumenta (ang. market price ali spot price), ki predstavlja tržno oziroma promptno ceno osnovnega instrumenta...1 Oblike trgovanja z opcijami Uporaba opcij se je na finančnih trgih od leta 1973 zelo razširila, predvsem zaradi začetka trgovanja z njimi na organiziranih trgih Chicago Board Options Exchange (CBOE) je bila prva borza, ki je uvedla trgovanje z opcijami na organiziranih trgih, sledile pa so ji borze v Philadelphiji, Londonu in Amsterdamu. Pomembnejše borze, kjer se danes trguje z opcijami, so: Chicago Board of Trade (CBOT), Chicago Board Options Exchange (CBOE), London International Financial Futures and Option Exchange (LIFFE), Philadelphia Stock Exchange (PHLX), EUREX, Deutsche Terminbörse (DTB) ter Hong Kong Futures Exchange. Borze imajo ponavadi prostor (ang. floor), na katerem se trguje v obliki javnih avkcij oziroma izklicevanja, ali pa trgovanje poteka elektronsko. V tem primeru se trguje z opcijami, ki so standardizirane pogodbe z vnaprej določenimi izvršilnimi cenami, tipiziranimi ročnostmi (1, 3, 6, 9 in 1 mesecev), zapadlostmi ter zneski. Na ameriških borzah so zapadlosti opcij štirikrat v letu, marca, junija, septembra in decembra. 3 Standardizacija opcijskih pogodb povečuje likvidnost in zmanjšuje stroške (transakcijske stroške), povzroča pa težave pri zavarovanju tveganja. Transparentnost cen, ki je pogojena s V Sloveniji smo imeli dve blagovni borzi: Blagovna borza Ljubljana d.d. (BBL), kjer se je trgovalo z javnimi izklici. Ustanovljena je bila leta 1995, leta 1997 pa je prenehala delovati. Terminska borza d.o.o., kjer se je trgovalo elektronsko. Ustanovljena je bila leta 1996, istega leta pa je tudi prenehala delovati. Na obeh borzah se je trgovalo s terminskimi pogodbami na DEM, USD in LIT ter na razmerje med USD in DEM. Zaradi premajhnega prometa sta obe prenehali delovati. Leta 1998 se je odprla še Mednarodna borza za opcijske in terminske pogodbe (MBOT), ki pa je zaradi prenizkega prometa zelo kmalu prešla v mirovanje. Trgovalo se je elektronsko.

12 11 sistemom javnih avkcij, je glavna prednost pri trgovanju z opcijami na borzi trgovec lahko v celoti zaupa v pravično ceno (ang. fair price). Prednosti trgovanja z opcijami na borzi se kažejo tudi pri kreditnem tveganju. Klirinška hiša, ki je povezana z borzo in prek katere se posli izvršujejo oziroma poravnavajo, je podprta s svojimi lastnimi rezervami in zavarovana pred finančno izgubo; obstaja tudi sistem provizij za udeležence trgovanja. Klirinška hiša tako daje garancijo in skrbi, da prodajalec izpolni svoje pogodbene obveznosti. Na tak način imajo udeleženci trgovanja z opcijami podobno stopnjo varnosti kot pri trgovanju s terminskimi pogodbami. Poleg že opisanega načina trgovanja na organiziranih trgih pa je z opcijami mogoče trgovati tudi na neorganiziranem trgu oziroma prek okenc (ang. over-the-counter, OTC). Tu gre za neposredni stik med stranko oziroma klientom, ki kupuje opcijo, in banko, ki je izdajateljica opcije. Seveda je razumljivo, da so stroški pri trgovanju z opcijami na OTC trgu višji, predvsem zaradi stroškov prilagajanja zahtevam posameznih strank. Te opcije so zelo fleksibilne, saj so narejene po meri. Tako lahko zadostijo potrebam institucionalnih investitorjev, ki jim standardizirane, borzno trgovane opcije ne ustrezajo. To pa hkrati pomeni pomanjkljivost trgovanja na OTC trgu, saj ni dobre preglednosti nad cenami, še posebej, če je posel izveden v skladu z zahtevami stranke. Potrebno je poudariti, da so opcije na OTC trgu manj likvidne kot borzno trgovane opcije..3 Klasifikacija opcij Poznamo dve osnovni obliki opcij: nakupno opcijo (ang. call option ali call) in prodajno opcijo (ang. put option ali put). Nakupna opcija daje lastniku opcije pravico, da kupi določen finančni instrument do dneva oziroma na dan, ki je naveden v opciji, in za določeno ceno. Prodajna opcija pa daje kupcu finančnega instrumenta možnost prodaje do navedenega dneva oziroma na določen dan (ang. expiration date, exercise date, strike date ali maturity) in za določeno ceno (ang. strike price ali exercise price). Tako lahko izpostavim, da sta najpomembnejša elementa opcijske pogodbe izvršilna cena opcije ter čas do zapadlosti opcije (Hull 001, 160). Glede na to, kdaj lahko izkoristimo pravico, ki jo prinaša opcija, poznamo dve obliki opcij: ameriško različico opcije (ang. American option), ki predstavlja opcijsko pogodbo, ki jo lahko unovčimo kadarkoli do dneva poteka, ter evropsko različico opcije (ang. European option), ki predstavlja opcijsko pogodbo, ki jo je mogoče unovčiti zgolj na dan poteka opcije. Evropske opcije lahko preprosteje analiziramo, vendar pa se na borzah trguje pretežno z ameriškimi opcijami, tako da investitorju ni treba čakati do dneva zapadlosti opcijske pogodbe (med evropskimi opcijami prevladujejo predvsem opcije na delniške indekse). Opcije pa lahko klasificiramo tudi glede na to, ali je postavljena izvršilna cena v opcijski pogodbi višja, enaka ali nižja od trenutne tržne cene osnovnega instrumenta. Po tem elementu razlikujemo:

13 1 opcije, ki se splačajo (ang. in the money, ITM): opcija bi v tem primeru prinesla dobiček; opcije, ki se ne splačajo (ang. out of the money, OTM): opcija bi v tem primeru prinesla izgubo; opcije na meji (ang. at the money, ATM): stroški opcije so v tem primeru zanemarljivi. Če je pri neki tržni in izvršilni ceni nakupna opcija v položaju, ko se splača, bo enaka prodajna opcija v položaju, ko se ne splača. Pojem na meji pomeni, da je izvršilna cena nakupne ali prodajne opcije enaka (trenutni) tržni ceni. Razmerje med tekočo tržno ceno delnice in teoretično vrednostjo nakupne in prodajne opcije prikazujem na sliki 1. SLIKA 1: RAZMERJE MED TEKOČO TRŽNO CENO DELNICE IN TEORETIČNO VREDNOSTJO NAKUPNE IN PRODAJNE OPCIJE Teoretična vrednost opcije ITM ATM OTM 0 Tržna cena delnice S ceno delnice narašča teoretična vrednost nakupne opcije. S ceno delnice pada teoretična vrednost prodajne opcije. Vir: Veselinovič 1998, Nakupna opcija Glede na različne tržne cene delnice (S T ) in izvršilne cene opcije (X) lahko pri nakupni opciji definiramo položaj za opcijo, ki se ne splača (S T < X), položaj za opcijo na meji (S T = X) ter položaj za opcijo, ki se splača (S T > X). Glede na navedena razmerja kupec nakupne opcije pričakuje, da se bo cena delnice v prihodnosti ali na točno določen dan povišala. Prodajalec nakupne opcije pa pričakuje, da bo cena delnice ostala na približno enaki ravni ali pa padla, seveda v enakem obdobju ali na točno določen dan v prihodnosti. Kupec nakupne opcije ima s plačano premijo navzgor omejeno maksimalno izgubo. Dobiček iz naslova opcije je neomejen. Prodajalec nakupne opcije ima svoj maksimalni donos omejen z višino premije, njegova potencialna izguba pa je neomejena, ko cena delnice narašča nad izvršilno ceno opcije (Gets, Ritchen, Salkin 1989, 9). Na sliki

14 13 je grafična ponazoritev pozicije kupca in prodajalca nakupne opcije, kjer je razvidno, da do izvršitve opcije načeloma pride v primeru, ko je cena delnice nad izvršilno ceno, navedeno v opcijski pogodbi. SLIKA : GRAFIČNA PONAZORITEV POZICIJE KUPCA IN PRODAJALCA NAKUPNE OPCIJE Dobiček Dobiček/izguba kupca nakupne opcije Cena delnice ob zapadlosti (S T ) Izguba Vir: Veselinovič 1998, 74 Dobiček/izguba prodajalca nakupne opcije V tabeli 1 prikazujem motive za nakup in prodajo nakupne opcije. TABELA 1: MOTIVI ZA NAKUP IN PRODAJO NAKUPNE OPCIJE IN MOŽNI IZIDI NAKUPNE OPCIJE Transakcija nakup nakupne opcije prodaja nakupne opcije Motivacija dvig cene delnice enaka ali nižja cena delnice Maksimalen donos velik* premija Maksimalna izguba premija velika* Opomba: * najvišji možni donos cena delnice, zmanjšana za plačano premijo Vir: Getts, Ritchken in Salkin 1989, 9.3. Prodajna opcija Pri prodajni opciji so različni položaji glede na tržno ceno delnice in izvršilno ceno opcije ravno obrnjeni. Na sliki 3 ponazarjam pozicijo kupca in prodajalca prodajne opcije.

15 14 SLIKA 3: GRAFIČNA PONAZORITEV POZICIJE KUPCA IN PRODAJALCA PRODAJNE OPCIJE Dobiček Dobiček/izguba prodajalca Cena delnice ob zapadlosti (S T ) Izguba Vir: Veselinovič 1998, 76 Dobiček/izguba kupca.4 Cena opcije in faktorji, ki vplivajo nanjo Strošek, ki ga mora kupec opcije plačati prodajalcu opcije v zameno za ugodnosti, ki mu jih opcija nudi, predstavlja premijo oziroma ceno opcije, ki je sestavljena iz notranje vrednosti ter časovne vrednosti opcije..4.1 Notranja vrednost opcije Hull (Hull 003) definira notranjo vrednost opcije kot maksimum med nič in vrednostjo opcije, če bi bila opcija izvršena v tistem trenutku. Notranja vrednost opcije (ang. intrinsic value) tako izraža znesek, ki bi ga lastnik opcije zaslužil ob takojšnji izvedbi opcije. Notranja vrednost je merilo, kako globoko je opcija v poziciji ITM ali OTM oziroma kako dobičkonosna je njena izvedba. Opcija ima vedno notranjo vrednost, ko je njena izvedba za lastnika ugodna. V nasprotnem primeru je notranja vrednost opcije enaka nič. Lastnik opcije ima namreč pravico, ne pa tudi obveznost za izvršitev, zato notranja vrednost opcije ne more biti negativna. Kot sem že omenila, obstajajo tri opcijska razmerja med tržno ceno delnice in izvršilno ceno opcije, in sicer: pozicija ITM, pozicija ATM in pozicija OTM. Investitor nakupne opcije bo uveljavil svojo pravico, če je opcija v poziciji ITM. Naraščanje tržne cene delnice povzroči rast notranje vrednosti nakupne opcije, padanje tržne cene pa povzroči padec notranje vrednosti, a le, dokler tržna cena delnice ne doseže izvršilne cene opcije. Mejna vrednost premije nakupne opcije je zato naslednja:

16 15 C = max (ST X, 0) (1) pri čemer pomeni: C = ameriška nakupna opcija Notranja vrednost prikazuje samo del cene nakupne opcije. Višja ko je izvršilna cena nakupne opcije oziroma nižja ko je tržna cena delnice, večjo vrednost ima nakupna opcija. V primeru prodajne opcije notranja vrednost narašča, ko cena delnice pada, in nikoli ne more biti negativna. Matematično je notranja vrednost naslednja: P = max (X S T, 0) () pri čemer pomeni: P = ameriška prodajna opcija Kot zanimivost naj navedem, da mora biti vrednost ameriške opcije v poziciji ITM vsaj tolikšna, kot je njena notranja vrednost, saj lahko lastnik opcijo takoj izvrši in tako realizira pozitivno notranjo vrednost. Pogosto pa je za lastnika omenjene opcije ugodneje, če opcijo drži. V tem primeru govorimo o časovni vrednosti opcije..4. Časovna vrednost opcije Preprosta definicija pravi, da je časovna vrednost opcije (ang. time value) razlika med premijo opcije in notranjo vrednostjo opcije, ki izhaja iz potencialnih prihodnjih ugodnih gibanj cene delnice. Časovna vrednost ima enak pomen pri nakupnih in prodajnih opcijah. Čim daljši je preostanek časa do dospetja opcije, tem večja je vrednost opcije. Verjetnost, da tržna cena delnice naraste (nakupna opcija) oziroma pade (prodajna opcija), je višja, kot če bi imela opcija krajši čas do zapadlosti. Daljši ko je ostanek življenja opcije, večje so možnosti, da se opcija premakne v pozicijo ITM. Časovna vrednost je maksimalna, ko je opcija v poziciji ATM, in minimalna, ko je globoko v poziciji ITM. Za pozicijo OTM opcije časovna vrednost predstavlja možnost, da opcija zapade v poziciji ITM. Bolj ko je opcija v poziciji OTM, manjša je njena časovna vrednost, ker je manjša možnost, da bo končala v poziciji ITM. Časovna vrednost ima vrednost nič, ko opcija doseže svoj konec oziroma ko dospe. Časovna vrednost ne more biti negativna, pozitivna pa je, dokler obstaja ostanek časa do zapadlosti opcije (Cuthbertson in Nietze 001, ). V tabeli prikazujem omenjene osnovne značilnosti.

17 16 TABELA : CENE DELNIŠKIH OPCIJ NOTRANJA VREDNOST TER ČASOVNA VREDNOST OBLIKA OPCIJE NOTRANJA VREDNOST ČASOVNA VREDNOST OTM Opcija globoko v poziciji OTM Opcija rahlo v poziciji OTM Opcija v poziciji ATM 0 ITM Opcija globoko v poziciji ITM 0 0 Enaka razliki med izvršilno ceno in tržno ceno; predstavlja obseg vrednosti opcije. Opcija rahlo v Enaka razliki med izvršilno poziciji ITM ceno in tržno ceno. Vir: Foreign Exchange Options, Zurcher Kantonalbank 1988, 0 Brez pomena, ker je neznaten spodnji potencial. Lahko jo upoštevamo, ker je spodnja zaščita in obsežni zgornji potencial. Maksimalna, ker je najboljša spodnja zaščita in najboljši zgornji potencial. Brez pomena, ker je neznatna spodnja zaščita glede na terminsko pogodbo. Lahko jo upoštevamo, ker je zgornji potencial in najboljša spodnja zaščita..4.3 Dejavniki, ki vplivajo na ceno opcije V nadaljevanju magistrskega dela prikazujem bistvene dejavnike, ki vplivajo na oblikovanje cene delniške opcije, in poskušam ponazoriti, zakaj pride do povišanja oziroma znižanja cene. Bistveni dejavniki, ki vplivajo na oblikovanje cene delniške opcije, so (Baxter in Rennie 1999) 4 : a) tržna cena delnice (ST) b) izvršilna cena opcije (X) c) čas do dospetja opcije (T) d) pričakovana nestanovitnost cene delnice (σ) e) netvegana obrestna mera (r) f) pričakovane dividende in njihovo izplačilo (D) V nadaljevanju prikazujem vpliv posameznega dejavnika na ceno opcije ob predpostavki ceteris paribus. 4 Nisem opredelila vpliva pričakovane rasti cen delnic ter se spuščala v odnos investitorjev do tveganja, v davčno zakonodajo, transakcijske stroške, predpise o obveznih maržah pri poslovanju z izvedenimi finančnimi instrumenti ter v strukturo trga.

18 17 Tržna cena delnice ter izvršilna cena opcije Evropsko nakupno opcijo je mogoče izvršiti na določen dan v prihodnosti. Doprinos opcije je odvisen od dejstva, koliko tržna cena delnice presega izvršilno ceno. Z rastjo tržne cene delnice cena takšne opcije poraste, v primeru povišanja izvršilne cene pa cena opcije pade. Cene prodajnih opcij se v odnosu do tržnih in izvršilnih cen gibajo ravno obratno, kar ponazarjam v tabeli 3 na strani 19. Čas do dospetja opcije Nakupna in prodajna ameriška opcija sta vredni več v primeru daljšega časa do zapadlosti opcijske pogodbe. V primeru dveh enakih ameriških opcij, ki se razlikujeta samo glede na čas zapadlosti, ima investitor z daljšim časom do dospetja opcije enake možnosti izvršitve kot investitor s krajšim časom do zapadlosti opcije. Opcija z daljšim časom do dospetja mora biti zato vredna vsaj toliko kot opcija s krajšim časom do dospetja. Za evropske opcije naj bi veljalo podobno, pri čemer pa moram opozoriti, da je tudi nekaj izjem (če je na primer v vmesnem obdobju napovedano večje izpačilo dividend, bo to povzročilo padec cene opcije; v tem primeru bi bila opcija s krajšo dospelostjo, ki bi dospela pred izplačilom dividend, dražja). Nestanovitnost cene delnice Pojem nestanovitnosti ali volatilnosti (σ) označuje statistično mero (ponavadi standardni odklon) za razpršenost ali varianco: σ = σ (3) σ N 1 1 i N i= 1 N ( x µ ) = x µ = N i= 1 i (4) pri čemer pomenijo: σ = standardni odklon σ = varianca N = število enot x i = vrednost spremenljivke X za i-to enoto µ = povprečje Nestanovitnost je kritična spremenljivka pri določanju premije, saj ni neposredno izmerljiva in je kot taka močno povezana s časovno vrednostjo (časovna vrednost narašča konstantno z naraščajočo nestanovitnostjo linearna povezanost). Nestanovitnost cene delnice nam pove, kako negotovo je njeno gibanje v prihodnosti. Investitor nakupne opcije pridobi v primeru porasta cen, hkrati pa ima omejen riziko v primeru padca cene delnice, saj je največ, kar lahko izgubi, cena opcije. Podobno velja za investitorja

19 18 prodajne opcije, ki pridobi v primeru padca cen in ima omejen riziko v primeru rasti cen delnic. Tako velja, da ima nestanovitnost cene delnice pozitiven vpliv tako v primeru nakupne kot tudi prodajne opcije, saj večji ko so odkloni, večkrat prečkamo izvršilno ceno. Bolj ko je cena delnice nestanovitna, večje so možnosti, da se opcija premakne v pozicijo ITM, in večja je možnost dobičkonosne izvršitve opcije. Cena delnice, ki je stabilna, nikoli ne prečka mej izvršilne cene, zato ni tako zanimiva za opcije kot nestabilna delnica, pri kateri lahko v primeru nakupne ali prodajne opcije dosežemo dobiček. Vrednosti nakupnih in prodajnih opcij naraščajo, ko narašča nestanovitnost. Izdajatelji opcij ločijo različne vrste nestanovitnosti: pretekla nestanovitnost (ang. historical volatility), implicirana nestanovitnost (ang. implied volatility) ter prihodnja nestanovitnost (ang. forecasted volatility). Opcija je draga, če ima višjo implicirano nestanovitnost v primerjavi s podobnimi opcijami ali s svojo preteklo nestanovitnostjo. Implicirana nestanovitnost predstavlja nestanovitnost trenutne tržne cene opcije in je pomembna sestavina vrednosti opcije ponekod trgujejo z opcijami zgolj glede na sedanjo nestanovitnost. Uporablja se jo v modelih za ocenjevanje opcij, kot je Blackov model. V teoriji vrednotenja opcij bi morali upoštevati prihodnjo nestanovitnost. Ker je težko ali skoraj nemogoče neposredno meriti prihodnjo nestanovitnost, je kot ocena prihodnje nestanovitnosti ali kot začetna vrednost za napoved nestanovitnosti večkrat uporabljena pretekla nestanovitnost. Netvegana obrestna mera Vpliv netvegane obrestne mere na ceno opcije je nekoliko težje opredeliti. Njen vpliv je mogoče razdeliti na dva učinka. Prvi učinek je, da se z naraščanjem tržne obrestne mere pričakovana stopnja rasti delniških tečajev praviloma poviša, drugi učinek pa je, da se zmanjša diskontirana vrednost vseh prihodnjih denarnih tokov, ki jih prejme imetnik opcije. Oba učinka zmanjšujeta vrednost prodajne opcije, zato cene prodajnih opcij padajo z rastjo netvegane obrestne mere. V primeru nakupne opcije povišanje trenutne ali tržne cene delnice vpliva na povišanje cene, medtem ko povišanje izvršilne cene opcije vpliva na znižanje cene opcije. Dokazano je bilo, da je prvi učinek vedno močnejši od drugega, tako da cene nakupnih opcij zrastejo v primeru povišanja netvegane obrestne mere (Hull 001, 185). Pomembno je poudariti, da proučujem vpliv spremembe netvegane obrestne mere ob predpostavki, da se vse ostale spremenljivke ne spreminjajo (ceteris paribus). Natančneje tako predpostavljam, da se netvegana obrestna mera spreminja, medtem ko cene delnic ostajajo nespremenjene. V praksi namreč dvig (padec) obrestne mere povzroči padec (rast) cen delnic. Neto učinek dviga obrestne mere in spremljajočega padca cene delnice bi tako lahko v praksi znižal ceno nakupne opcije in povišal ceno prodajne opcije. Pričakovane dividende in njihovo izplačilo Dividende vplivajo na znižanje cene delnice po dividendno izplačilnem dnevu. Vpliv velikosti dividend in njihovega izplačila je odvisen od tega, ali imamo nakupno ali prodajno delniško opcijo. V splošnem pa velja, da izplačila dividend vplivajo na povečanje vrednosti prodajne in

20 19 zmanjšanje vrednosti nakupne delniške opcije. Vrednost nakupne opcije je torej negativno povezana z velikostjo potencialno pričakovanih dividend, vrednost prodajne opcije pa pozitivno. Omenjena zakonitost se v praksi uresničuje v veliki večini primerov, možni pa so tudi drugačni razpleti. V grobem je odvisna od razmerja med višino dividend ter ceno delnice pred in po izplačilu dividend. TABELA 3: POVZETEK UČINKA OMENJENIH FAKTORJEV NA CENO DELNIŠKE OPCIJE V PRIMERU POVIŠANJA POSAMEZNE SPREMENLJIVKE OZIROMA FAKTORJA TER PRI NESPREMENJENIH OSTALIH POGOJIH Evropska opcija Ameriška opcija Spremenljivka Nakupna opcija Prodajna opcija Nakupna opcija Tržna cena delnice + Izvršilna cena delnice + + Čas do dospetja opcije?? + + Nestanovitnost cene opcije Netvegana obrestna mera + + Pričakovane dividende v življenjskem ciklu delnice Legenda: Vir: Hull 001, 183 Prodajna opcija ponazarja, da porast spremenljivke povzroči povišanje cene opcije ponazarja, da porast spremenljivke povzroči padec cene opcije? ponazarja, da je vpliv spremenljivke na ceno negotov Cena opcije je torej sestavljena iz dveh bistvenih delov: iz notranje vrednosti opcije (razlika med tržno in izvršilno ceno opcije) in časovne vrednosti opcije. Na njeno ceno pa dodatno vplivajo še trije faktorji: nestanovitnost, netvegana obrestna mera in pričakovane dividende v življenjskem ciklu delnice..5 Določanje zgornjih in spodnjih mej cen delniških opcij Pri določanju mejnih cen delniških opcij predpostavljam, da so na trgu prisotni številni udeleženci (velike investicijske banke), za katere velja, da transakcijski stroški ne obstajajo, da so vsi neto dobički oziroma izgube iz naslova trgovanja podvrženi enaki davčni stopnji ter da je izposoja in posoja mogoča na stopnji netvegane obrestne mere. Omenjeni tržni udeleženci so usposobljeni in pripravljeni bliskovito ukrepati v primeru nastanka arbitražnih priložnosti, kar posledično pomeni, da se te priložnosti hitro spreminjajo in izginejo. V nadaljevanju se pri vrednotenju opiram na načelo»brez arbitraže«(ang. no-arbitrage principle), ki v najpreprostejši obliki govori o odnosu med vrednostima dveh portfeljev v dveh časovnih obdobjih 5. 5 Predpostavim, da imamo dva portfelja, A in B, ki sta sestavljena iz delnic, ter dve časovni obdobji, začetni čas t = 0 ter končni čas t = T. Vsak od portfeljev ima tako dve vrednosti; vrednost danes (v času t = 0), ki jo označim z

21 0.5.1 Zgornja meja cen opcij Ameriška ali evropska nakupna opcija da imetniku pravico do nakupa ene delnice za določeno ceno. V nobenem primeru cena opcije ne more biti vredna več, kot je vredna delnica, zato tržna cena delnice predstavlja zgornjo mejo opcije: c ST ali C ST (5) pri čemer pomenijo: c = evropska nakupna opcija C = ameriška nakupna opcija ST = tržna cena delnice V primeru ameriške ali evropske prodajne opcije velja, da cena opcije nikoli ne more biti vredna več, kot je vredna izvršilna cena opcije: p X ali P X (6) pri čemer pomenijo: p = evropska prodajna opcija P = ameriška prodajna opcija ST = tržna cena delnice Za evropsko opcijo velja, da na dan dospetja opcija ne more biti vredna več, kot znaša njena izvršilna cena (X). Iz tega sledi, da evropska opcija ne more biti vredna več, kot je trenutna tržna vrednost delnice danes: p Xe -rt (7) Če relacija 7 ne bi veljala, bi lahko arbiter netvegani dobiček s prodajo opcije in investiranjem donosa oziroma iztržka prodaje naredil tako, da zasluži netvegano obrestno mero..5. Spodnja meja cen opcij Spodnjo mejo evropske nakupne opcije lahko zapišem na naslednji način: V A,0 oziroma V B,0, ter kočno vrednost (v času t = T), ki jo označim z V A,T oz. V B,T. Začetna vrednost portfelja je znana oziroma jo lahko določim, medem ko je končna vrednost odvisna od stanja gospodarstva v času T ω i. Načelo brez arbitraže tako določa, da če sta donosnosti portfeljev v času T enaki, neodvisno od stanja gospodarstva (V A,T (ω i ) = V B,T (ω i )), morata biti enaki tudi začetni vrednosti obeh portfeljev (V A,0 = V B,0 ). V nasprotnem primeru bi z arbitražo lahko unovčili netvegani dobiček (Kasapi 1999, 43 61).

22 1 c max (S0 Xe -rt, 0) (8) Zgornja omejitev 8 ponazarja, da evropska opcija v najslabšem primeru zapade brez vrednosti, njena vrednost pa v nobenem primeru ne more biti negativna. Spodnjo mejo evropske prodajne opcije lahko zapišemo na naslednji način: p max (Xe -rt S0, 0) (9) Tudi v tem primeru zgornja omejitev 9 ponazarja, da evropska prodajna opcija v najslabšem primeru zapade brez vrednosti, njena vrednost pa ne more biti negativna..6 Prodajno-nakupna pariteta Cene opcij so povezane z osnovnim arbitražnim odnosom, ki ga imenujemo prodajno-nakupna pariteta (ang. put-call parity), ki jo ponazarjam na naslednji način: c + Xe -rt = p + S0 (10) Prodajno-nakupna pariteta nam pove, da je vrednost evropske nakupne opcije z določeno izvršilno ceno in datumom zapadlosti enaka vrednosti evropske prodajne opcije z enako izvršilno ceno ter datumom zapadlosti in obratno. V primeru, da navedeno razmerje ne velja, se srečamo z arbitražo (Jiang 005, 14). Prodajno-nakupna pariteta velja zgolj za evropsko opcijo, do določene mere pa je uporabna tudi za cene ameriških opcij, in sicer: ST X C P ST Xe -rt = p + ST (11)

23 3 VREDNOTENJE OPCIJ 3.1 Določanje vrednosti delniških opcij Večina teorij vrednotenja opcij temelji na konceptu pravične cene če sta investitor in izdajatelj opcije prepričana, da sta dobila pravično ceno, bo posel z veliko verjetnostjo tudi sklenjen. Pravična vrednost temelji na osnovnem vprašanju, kakšna je verjetnost, da se bo opcija izvršila z dobičkom. Vse, kar povečuje takšno verjetnost, povečuje pravično vrednost opcije in s tem tudi njeno ceno. Pravična vrednost je sestavljena iz notranje vrednosti in časovne vrednosti. V času svoje življenjske dobe opcija enkrat narašča, drugič pada. Če je pravična vrednost višja od plačane premije, ima kupec dobičkonosno pozicijo. Pravična vrednost ne sme biti nikoli višja od celotne vsote plačane premije in sedanjega dobička, drugače izdajatelj opcije utrpi izgubo. Opcije je mogoče vrednotiti na štiri osnovne načine, tako da (Veselinovič 1998, 14): primerjamo ceno opcije z vrednostjo delnice, na katero je opcija napisana, ali z višino izvršilne cene (relativni način); preverimo dobičkonosnost opcijske pozicije s cenami delnice določimo cene delnice, v okviru katerih je opcija dobičkonosna (relativni način); upoštevamo opcijski finančni prag (grafične točke preloma) oziroma njegov potencial primerjamo s cenovnimi spremembami delnice (relativni način); določimo pravo ceno opcije (absolutni način). V znanosti je bil narejen velik napredek, ko so začeli določati teoretično vrednost opcij. Za vrednotenje opcij obstaja veliko različnih teorij, modelov in razlag, kot so metoda brez vrednotenja, tehnike grafičnega vrednotenja, pravila in formule vrednotenja, ekonometrični modeli, verjetnostni modeli ter računalniški opcijski modeli. Metode brez vrednotenja so relativne metode (uporabljajo relativne kazalnike), ki v praksi dajejo zelo približne ali celo zavajujoče rezultate. Tehnike grafičnega vrednotenja se danes uporabljajo zgolj kot dopolnilo k teoretično bolj uveljavljenim metodam, na primer kot dodatek Black-Scholesovega modela, in veljajo kot približna metoda ugotavljanja vrednosti opcije. Podobno velja za tako imenovana pravila in formule vrednotenja, ki so bile praktično uveljavljeni načini vrednotenja opcij pred obdobjem in se danes uporabljajo kot dodatek k vrednotenju opcij. 6 6 Iz leta 1958 poznamo formulo G. Giguere za vrednotenje nakupnih bonov, J. Cloonan je s statističnimi metodami empirično ugotovil določeno povezavo med časom do zapadlosti opcije in tržno ceno delnice, E. Dimson pa je uvedel monograme kot neke vrste grafično verzijo Black-Scholesove formule. Vse je bolj ali manj dober pripomoček za pravo vrednotenje opcij.

24 3 V nadaljevanju magistrskega dela prikazujem ekonometrične, verjetnostne in računalniške modele vrednotenja opcij. Najbolj znana modela sta Black-Scholesov model in binomski model Cox Ross Rubinstein. Dolgoročno gledano pri vseh teh modelih pridemo do skoraj enakega rezultata. Modeli se med seboj razlikujejo zlasti po tem, kako natančno obravnavajo problem. Modeli predpostavljajo, da so spremenljivke cen normalno porazdeljene, vendar so cene v stvarnosti bolj nestanovitne kot v predpostavkah modela. 3. Modeli vrednotenja opcij 3..1 Ekonometrični modeli V teoriji obstaja veliko različnih ekonometričnih modelov. Ena od njih sta tudi Sheltonov in Kassoufov model, ki sta bila najprej primerna za vrednotenje nakupnih bonov, lahko pa ju uporabimo tudi za vrednotenje opcij (Fabozzi, Modigliani 1997, 348). Shelton je leta 1967 razvil model za vrednotenje nakupnih bonov, ki ne zahteva ocene nestanovitnosti za napoved cene nakupnega bona. V prvem koraku je opredelil verjetnostno območje nahajanja cene nakupnega bona na podlagi razmerja med ceno nakupnega bona in njegovo osnovno delnico. Spodnja meja vrednostnega območja nakupnega bona je cena običajne delnice minus izvršilna cena nakupnega bona, vendar ne sme biti manjša od nič. Minimalna cena je tako (Shelton 1967, 88): W [ S ] = max X,0 (1) pri čemer pomenijo: W = minimalna cena nakupnega bona S = cena osnovnega instrumenta delnice X = izvršilna cena nakupnega bona Pri ugotavljanju maksimalne cene nakupnega bona se Shelton opre na naslednje predpostavke: cena nakupnega bona bo enaka njegovi izvršilni ceni, če se delnica proda po štirikratni ali večkratni ceni nakupnega bona; nakupni bon se zelo redko proda oziroma se z njim trguje nad njegovo izvršilno ceno. Shelton tako postavi zgornjo mejo cene nakupnega bona na 75 odstotkov cene osnovnega instrumenta delnice oziroma na ¾S. Spodaj povzemam možno območje cen nakupnega bona (Shelton 1967, 88): ( S X ) < W < 0, 75S W ( S X ), če je S < 4X ali =, če je S 4X

25 4 Shelton je uporabil multipli regresijski pristop na primeru 99 nakupnih bonov z namenom razvitja empirično osnovanega modela cene nakupnega bona. Opredelil je spremenljivke, ki vplivajo na ceno nakupnega bona, kar je prikazano v spodnji formuli (Shelton 1967, 89): W [ max vrednost min vrednost][ faktorobmočja] + [ max( S X,0)] = (13) W = t 7 [ 0,75S ( max( S X,0))] 4 0,47 4,5 + 0,17( L) + [ max( S X,0)] D S (14) pri čemer pomenijo: t = čas do dospetja (izražen v mesecih) D = letni dividendni donos S L = nakupni bon, ki kotira na borzi L = 0 = OTC nakupni bon 0,47 = regresijski koeficient S = cena delnice X = izvršilna cena Prednost modela je, da upošteva dividende, njegova velika pomanjkljivost pa je, da ne upošteva nestanovitnosti in daje zelo slabe rezultate za kratkoročne nakupne bone. Zgoraj prikazani Sheltonov model je zato uporaben za dolgoročne nakupne bone. Drugi ekonometrični model, ki ga omenjam, je Kassoufov model. V primerjavi s Sheltonovim modelom je malo bolj celovit vključuje na primer nestanovitnost, vendar pa je njegova pomanjkljivost oziroma napaka v tem, da temelji na določenih preteklih podatkih. Kassoufova formula za izračun vrednosti nakupnega bona je naslednja (Kassouf 1969, 689): Z S = Z T W S T X k Z = k1 + + k3r + k 4d + k5e1 + k6e + k7 x + k8 X + a t pri čemer pomenijo: W = pričakovana vrednost nakupnega bona X = izvršilna cena S T = tržna cena osnovnega instrumenta k1 k8 = koeficienti, ki izhajajo iz večkratne regresijske analize t = meseci do zapadlosti R = dividendni donos na navadno delnico d = količnik med izdanimi nakupnimi boni in izdanimi delnicami E1 = logaritem mesečne povprečne cene navadne delnice za prejšnjih 11 mesecev (15) (16)

26 5 E x = ST X = standardni odklon naravnega logaritma povprečne cene navadne delnice za prejšnjih 11 mesecev V obdobju od leta 1945 do 1957 faktor Z izračunamo: 1 Z = 1,061+ 6,9 + 8,768R + 1,876x + 0,357d + 0, 074X (17) t Faktor Z v obdobju od leta 1958 do 1964 izračunamo takole: 1 Z = 1,56 +, ,41R + 0,301x + 1,340E (18) t Avtor je upošteval dve opazovani obdobji, prvo od leta 1945 do 1957 (kot izhaja iz enačbe 17), drugo pa od leta 1958 do 1964 (kot izhaja iz enačbe 18). Rezultati vrednotenja se med seboj precej razlikujejo: cena dolgoročnega nakupnega bona v prvem obdobju znaša 4,87 USD, v drugem obdobju pa 6,50 USD. Opcije so pri višjih tržnih cenah osnovnega instrumenta na podlagi Kassoufovega modela precenjene, pri nižjih tržnih cenah pa podcenjene. 3.. Verjetnostni modeli Med verjetnostnimi modeli, ki izhajajo iz načel verjetnosti, najprej omenjam Sprenklov verjetnostni model, ki predstavlja klasični opcijski verjetnostni model. V njem je dobro prikazana povezava med verjetnostno porazdelitvijo sprememb cen osnovnega instrumenta (delnice) in vrednostjo nakupnega bona oziroma opcije. Zapišemo ga z naslednjo formulo (Sprenkel 1961, ): * W = k ST N b ) k X N( ) (19) ( 1 b b 1 ST 1 ln k + σ ( t X = v * ( t t) * t) ST ln k X b = σ 1 σ ( t ( t * t) * t)

27 6 pri čemer pomenijo: W = prava cena nakupnega bona oziroma opcije k = kazalnik pričakovane vrednosti cene osnovnega instrumenta v času, ko nakupni bon (opcija) zapade oziroma je enak tekoči tržni ceni osnovnega instrumenta S T = tržna cena osnovnega instrumenta N(b) = kumulativna normalna porazdelitvena funkcija k* = diskontni faktor, ki je odvisen od lastnosti tveganj osnovnega instrumenta X = izvršilna cena ln = naravni logaritem σ = varianca donosa osnovnega instrumenta t* = čas do zapadlosti t = tekoči datum (čas) V nadaljevanju prikazujem Samuelson-Mertonov model, ki ponazarja kombinacijo teorije koristi in verjetnosti ter predstavlja fleksibilen pristop k reševanju problema vrednotenja opcij. Zapišemo ga z naslednjo formulo (Samuelson, Merton 1965, 13 31): W * t) [ ;( t ] * r( t t) = e S ( ZS T T X ) dq Z (0) PS pri čemer pomenijo: W = prava vrednost opcije r = obrestna mera t = tekoči datum (čas) t* = datum zapadlosti opcije X = izvršilna cena S T = tržna cena osnovnega instrumenta Z = slučajna spremenljivka donosa na denarno enoto, investirano v navadno delnico dq(z; (t* t)) = tvegana verjetnostna porazdelitvena funkcija Z za obdobje t* t e = osnova naravnega logaritma (,7188) S T /P S = integral za obdobje od S T /PS do neskončnosti Black-Scholesov model V zgodnjih 70-ih letih prejšnjega stoletja (leta 1973) sta Fischer Black in Myron Scholes razvila formulo za določanje vrednosti opcij, ki je pomenila prelomnico v vrednotenju opcij. Najpomembnejši lastnosti sta izvirna matematična izpeljava ter predpostavka vzpostavitve nerizičnega portfelja delnice in nanjo napisane opcije na primer, da uporabnik opcije kupi osnovni instrument in hkrati proda opcijo na isti osnovni instrument (tako imenovana popolna