Modelovanie volatility futures kontraktov s elektrickou energiou na PXE *

Transcription

1 Modelovanie volailiy fuures konrakov s elekrickou energiou na PXE * Igor Paholok Absrak Príspevok obsahuje popis dvoch meód modelovania cenovej volailiy fuures konrakov na elekrickú energiu (GARCH a zv. dvojfakorový model), a ich aplikáciu na rhu Power Exchange Cenral Europe (do Energeická Burza Praha) pre konraky s dodávkou elekrickej energie v rámci územia Českej Republiky. Modely sú využié k sanoveniu zv. maržových koeficienov výpoču Value a Risk. Pomocou meódy späného esovania je hodnoená vhodnosť modelu a o i v porovnaní s maržovými koeficienmi sanovenými samonou burzou. Kľúčová slova Power Exchange Cenral Europe, fuures konraky s elekrickou energiou, GARCH, Dvojfakorový model, Backesing, Value-a-Risk Úvod Ovorením Pražskej energeickej burzy vznikla pre burzu, banky i samoných obchodníkov s elekrickou energiou nová obchodná príležiosť. S ňou sa však ruku v ruke vynorili i nové riziká. V rámci burzových pravidiel môžeme nájsť počenú skupinu násrojov majúcich za cieľ riadenie rizík, no úsrednú úlohu, práve v súvislosi s rhom fuures konrakov nesú zv. maržové koeficieny. Tie predsavujú určiú časť z objemu nakúpeného konraku/konrakov, korú musí účasník obchodovania deponovať na príslušných účoch UNIVYCu. Tieo prosriedky by mali slúžiť k pokryiu ržného rizika (mimo iné aj výška sop loss limiov je odvodená ako percenuálna časť zloženej marže), a krediného rizika, kde môžu byť použié k úhradám záväzkov defaulujúceho subjeku, či prípadne absorbujú sray spôsobené núeným uzaváraním pozícii účasníka obchodovania. Je zrejmé, že len správne nasavené maržové koeficieny môžu svoju úlohu plniť plnohodnone. V súvislosi s uvedeným sa vynára skupina oázok ako napríklad: Sú burzové maržové koeficieny dosaočné? Mali by si clearingové banky sanoviť vlasné maržové koeficieny, ak ako im o dovoľujú burzové pravidlá? Akú meódu je k sanoveniu maržových koeficienov vhodné použiť? A podobne. Príspevok si kladie za cieľ nájsť odpovede na vyššie uvedené oázky. Posupným popisom meód (GARCH a dvojfakorového modelu), procesom ich aplikácie a kalibrácie sa obsah práce posúva k finálnemu backesingu s využiím hisorických časových rád cenového vývoja fuures konrakov obchodovaných na rhu Power Exhcange Cenral Europe a European Energy Exchange. * Výzkum bol čiasočne podporený granom Tržní riziko a finanční deriváy GAČR 40/09/073 Ing. Igor Paholok, VŠE, igor.paholok@vse.cz

2 . Review lieraúry S posupnou liberalizáciou rhov s elekrickou energiou rasie záujem vedeckých pracovníkov ale i prakických risk manažérov o eoreický rozvoj sochasických a deerminisických modelov, schopných zachyiť chovanie cien konrakov s ýmo podkladovým inšrumenom. Sochasické modely vývoja cien forwardových / fuures konrakov je možné rozdeliť na dve veľké skupiny. Prvú skupinu voria meódy, v korých je model pre vývoj forwardovej ceny odvodený od modelu pre vývoj ceny spoovej. Modelovanie spoových konrakov s elekrickou energiou obvykle obsahuje zv. jump diffusion a mean revering process. Medzi práce rozvíjajúce úo skupinu modelov je možné zaradiť napr. šúdie Culo, Goffin, Lawford (006) a Meyer-Brandis, Tankov (006). Predpokladom využiia ejo skupiny modelov je likvidný rh so spoovými konrakmi, korý v rámci PXE nie je. Druhú skupinu voria meódy snažiace sa o modelovanie forwardových konrakov priamo. Medzi ne môžeme zaradiť i zv. dvojfakorový model Ruediger, Schindlaye, Reik (005) esovaný i v omo príspevku. Modelovanie volailí a späné esovanie modelov K modelovaniu volailiy cien jednolivých skupín fuures konrakov využijeme GARCH a zv. dvojfakorový model.. GARCH model Využiie GARCH modelu (General Aauoregressive Heeroscedasiciy model) bolo zvolené zámerne, za predpokladu, že samoný model, alebo jeho modifikácie (napríklad EWMA - Exponenialy Weighed Moving Average) sú v praxi časo využívane k modelovaniu volailí finančných časových rád. Nie je eda vylúčené, že po danej skupine modelov siahnu risk manažeri, či porfólio manažeri v snahe sanoviť maržové koeficieny, či vypočíať VaR, aj v prípade fuures na elekrickú energiu. Všeobecne je možné model GARCH(p,q) vyjadriť pomocou nasledujúceho vzťahu: (.) ε je podmienene heeroskedasický proces s podmienenou srednou hodnoou E h je podmienený rozpyl D kde Ω h, kde ( ε Ω ) = E( ε Ω ) ω > 0, α > 0, a β 0 sú paramere modelu pre kladný podmienený rozpyl, q p = ω + α iε + i= i= β h i i je relevanná minulá informácia až dočasu - ( ε Ω ) Pred samoným použiím modelu je vhodné esovať podmienenú heeroskedasiciu. Po dosiahnuí výsledku je obvyklé esovať nesysemaickú zložku modelu korej hodnoy by mali byť nezávislé s nulovou srednou hodnoou a jednokovým rozpylom. Jednoduchou a časo využívanou meódou esovania vierohodnosi je i samoný backesing späné esovanie modelu. Práve výsledok späného esovania je hlavným hodnoiacim kriériom v rámci ejo šúdie.. Dvojfakorový model (Two Facors Model - TFM) Dvojfakorový model si v prípade modelovania volailiy cien fuures na elekrickú energiu kladie za cieľ zachyiť empiricky pozorovaný fak, že volailia konrakov rasie so = 0

3 skracujúcou sa dobou do splanosi konraku. Model je daný sochasickou diferenciálnou rovnicou: df(, T ) κ ( T ) (.) = e σ dw + σ dw, kde F, T (, T ) ( ) W() je dvojdimenziálný brownov pohyb je čás/dáum kalkulácie T je čas/dáum expiracie konraku σ, σ, κ paramery modelu F cena fuures konraku včase s expiráciou v čase T Vplyv parameru σ je ým väčší, čím menší je časový rozdiel medzi rozhodným dňom kalkulácie a dňom exspirácie konraku T. Parameer σ vyjadruje volailiu pod korú by volailia konraku nemala klesnúť a o ani u konrakov s veľmi dlhým časom do exspirácie. Charaker modelu je exponenciálny, pričom parameer к určuje zakrivenie výslednej krivky časovej šrukúry volailí. Zvýšenú volailiu konrakov s blížiacou sa dobou do exspirácie je možné ekonomicky odôvodniť zvýšenou obchodnou akiviou a deerminisickým vplyvom fundamenálnych fakorov akým je napríklad predpoveď počasia, výpadok v rámci prenosovej súsavy, či urbulencie na rhoch s primárnymi ekonomickými zdrojmi. Výhodou modelu je mimo iné i jeho jednoduchosť v zmysle aplikácie a inerpreácie. Hodnoy marží pre jednolivé konraky je možné dopočíať jednoduchým doplnením vsupných hodnô (,T), kde približný VaR 99% (za predpokladu normaliy) získame doplnením W, =,33..3 Verifikácia modelov späným esovaním (backesing) Hlavným cieľom práce je vo svojej podsae sanovenie určiej inervalovej predpovede. Snažíme sa predpovedať hodnou dennej zmeny, korá nebude nasledujúci deň prekročená na hladine pravdepodobnosi 99 %. To či bol ako definovaný cieľ splnený, alebo nie, môžeme najjednoduchšie posúdiť späným pohľadom na denné zmeny cien konrakov a porovnať ich s kalkulovanými maržami, či maržami sanovených samonou burzou. Jedná sa eda o meódu späného esovanie (angl. backesing). V rámci oho výzkumu budeme úspešnosť modelov hodnoiť podľa roch hlavných kriérií, vysvelených v nasledujúcich subkapiolách..3. Poče prekročení marže (N) Value a Risk model je konšruovaný na určiej hladine pravdepodobnosi. Prekročenie hranice Value a Risk (v našom prípade hranice maržového koeficienu) skuočným denným pohybom ceny konraku, by nemalo byť časé a poče prekročení by nemal presiahnuť určiý presne sanovený inerval. V rámci backesingu ale máme k dispozícii iba relaívne malý a nie konečný poče pozorovaní. Jedná sa eda iba o určiý šaisický výber pokusov, nie však o súbor úplný. Usudzovať preo, že prekročenia maržových koeficienov zo 00 pozorovaných obchodných dní na hladine pravdepodobnosi 99 % (00*0,99 =) je známkou nevyhovujúceho modelu, nie je korekné. Inerval spoľahlivosi modelu, pre prijaie nulovej hypoézy, že nami aplikovaný Value a Risk model na zvolenej hladine pravdepodobnosi a inervale, je možné sanoviť viacerými spôsobmi. V rámci ejo šúdie bolo k sanoveniu okrajových hodnô inervalu použié inverzné Poissonovo rozdelenie.

4 .3. Suma negaívnych diferencií (EDS) Samoný poče prekročení je ukazovaeľ veľmi užiočný, no nevraví nič o om aké veľké prekročenia modelu (marže) boli zaznamenané. Ďalším zo sledovaných ukazovaeľov je preo suma ýcho negaívnych diferencií v percenách, vyjadrená ako číslo v absolúnej hodnoe..3.3 Suma diferencií (DS) Kriérium EDS síce odhalí mieru s akou model riziko podhodnocuje, nezisíme ale do akej mieri model riziko nadhodnocuje. Prudérnosť modelu nám môže odhaliť práve suma diferencií medzi maržovým koeficienom a skuočne realizovanými pohybmi. 3 Charakerisika časových rád 3. PXE členenie konrakov a charakerisika časových rád V rámci rhu PXE s českou elekrickou energiou sú jednolivé konraky rozdelené do dvoch veľkých skupín a o podľa času dodávky samonej energie na zv. Base Load Fuures s dodávkou konšannej hodnoy hodinového výkonu MW, 4 hodín, 7 dní v ýždni a zv. Peak Load Fuures s dodávkou konšannej hodnoy hodinového výkonu MW, v čase od 8:00 do 0:00, od piaku do pondelka, bez ohľadu na dni pracovného pokoja. Fuures konraky sú ďalej členené na mesačné, švrťročné a ročné. Too rozdelenie rešpekuje aj samoné rozdelenie maržových koeficienov burzy. Členenie vždy predsavuje určiú agregáciu dá, no bez oho zjednodušenia by bola práca s hisorickými časovými rada veľmi zložiá a pri skúmaní jednolivých konrakov samosane by sme museli sysemaicky zápasiť s krákou hisóriou, keďže každý konrak sa obchoduje iba určié obmedzené a relaívne kráke časové obdobie. Burza pred časom upusila od hlbšej úrovne jemnejšieho členenia i podľa obdobia do splanosi. Tuo hlbšiu úroveň budeme pre účely výskumu aplikovať v nasledujúcom členení a konvencii značenia: Označenie Konrak blm, blm...blm6; plm,plm...plm6 Base load mesačné a peak load mesačné konraky posupne až 6 mesiacov do začiaku obdobia dodávky blq, blq...blq6; plq,plq...plq5 Base load švrťročné a peak load švrťročné konraky posupne až 5 kvarálov do začiaku obdobia dodávky bly, bly,bly3, ply, ply,ply3 Base load ročné a peak load ročné konraky posupne až 3 roky do začiaku obdobia dodávky Tab.č.: Členenie konrakov pre účely ďalšieho výskumu. Zdroj: Vlasná analýza 3. Rozdelenie výnosov Povaha obchodovaného produku ale i nižšia likvidia spojená so samoným ovorením rhu, ovplyvnili charaker rozdelenia výnosov. Exisuje mnoho dní s nulovým pohybom a naopak niekoľko málo dní s pohybom relaívne výrazným. Ilusraívne uvedené hisogramy poukazujú i na fak, že rozdelenie výnosov je časo odlišné naprieč jednolivých skupín konrakov.

5 Obr.č. : Hisogram rozdelenia výnosov konrakov blm a blq5 Lillieforsov es normaliy rozdelenia realizovaných výnosov nepovrdil normaliu ani u jednej zo sledovaných skupín na hladine významnosi p-value = 0, Auokorelácia Auokorelácia akiež nenaznačuje podobný priebeh naprieč rôznymi skupinami fuures konrakov. U niekorých skupín možeme pozorovať významnú auokoreláciu pri posune časovej rady o jeden až dva dni, u iných áo auokorelácia šaisicky významná nie je. Nasledujúci graf poskyuje pohľad na auokorelogram dvoch konrakov. Obr.č. : Auokorelogram skupiny konrakov blm a bly 3.. Šrukúra hisorických volailí Maržové koeficieny PXE ale i iných organizovaných rhov s fuures konrakmi na elekrickú energiu (napríklad European Energy Exchange) naznačujú, že najvolailnejšie by mali byť konraky mesačné, menej volailné konraky švrťročné a najmenej volailné konraky ročné. Volailia by sa mala v rámci jednolivých skupín zvyšovať so skracujúcou sa dobou do mauriy fuure konraku.

6 Pri pohľade na hisorické volailiy jednolivých skupín konrakov obchodovaných na PXE je zrejmé, že nie všeky predpokladané zákoniosi bývajú v praxi naplnené. Obr.č. 3: Šrukúra hisorických volaili konrakov PXE / PXE klasifikácia konrakov k za celú hisóriu fungovanie PXE 3.3 Členenie konrakov podľa doby do mauriy fuures V rámci oho jednoduchého členenia sú všeky fuures konraky s elekrickou energiou rozdelené na base a peak konraky a následne do desiaich skupín podľa zosakovej doby do exspirácie konraku (resp. doby do započaia dodávky elekrickej energie ev. finančného vysporiadania konraku). Nerozlišujeme konraky na mesačné, švrťročné, a ročné. Takéo členenie využijeme pri aplikácii dvojfakorového modelu Rozdelenie výnosov a šrukúra hisorických volailí Podobne ako v prípade členenia konrakov aplikovaného v predošlej subkapiole, Lillieforsov es normaliy rozdelenia realizovaných výnosov nepovrdil normaliu ani u jednej zo sledovaných skupín na hladine významnosi p-value = 0,0. Sledovanie aukorelácii v prípade oho členenia nemá význam. V skupinách konrakov sa oiž nachádza viacero konrakov s rovnakým časom do splanosi súčasne. Krivka časovej šrukúry hisorických volailí v rámci členenia konrakov podľa doby do splanosi by podľa predpokladu dvojfakorového modelu mala s pribúdajúcim časom exponenciálne klesať. Empíria PXE ale i v prípade oho členenia núi predpoklady opúšťať. 3.4 Časové rady Phelix Fuures Alernaívnym prísupom je využiie dá z Európskej Energeickej burzy v Nemecku, zv. Phelix Fuures. Fak, že sa jedná o fuures na elekrickú energiu s dodávkou v rámci iného geografického územia, nie je prekážkou v ich využií pre modelovanie volailí českých fuures, keďže sa ich vzájomné korelačné koeficien cenového vývoja dlhodobo pohybujú nad hranicou 0,9. Výhodou využiia nemeckých dá je predovšekým vyššia likvidia rhu a s ým súvisiaci menší poče dní s nulovým pohybom.

7 4 Aplikácia modelov 4. Aplikácia modelu GARCH Model GARCH bol aplikovaný na každú časovú radu z abuľky č. zvlášť. Dvojročná hisória bola rozdelená dňom na dve polovice. Prvá polovica dá bola využiá k počiaočnej kalibrácii modelu. Následne bola aplikovaná dynamická kalibrácia, vždy s posunom o jeden obchodný deň a pamäťou 50 kalendárnych dní. Požadovaná marža (VaR) pre každý nasledujúci obchodný deň (+) bola odhadnuá ako 99-percenný kvanil z 000 počíačových simulácií s využiím paramerov modelu získaných z časovej rady (- 50,). Celkovo bolo sanovených 365 maržových koeficienov pre každú z 8 časových rád. Idenický posup bol aplikovaný na časové rady cenového vývoja konrakov Phelix Fuures z EEX. 4. Aplikácia dvojfakorového modelu Podobne ako v prípade GARCH modelov bola prvá polovica dá využiá k počiaočnému odhadu paramerov. Rozdelenie konrakov rešpekuje špecifikáciu v subkapiole 3.. Paramere φ=(σ, σ, κ) boli odhadnué meódou najmenších švorcov kde na rozdiel pôvodnej aplikácie na EEX neboli k dispozícii implikované volailiy z cien opcií na fuures. Z oho dôvodu boli využié hisorické volailiy, denné, počíane vždy z posledných 50 obchodných dní. (4.) i ( ( ) ϕ VolHisorical FTi,... Fni Volmod el ( FTi,... Fni) ) ϕ Idenický posup bol aplikovaný na časové rady cenového vývoja konrakov Phelix Fuures z EEX. min 5 Záver: Zpané esovanie modelov (backesing) 5. Výsledky späného esovania V rámci späného esovania hodnoíme ri ukazovaele a síce poče prípadov prekročenia marže Value a Risk (N), suma negaívnych diferencií (EDS) a sumu diferencií.

8 Indikáor Model Bl konraky suma Pl konraky suma N PXE Margins GARCH PXE 7 0 GARCH EEX TFM PXE 73 TFM EEX EDS PXE Margins,686,39 GARCH PXE,754,53 GARCH EEX,577,485 TFM PXE 4,5 4,0775 TFM EEX,9958,883 DS PXE Margins 60,60 347,85 GARCH PXE 7,96 84,48 GARCH EEX 6,65 5,99 TFM PXE 4,87 5,63 TFM EEX 76,33 08,48 Poče pozorovaní Tab.č.: Výsledky backesingu. Zdroj: Vlasná analýza 5. Záver Pri danom poče pozorovaní je inerval poču prekročení pre nezamienuie hypoézy o správnosi modelu v rozmedzí 9 až 49 prekročení. Podľa oho kriéria by sme mohli akcepovať iba dvojfakorový model, kde k odhadu paramerov boli využié časové rady z nemeckej EEX, no iba pre prípad peak load konrakov. Burzové maržové paramere naše kriériu prekračujú len mierne, podobne GARCH model posavený opäť na dáach z EEX. Naopak, suma veľkosí jednolivých prekročení je najnižšia v prípade využiia maržových koeficienov PXE, nasledovaná modelom GARCH EEX a TFM EEX. Ďalším zaujímavým záverom je, že časové rady priamo z PXE sú nevhodné pre aplikáciu GARCH a TFM modelu. Pri inerpreácii záverov je ale nuné vziať v úvahu niekoľko fakov. Maržové koeficieny PXE zaznamenali v sledovanom období priaznivé výsledky, no ceny fuures konrakov kráčali v priebehu sledovaného obdobia v oblasi hisorického dna, kde ceny jednolivých konrakov dosahovali polovicu či reinovú úroveň hodnô predošlého vrcholu. Maržové koeficieny burzy sú sanovené fixne, na dobu neurčiú, v EUR na MWh elekrickej energie. Percenuálne sú ak marže (pri nižších cenách fuures konrakov a fixných maržách v EUR) vyššie. Burza priom zrejme zámerne ponechala koeficieny nezmenené, eda v percenuálnom vyjadrení na vyššej úrovni, čo zapríčinilo ich relaívnu úspešnosť v našom backesingu. Fixne sanovené maržové koeficieny v EUR môže však pri srmom rase cien znamenať ich prudké zníženie v percenuálnom vyjadrení. Aj z oho dôvodu je nuné clearingovým bankám i samoným obchodníkom odporučiť vývin inerného modelu pre sanovenie marží či výpoče Value a Risk. Z esovaných modelov a súborov dá sa javí vhodné využiť časové rady EEX. Na omo miese je ale nuné upozorniť na určiú nekonzisenciu. Časové rady Phelix Fuures v sebe zahrňujú skoky z prelomov obdobia (mesiaca, švrťroku, či roku). Riziko ak nadhodnocujú. Aplikované modely nepredsavujú v žiadnom prípade konečný zoznam spôsobov sanovenia maržových koeficienov. Úlohou risk manažérov a vedeckých pracovníkov je nájsť model najopimálnejší, ak aby pomohol vyvoriť sabilnú a zároveň rozvíjajúcu sa ržnú plaformu pre obchodovanie s elekrickou energiou.

9 Lieraúra [] ARLT, J., M., ARLTOVÁ, M.: Ekonomické časové řady. Grada Publishing, Praha, 007. [] CULOT, M., GOFFIN, V., LAWFORD,S. a kol: An Affine Jump Diffusion Model for Elecriciy. Elecrabel SA, 006. [3] MEYER-BRANDIS, T.,TANKOV, P.: Muli-facor jump-diffusion models of elecriciy prices. Europlace Insiue of Finance, 006. [4] PAPEŽ, M.: Verifikace VaR modelu back esing [5] RUEDIGER, K., SCHINDLMAYR G., REIK, H. B.: A Two-Facor Model for he Elecriciy Forward Marke. Universa Karlsruhe, Karlsruhe, 005 [6] Summary Sudy Volailiy of PXE elecriciy fuures conracs modeling describes wo basic mehods for modeling elecriciy fuures conracs prices volailiy GARCH and Two Facors Models. Applicaion is illusraed on Czech elecriciy fuures marke of Power Exchange Cenral Europe. Models are applied in he process of margins (Value a Risk) calculaion. Backesing mehod is used in order o assess models suiabiliy. Resuls of models suiabiliy is compared o official exchange margins as well.