fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky

Transcription

1 fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky Bratislava 2008 Martin Takáč

2 Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského v Bratislave Ekonomická a finančná matematika Implikovaná a historická volatilita Semestrálna práca Martin Takáč Bratislava 2008

3 Obsah 1 Úvod 2 2 Výsledky International Business Machines Corp. (IBM) Microsoft Corporation (MSFT) Google Inc. (GOOG) Sun Microsystems Inc. (JAVA) Advanced Micro Devices Inc. (AMD) Záver 20 4 Prílohy Zostrojenie volatility smile Zostrojenie volatility structure Zistenie bezrizikovej úrokovej miery Výpočet implikovanej volatility Výpočet ceny opcie

4 1 Úvod Ciel om projektu bolo ukázat, že reálne opčné dáta nespĺňajú Black-Scholesove predpoklady na oceňovanie finančných derivátov. Pre každú z piatich akcií sme zostrojili nasledovné grafy: vývoj ceny akcie, volatility smile - závislost implikovanej volatility od strike (X), volatility smile - závislost implikovanej volatility od strike (X/S), volatility structure - závislost implikovanej volatility od času do expirácie (T). Zaoberali sme sa nasledovnými akciami: International Business Machines Corp. (IBM) Microsoft Corporation (MSFT) Google Inc. (GOOG) Sun Microsystems Inc. (JAVA) Advanced Micro Devices Inc. (AMD) Sú to prevažne akcie firiem, ktoré sa zaoberajú IT. Nakol ko daná úloha bola dost pracná, naprogramovali sme skripty v MatLabe, na výpočty a generovanie obrázkov. Dané skripty uvádzame v prílohe. Na odhad historickej volatility používame výnosy za posledných cca. 60 dní. 2

5 2 Výsledky 2.1 International Business Machines Corp. (IBM) Informácie o opcii Opcia na akciu: IBM Cena akcie: Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: Bezriziková úroková miera (p.a.): Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 75 47,80 1, , ,90 0, , ,90 0, , ,90 0, , ,90 0, , ,90 0, , ,90 0, , ,90 0, , ,80 0, , ,35 0, , ,35 0, , ,15 0, , ,10 0, , ,05 0, , ,05 0, , Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=120) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj , , , , Jún , , , , Júl , , , , Október , , , , Január , , , , Január , , , ,

6 4

7 5

8 2.2 Microsoft Corporation (MSFT) Informácie o opcii Opcia na akciu: MSFT Cena akcie: Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: Bezriziková úroková miera (p.a.): Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 24 5,80 0, , ,80 0, , ,85 0, , ,86 0, , ,95 0, , ,20 0, , ,64 0, , ,32 0, , ,16 0, , ,07 0, , ,05 0, , ,03 0, , ,01 0, , Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=30) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj , , , , Jún , , , , Júl , , , , Október , , , , Január , , , , Január , , , ,

9 7

10 8

11 2.3 Google Inc. (GOOG) Informácie o opcii Opcia na akciu: GOOG Cena akcie: Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: Bezriziková úroková miera (p.a.): Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: ,60 1, , ,80 1, , ,10 1, , ,10 1, , ,00 1, , ,10 1, , ,10 1, , ,40 1, , ,10 0, , ,20 0, , ,00 0, , ,30 0, , ,30 0, , ,60 0, , ,60 0, , ,40 0, , ,50 0, , ,50 0, , ,20 0, , ,30 0, ,

12 Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: ,40 0, , ,50 0, , ,00 0, , ,20 0, , ,40 0, , ,60 0, , ,40 0, , ,80 0, , ,90 0, , ,30 0, , ,50 0, , ,80 0, , ,50 0, , ,70 0, , ,50 0, , ,80 0, , ,20 0, , ,00 0, , ,05 0, , ,50 0, , ,15 0, , ,90 0, , ,60 0, , ,50 0, , ,40 0, , ,35 0, , ,30 0, , ,20 0, ,

13 Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=540) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj , , , , Jún , , , , September , , , , December , , , , Január , , , , Január , , , ,

14 12

15 13

16 2.4 Sun Microsystems Inc. (JAVA) Informácie o opcii Opcia na akciu: JAVA Cena akcie: Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: Bezriziková úroková miera (p.a.): Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 10 5,50 1, , ,50 0, , ,51 0, , ,59 0, , ,85 0, , ,35 0, , ,11 0, , ,04 0, , ,02 0, , Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=15) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj , , , , Jún , , , , Júl , , , , Október , , , , Január , , , , Január , , , ,

17 15

18 16

19 2.5 Advanced Micro Devices Inc. (AMD) Informácie o opcii Opcia na akciu: AMD Cena akcie: Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: Bezriziková úroková miera (p.a.): Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 3 3,10 1, , ,09 1, , ,12 0, , ,29 0, , ,05 0, , ,02 0, , ,02 0, , ,01 0, , ,01 1, , Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=6) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj , , , , Jún , , , , Júl , , , , Október , , , ,

20 18

21 19

22 3 Záver Daný experiment nám potvrdil, že trh nie je ideálny a nespĺňa predpoklady, za ktorých platí Black-Scholesova rovnica. Konkrétne na trhu existujú transakčné náklady, akcie vyplácajú dividendy, výnosy akcií nie sú normálne, nedá sa požičiavat si l ubovol ne vel a pri bezrizikovej úrokovej miere, a mnohé iné. Celkovo sme si všimly, že implikovaná volatilita nie je vodorovná krivka, ako predpokladá teória. Ďalej sme si všimli, že najmenšia implikovaná volatilita je v blízkosti ceny akcie, alebo inak povedané pre X S. Na nasledujúcom obrázku si môžeme všimnút, že výnosy akcií (na obrázku je akcia IBM) sú negatívne autokorelované. (Ak bol včera vynos, dnes bude strata :) - čo potvrdujú aj obrázky vývoja cien. 20

23 21

24 4 Prílohy 4.1 Zostrojenie volatility smile S = hodnota akcie; T = cas do expiracie; X = [ strike ] V = [ ceny opcii]; Prices = [ historicke ceny - denne]; vynos = log(prices(1:length(prices)-1)./prices(2:length(prices))); sigma_hist = sqrt(var(vynos)) * sqrt(255); r = getinterestrate(t) * 0.01; D = 0; sigmas = []; for i=1: length(v) temp = implikovana_sigma_bisekcia(v(i),s,d,t,x(i),r, ); sigmas = [sigmas, temp]; end sigmas = [ sigmas; sigma_hist * ones(1,length(sigmas)) ]; figure plot(x/s,sigmas) title( Volatility smile ( ) ) xlabel( X/S ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) figure plot(x,sigmas) title( Volatility smile ( ) ) xlabel( X/S ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) figure plot(length(prices):-1:1,prices) 22

25 title( Vývoj cien akce ( ) ) label( Cena akcie ) 4.2 Zostrojenie volatility structure S = cena akcie ; X = fixovany strike; V = [ ceny opcii ]; T = [ rozne casy expiracii ]; D = 0; sigmas = []; for i=1: length(v) r = getinterestrate(t(i)) * 0.01; temp = implikovana_sigma_bisekcia(v(i),s,d,t(i),x,r, ); sigmas = [sigmas, temp]; end sigmas = [ sigmas; sigma_hist * ones(1,length(sigmas)) ]; figure plot(t,sigmas) title( Volatility structure ( ) ) xlabel( T ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) 23

26 4.3 Zistenie bezrizikovej úrokovej miery function r_time_depend = getinterestrate(time_to_maturity) a = 1.23-( ); T_time = [0 3/12, 6/12, 2,3,5,10]; r_time = [a ]; is_end = false; i = 1; while ~is_end if ( time_to_maturity < T_time(i+1) )&& ( time_to_maturity > T_time(i) ) is_end = true; r_time_depend = r_time(i) + (r_time(i+1)-r_time(i))*... (time_to_maturity-t_time(i))/( T_time(i+1)-T_time(i) ); end if ( time_to_maturity == T_time(i) ) is_end = true; r_time_depend = r_time(i); end i=i+1; end end 24

27 4.4 Výpočet implikovanej volatility function sigma = implikovana_sigma_bisekcia(v,s,d,t,x,r,toll) sigma_a=0; sigma_b=20; while (sigma_b-sigma_a)>toll sigma_c= (sigma_a+sigma_b)/2; if end sigma value_of_europan_call(s,d,t,x, sigma_c, r) < V sigma_a = sigma_c; else sigma_b = sigma_c; end = sigma_c; 4.5 Výpočet ceny opcie function V = value_of_europan_call(s,d,t,x,sigma,r) V=S.*(( exp(-d*t)*0.5*( 1 + erf ( 1/(sqrt(2*T)*sigma)*... ( (r-d+sigma^2*0.5 )*T + log(s./x) ) )) )... - (X/S)*exp(-r*T)*0.5*( 1 + erf ( 1/(sqrt(2*T)*sigma)*... ( (r-d-sigma^2*0.5 )*T + log(s./x) ) ))); 25