Využitie aproximácie rozdelenia časovo spriemernenej hodnoty náhodnej premennej pri oceňovaní ázijských opcií
|
|
- Ronald Stanley
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BRATISLAVA Martin Takáč Využitie aproximácie rozdelenia časovo spriemernenej hodnoty náhodnej premennej pri oceňovaní ázijských opcií Študentská vedecká konferencia 29 Vedúci práce: doc. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc.
2 Prehlasujem, že túto prácu som vypracoval sám, iba s použitím uvedenej literatúry a s pomocou môjho vedúceho.... Martin Takáč
3 Aj touto cestou by som sa chcel pod akovat vedúcemu práce Danielovi Ševčovičovi za jeho odborné vedenie, pripomienky, návrhy a za množstvo času a trpezlivosti, ktoré mi venoval pri vypracovávaní tejto práce.
4 Abstrakt V práci odvádzame aproximatívny vzorec na oceňovanie ázijských opcií bez možnosti predčasného uplatnenia. Pomocou momentovej vety odhadneme parametre log-normálneho rozdelenia, ktorým aproximujeme nekonečný súčet navzájom korelovaných log-normálnych rozdelení. Ukazuje sa, že táto aproximácia je vhodná len pre malé časy T do expirácie a pri malej volatilite podkladového aktíva σ. Na rozdiel od klasického spriemerovania odvádzame momenty pre vážený aritmetický priemer. Nakoniec uvádzame možné vylepšenia použitím posunutého log-normálneho rozdelenia, či tzv. generalized extreme value rozdelenia.
5 Obsah Úvod a motivácia 3. Motivácia Opčné deriváty Typy opcií Ázijské opcie Oceňovanie average rate opcií bez možnosti predčasného uplatnenia 8 2. Idea odvodenia Binárne stromy Výpočet momentov pre obyčajné spriemerovanie Zovšeobecnené spriemerovanie Odhad momentov pre váhovaciu funkciu exp( λξ) Odhady parametrov Metóda Monte-Carlo simulácií Numerické výsledky Plánované vylepšenia Zovšeobecnenia Zhrnutie 24 4 Prílohy Monte-Carlo simulácia Ocenenie ázijskej opcie pomocou Monte Carlo simulácií.. 26
6 Glosár Arbitráž: vykonanie niekol kých obchodov na trhu za účelom obdržania garantovaného bezrizikového zisku. Derivát: cenný papier, ktorého hodnota je závislá (odvodená) od už existujúcich cenných papierov na trhu. Kontrakt: zákonne platná dohoda medzi dvoma stranami. Payoff: výplata derivátu definovaná ako nominálna hodnota mínus strike price. Strike price: pevne dohodnutá cena, za ktorú môže byt cenný papier predaný alebo kúpený vo vopred stanovenom čase. Zoznam symbolov σ - volatilita. τ - čas, ktorý ostáva do maturity. S - cena podkladového aktíva. r - bezriziková úroková miera. E - expiračná cena (strike price). A t - aritmetický priemer cien akcií, A t = t t S t. 2
7 Kapitola Úvod a motivácia. Motivácia V posledných rokoch rastie objem obchodovaných exotických opcií. Nemalú čast tvoria práve Ázijské opcie. Ked že neexistuje explicitný vzorec na ich ocenenie (v prípade aritmetického spriemerovania), vzniklo mnoho metód ako vypočítat cenu opcie. Niektoré algoritmy založené na binárnych stromoch potrebujú stovky až tisíce sekúnd na výpočet ceny opcie (vid. napr. ). Preto naším ciel om bude nájst aproximatívny explicitný vzorec na ocenenie Ázijskej opcie. Na rozdiel od štandardného aritmetického spriemerovania budeme uvažovat aj vážené aritmetické spriemerovanie so všeobecnou váhovacou funkciou a(ξ)..2 Opčné deriváty Finančné deriváty sú odvodené od aktív (akcie, komodity,...), burzových indexov, menových kurzov,... Spoločným názvom v angličtine underlaying. Základnými typmi finančných derivátov sú opčné deriváty, forwardy, futurity a swapy. V práci sa budeme zaoberat iba opčnými derivátmi (opciami). Opcia je právo (nie povinnost ) kúpit alebo predat určité podkladové aktívum alebo finančný nástroj v stanovenom termíne (expiration date) za 3
8 vopred dohodnutú cenu (strike price). Ak sa opcia môže realizovat pred časom vypršania, tak hovoríme o Americkej opcie. Ak sa môže realizovat iba v čase vypršania, hovoríme o Európskej opcie. Kúpna opcia (call option) je kontrakt, ktorý dáva vlastníkovi právo kúpit dané podkladové aktívum v časte vypršania za dohodnutú cenu. Predajná opcia (put option) je kontrakt, ktorý dáva vlastníkovi právo predat dané podkladové aktívum v čase vypršania za dohodnutú cenu. Exotické opcie sú všetky opcie, ktoré nie sú definované ako štandardné (plain-vanilla-option). Obchodník môže na opčnom trhu zaujat nasledovné pozície: kúpa kúpnej opcie (long call), predaj kúpnej opcie (short call), kúpa predajnej opcie (long put), predaj predajnej opcie (short put). Predpokladajme, že sme vypisovatel om Európskej call opcie. Nech opčná cena je X, cena podkladového aktíva je S, bezriziková úroková miera je r a opčný obchod sa uzatvára na čas T. Dilemou je, za akú cenu V máme danú opciu predat. Táto cena sa volá opčná prémia (option premium, option value). Riešenie je možné nájst postupom opísaným v 7, 4, 2. O podkladovom aktíve sa predpokladá, že sleduje nasledovný stochastický proces: kde W t je Wienerov proces. Za nasledovných predpokladov S t = S exp(µt + σw t ), vylúčenie arbitráže (no riskless arbitrage opportunities), obchodovat sa dá nepretržite, bezriziková úroková miera je konštantná a každému známa, nie sú žiadne transakčné náklady a neplatia sa žiadne dane, aktíva neplatia žiadne dividendy, aktíva sú perfektne delitel né, možnost požičast, resp. požičat si l ubovol ne vel a peňazí za bezrizikovú úrokovú mieru. 4
9 a skonštrulovaním bezrizikového portfólia pozostávajúceho z opcií, akcií a dlhopisov dostávame nasledovnú Black-Scholesovú parciálnu diferenciálnu rovnicu. V τ + σ2 2 V V 2 S2 + rs rv =. (.) S2 S Počiatočnú podmienku určíme nasledovne: v čase expirácie platí (τ = ), že Podl a 4 je riešením (.) a (.2): kde V (S, ) = max{s X, }. (.2) V (S, τ) = SN(d ) Xe rτ N(d 2 ), (.3) N(x) = x 2π e t2 2 dt je distribučná funkcia normálneho rozdelenia s µ = a σ =, a d = ln S X d 2 = d σ τ = ln S X + (r + σ2 2 )τ σ τ (.4) σ2 + (r )τ 2 σ. (.5) τ.2. Typy opcií Opcie môžeme rozdelit podl a viacerých kritérií. Jedným kritériom môže byt napr. na aké podkladové aktívum sú naviazané. Tu môžeme zaradit napr.: opcie na akcie, opcie na opcie, opcie na na výmenné kurzy, opcie na úrokové miery. Iným kritériom môže byt možnost predčasného uplatnenia opcie. Rozoznávame teda opcie: 5
10 s možnost ou predčasného uplatnenia (tzv. americké opcie). Sú to opcie, ktoré môžeme uplatit ešte pred stanovenou dobou maturity T, bez možnosti predčasného uplatenia (tzv. európske opcie). Opcia vyprší v čase expirácie T. Ďalším nemenej významným kritériom je, či cena pay-off záleží od vývoja akcie do času expirácie (jedná sa o tzv. exotické opcie). Sem patria napr.: ruské opcie (cena opcie je funkciou maximálnej, resp. ceny podkladového aktíva), minimálnej bariérové opcie, lookback opcie, ázijské opcie..3 Ázijské opcie Ázijské opcie sú typom opcií, ktoré závisia aj od historického vývoja ceny podkladového aktíva. V d alšom sa zameriame výlučne na opcie, kde podkladovým aktívom sú akcie. V prípade ázijských opcií je pay-off funkciou aj historického priemeru cien akcií. Použitie Ázijské opcie sú užitočným finančným nástrojom na zaist ovanie špecifických typov aktív, akými môžu byt napr. ropa, obilie,... Vel kou výhodou týchto opcií je aj to, že výsledný pay-off nie je vel mi citlivý od aktuálnej ceny akcie. Podl a typu spriemerovania rozlišujeme opcie s aritmetickým spriemerovaním A t = t t s geometrickým spriemerovaním ln A t = t Podl a pozície A t v pay-off poznáme dva typy: S ξ dξ, t ln S ξ dξ. Average rate call (V (S, A, T ) = max{, A E}), resp. put (V (S, A, T ) = max{, E A}). 6
11 Average strike call (V (S, A, T ) = max{, S A}), resp. put (V (S, A, T ) = max{, A S}). Poznamenajme, že v prípade geometrického spriemerovania existujú explicitné vzorce na oceňovanie ázijských opcií (podrobnejšie o geometrickom spriemerovaní možno nájst v 4). 7
12 Kapitola 2 Oceňovanie average rate opcií bez možnosti predčasného uplatnenia V súčasnej dobe nie je známy explicitný vzorec na ocenenie Ázijskej opcie 4. Riešenie sa preto musí hladat rôznymi aproximatívnymi metódami. Medzi základné metódy ocenenia Ázijskej opcie patrí: numerický prístup - spočíva v Monte Carlo simulácií, riešenie PDR metódou konečných diferencií, analytická aproximácia - spočíva v aproximácii rozdelenia A T a odvodení aproximatívneho explicitného vzorca na výpočet ceny opcie, odhad dolného a horného ohraničenia ceny opcie. Viac o tejto problematike vid. v 4. V tejto kapitole odvodíme prvé dva momenty náhodnej premennej A T v prípade ako jednoduchého aritmetického spriemerovania, tak aj v prípade váženého spriemerovania. Pomocou mometovej vety odhadneme parametre log-normálneho rozdelenia a nakoniec odvodíme aproximatívny explicitný vzorec na oceňovanie ázijskej average rate opcie. 8
13 2. Idea odvodenia Je známe (vid. 7, ), že cena call opcie sa dá vypočítat ako V (S, A, ) = e rt E Q (A T E) +, (2.) kde (ξ) + = max{, ξ} a Q je technická, rizikovo neutrálna pravdepodobnost (jej existencia je zaručená Girsanovova lemov) a A T = T S ξ dξ. Lema 2.. (Girsanovova). Nech W t (ω), t T, je Brownov pohyb na (Ω, F, P ). Nech γ t (ω) je Ft W -adaptovaný proces, pre ktorý ( T ) E P exp γt 2 dt <. 2 Potom existuje miera Q na (Ω, F) taká, že Q P (miera Q a P sú navzájom ekvivalentné), dq ( (ω) = exp γ t (ω)dw t (ω) ) γt 2 (ω)dt, dp 2 W t (ω) = W t (ω) + t γ s(ω)ds je Brownov pohyb na (Ω, F, Q). Pre ds pri pravdepodobnostnej miere P platí ds t = S t σdw t + S t µdt + 2 σ2 S t dt. Dá sa ukázat, že pre rizikovo neutrálnu mieru Q musí platit (vid. 7), že proces Z t = e rt S t musí byt Ft W -martingal. A teda tento proces musí mat nulový drift. Potom dostávame, že pri rizikovo neutrálnej pravdepodobnosti Q pre proces S t platí: ( S t = S exp σ W t + rt ) 2 σ2 t, (2.2) kde W t je Wienerov proces na (Ω, F, Q). Z Itóovej lemy potom pre ds t platí ds t = Srdt + Sσd W t. (2.3) V d alšom budeme namiesto W t písat iba W t, lebo v d alšom budeme uvažovat už len mieru Q. 9
14 2.. Binárne stromy Pre vývoj ceny akcie predpokladáme, že sleduje geometrický Brownov pohyb, teda S(t + dt) = S(t) exp (r 2 ) σ2 dt + σdw t, (2.4) kde W t je Wienerov proces, r rizikovo neutrálna miera a σ je volatilita. Binárny vývoj akcie predpokladá, že cena akcie sa môže zvýšit z S na S u, kde u > s pravdepodobnost ou p, alebo znížit na S d (d < ) s pravdepodobnost ou p. Ukážka vývoja v dvoj-etapovom binárnom strome je na obr. 2.. Obrázok 2.: Ukážka dvoj-etapového binárneho stromu. Ak by sme mali n-etapový binárny strom, tak potom jedna etapa predstavuje čas t = T. Potom pre (vid. ) n p = er t d u d, (2.5) u = e σ t, (2.6) d = u, (2.7) bude binárny strom správne popisovat vývoj akcie (pri rizikovo neutrálnej miere Q).
15 Naším hlavným ciel om je vypočítat hodnotu V (S, A, ). Aby sme to mohli urobit, potrebovali by sme vediet rozdelenie A a potom pomocou vzorca (2.) už l ahko ocenili danú opciu. Je zrejmé, že S t má lognormálne rozdelenie. Taktiež je známe, že súčet lognormálnych náhodných veličín nie je lognormálny, ale dá sa za istých predpokladov (σ <.4) dobre aproximovat lognormálnym rozdelením. 2.2 Výpočet momentov pre obyčajné spriemerovanie Na odhadnutie parametrov lognormálneho rozdelenia môžeme použit napr. momentovú metódu. Ked že lognormálne rozdelenie je dvoj-parametrické rozdelenie, tak potrebujeme určit presne dva momenty veličiny A T. Daný problém v prípade obyčajného spriemerovania bol už riešený (vid. napr.,,8), no v práci odvádzame momenty iným spôsobom. Najprv spojitý proces zdiskretizujeme na n častí a následne vypočítame limity pre n. Daný postup je jednoduchší v prípade odvádzania vyšších momentov. V d alšej časti odvodíme momenty v prípade váženého spriemerovania. Lema Pre EA T platí exp(rt ) EA T = S. (2.8) rt Dôkaz: Najprv budeme aproximovat spojitý proces S t diskrétnym procesom a nakoniec limitným prechodom dostaneme tvrdenie uvedenej lemy. Nech ξ j sú alternatívne rozdelené, nezávislé náhodné premenné, ktoré nadobúdajú hodnoty u s pravdepodobnost ou p a d s pravdepodobnost ou p. Definujme k ξ =. Potom S k t = S ξ j. Označme j= Potom µ = Eξ = p(u d) + d = er t d u d (u d) + d = er t. EA T E n + n + i= i S E i= j= S i t n + ξ j n + i= E S i t = i= S i Eξ j = j=
16 n + n + i= i= S n + S + e r T n (n+) + e r T n = S ( + e rt ) lim i j= µ n + S µ i = i= S µ i n + S µ n+ µ = ( ) = S lim + e r T n (n+) n+ + e r T n (n+) 2 e r T n rt n 2 = S + e rt rt. = Lema Pre EA 2 T platí EA 2 T = S 2 2 exp(β) exp(α) α β α kde α = rt, β = 2(r + 2 σ2 )T. exp(β), (2.9) β Dôkaz: Označme ν = Eξ 2 = µ(u + d), η = µ, ζ = νη. Potom (n + ) 2 S 2 EA 2 n = E = E = i= ν (2 i i= i k= j= j=i+ ξ j i= k ξ l = l= µ j i + S S i t 2 = E ) = i= i E k= j= i= j= ξ j 2 i ξ j = k ξ l = l= ) n i ν (2 i µ j + = i= j= = i= ( ν i 2µ ) µn i µ + = i= ( ) 2µ ν i µ + η i 2µn+ = µ Je zrejmé, že = νn+ ν ( ) 2µ µ + 2 µn+ µ ζ n+. ζ 2
17 lim lim n + lim ν n+ n + ν ( ) 2µ µ + lim 2µ n+ n + µ ζ n+ ζ n + = + exp(β), β = 2 α, exp(α) = 2, α = + exp((r + σ2 )T ). (r + σ 2 )T Potom S 2 EA 2 T (n + ) 2 = 2 α Lema Pre ES T A T platí { ν n+ ν exp(β) exp(α) β α ES T A T = S 2 kde α = rt, β = 2(r + 2 σ2 )T. ( ) 2µ µ + 2µn+ µ exp(β). β } ζ n+ = ζ exp(β) exp(α), (2.) β α Dôkaz: Podobne ako v predchádzajúcich dôkazoch, spojitý proces najprv zdiskretizujeme a nakoniec prejdeme limitou k pôvodnému spojitému problému. ES T A T n + E S T S S i t = i= ( n + E n ( ) i S ξ j) S ξ k = j= i= k= ( S 2 n ) n + E i ξ j ξ k = S 2 n + E ( n i= j= ξ j i k= i= j= k= ξ k ) S 2 n + ( ) µ n i ν i = i= 3
18 S 2 n + µn ( i= S 2 µ n+ ν n+ n + µ ν ( ) ) i ν S 2 νn+ µ n µ n + µn = νµ = S 2 e rt e(r+s2 )T (r + s 2 )T = S2 2.3 Zovšeobecnené spriemerovanie exp(β) exp(α). β α V predchádzajúcej časti sme sa venovali prípadu, kedy A t = S ξ dξ. V t tejto časti sa budeme zaoberat prípadom, kde budeme uvažovat vážený a- ritmetický priemer s váhovacou funkciou a(ξ). V praxi sa totižto obchodujú opcie, ktoré sa spriemerovávajú napr. posledných k dní pred expiráciou. Všeobecný vážený priemer môžeme teda zapísat ako A T = a(ξ)dξ Príklady váhovacích funkcií sú napríklad: a(t ξ)s ξ dξ. exponenciálne váhovnaie a(ξ) = exp( λξ), {, pre ξ ε spriemerovávanie pred expiráciou a(ξ) =, pre ξ < ε Odhad momentov pre váhovaciu funkciu exp( λξ) V tejto časti odhadneme momenty A T, kde A T = exp( λξ)dξ e λ(t ξ) S ξ dξ je vážený aritmetický priemer s váhovacou funkciou a(ξ) = exp( λξ). Lema Pre ES T A T platí t ES T A T = S 2 e λξ dξ e 2(r+ 2 s2 )T e (r+λ)t (λ + r + s 2 )T. 4
19 Dôkaz: Označme si ω = exp(λ t), ϱ = ων. Potom ES T A T e λξ dξ n + E S T e λt n + E S T e λt n + E S e 2 λt ( S 2 e λt n + E n ω i i= S e 2 λt n + µn S ( n S e λt +λ i t S i t = i= S ω i S i t = i= ξ j) j= i= ( n + E n ω i ( i= j= ξ j i k= ( ) ) i ϱ µ i= S e 2 λt µ n+ ϱ n+ n + µ ϱ j= ω i ( ξ j S ) i ξ k = k= ) i ξ k = k= ) S ξ k e 2 λt n + ( ) ω i µ n i ν i = i= S e 2 λt ϱn+ µ n n + µn = ϱµ = S 2 e rt e λt e(λ+r+s2 )T (λ + r + s 2 )T = = S 2 e 2(r+ 2 s2 )T e (r+λ)t. (λ + r + s 2 )T Poznámka: Ak vypočítame lim λ ES T A T, tak dostávame (2.). Lema (Itóova izometria 2, 9). Nech pre meratel nú funkciu f : (, t) R platí t f 2 (ξ)dξ <. Nech W t je Wienerov proces. Potom existuje Itóov integrál t f(ξ)dξ, ktorý predstavuje normálne rozdelenú náhodnú premennú s rozdelením N(, σ 2 (t)), kde σ 2 (t) = t f(ξ)2 dξ. Potom platí: ( t ) 2 t E f(ξ)dw ξ = f(ξ) 2 dξ. (2.) Nech {S ξ, ξ } je stochastický proces. Potom platí ( t ) 2 t E S ξ dw ξ = E Sξ 2 dξ. (2.2) 5
20 Lema Pre ES t platí ES t = S e rt. Dôkaz: ES T S E n i= ξ i S n i= Eξ i S µ n = S e rt. Lema (Prvý moment v prípade váženého spriemerovania pre l ubovol nú váhovaciu funkciu). Pre EA T platí EA T = S a(ξ)dξ a(t ξ)e rξ dξ. Dôkaz: EA T Poznámka : a(ξ)dξ = E = a(t ξ)s ξ dξ = a(t ξ)es ξ dξ = a(t ξ)s e rξ dξ. a(t ξ)e rξ dξ je konvolúcia jadra a( ) a exp(r ). Poznámka 2: Ak uvažujeme a(ξ) = exp( λξ), tak EA T = S e λξ dξ e λ(t ξ) e rξ λ dξ = S e(λ+r)t λ + r e λt = e λt λ e rt e λt = S λ + r e. λt Lema (Druhý moment v prípade všeobecného spriemerovania). Pre EA 2 T platí ( ) 2 EA 2 T = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds a(t ξ)sσdw ξ +E (a(t ξ)sσ) 2 dξ. 6
21 Dôkaz: r 2 EA 2 T = r 2 E Z rovnice (2.3) dostávame, že Potom ( r 2 E ( = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds ( ) 2 a(t ξ)s ξ dξ. Sdξ = ds SσdW ξ. (2.3) r ) 2 ( ) 2 a(t ξ)s ξ dξ = E a(t ξ)(ds SσdW ξ ) = ) 2 ( ) 2 a(t ξ)sσdw ξ ) = E a(t ξ)ds ( ) 2 a(t ξ)sσdw ξ + E a(t ξ)sσdw ξ. Použitím Itóovej izometrie dostávame ( ) 2 = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds a(t ξ)sσdw ξ +E (a(t ξ)sσ) 2 dξ. Lema (Druhý moment v prípade váženého spriemerovania pre exponenciálnu váhovú funkciu). Pre EA 2 T platí EA 2 T = S2 2 exp( β) exp( α) exp( β), (2.4) k 2 α β α β kde α = (r + λ)t, β = 2(r + 2 σ2 + 2 λ)t, k = exp( λξ)dξ. Dôkaz: Označme ν = Eξ 2 = µ(u+d), η = π, ζ = ϱη, ω = exp(λ t), ϱ = ων, π = ωµ. Potom (n + ) 2 S 2 EA 2 n = E i= S S i t e λ(t i t) 2 = E e λt ω i i= j= 2 i ξ j = 7
22 = e 2λT E ω i ω k i ξ j k i ξ l = e 2λT ω i ω k E i= k= j= l= i= k= j= l= ξ j k ξ l = = ) ν i ω (2 i ω j i µ j i + = i= j=i+ ) n i ϱ (2 i π j + = i= j= = i= ( ϱ i 2π ) πn i π + = i= ( ) 2π ϱ i π + η i 2πn+ = π Je zrejmé, že = ϱn+ ϱ ( ) 2π π + 2 πn+ π ζ n+. ζ Potom lim lim n + lim ϱ n+ n + ϱ ( ) 2π π + lim = + )T e(λ+2r+s2 + exp( β) =, (λ + 2r + s 2 )T β 2 = (λ + r)t = 2 α, 2π n+ n + π = 2e(λ+r)T (λ + r)t ζ n+ n + ζ S 2 EA 2 T (n + ) 2 = 2 α = + e(r+s2 )T (r + s 2 )T. { ϱ n+ ϱ exp( α) = 2, α ( ) 2π π + 2 πn+ π exp( β) exp( α) exp( β). β α β } ζ n+ = ζ Poznámka: Tento vzorec je skoro totožný so vzorcom pre jednoduché spriemerovanie, až na to, že namiesto parametrov α, β tu vystupujú α, β. Je zrejmé, že lim α = α a lim β = β. λ λ Podarilo sa nám odvodit prvé dva momenty pre exponenciálne vážené aritmetické spriemerovanie. 8
23 2.4 Odhady parametrov V tejto časti odhadneme momentovou metódou parametre lognormálneho rozdelenia. Nech ψ je náhodná veličina s lognormálnym rozdelením s parametrami ϕ, χ. Potom hustota pravdepodobnosti je {, pre x f ψ (x, ϕ, χ) = xχ exp (ln(x) ϕ)2, pre x > 2π 2χ 2 a distribučná funkcia F ψ (x, ϕ, χ) = {, pre x + erf ln(x) ϕ 2 2 χ, pre x >. 2 Ďalej platí Eψ = e ϕ+ 2 χ2, ( ) V arψ = e χ2 e 2ϕ+χ2. Ked že poznáme skutočné prvé dva momenty A T, vieme aplikovat momentovú vetu a odvodit parametre ϕ, χ. Platí ϕ = ln(eψ) ( 2 ln + V arψ ), (Eψ) 2 χ 2 = ln ( + V arψ (Eψ) 2 Nakol ko V arψ = Eψ 2 Eψ 2, tak ϕ = ln(eψ) 2 ln Eψ2 + ln(eψ) = 2 ln(eψ) 2 ln Eψ2, χ 2 = ln Eψ2 (Eψ) 2. Po dosadení Eψ a Eψ 2 dostávame ( ) exp(α) ϕ = 2 ln S 2 ( α ln χ 2 = ln S 2 2 exp(β) exp(α) exp(β) α β α β ( S 2 exp(α) α S 2 ). ) 2 = ln 9 2 exp(β) exp(α) exp(β) α β α β 2 α exp(β) exp(α) exp(β) β α β ( exp(α) α ) 2. ),
24 Ak si označíme κ = exp(α) α a θ = 2 α exp(β) exp(α) β α exp(β), tak potom β ϕ = ln S + 2 ln κ ln θ, 2 χ 2 = ln θ 2 ln κ, kde Potom κ = ert, rt θ = 2 rt exp(2(r + 2 σ2 )T ) exp(rt ) 2(r + exp(2(r + 2 σ2 )T ) 2 σ2 )T rt 2(r + 2 σ2 )T. V (S, ) = e rt E Q (A T E) + = e rt (x E) + f ψ (x, ϕ, χ) dx = = e rt (x E) xχ 2π exp (ln(x) ϕ)2 2χ 2 E 2.5 Metóda Monte-Carlo simulácií Pomocou programu (vid. kapitolu 4.) si môžeme pre dané počiatočné hodnoty S, E, r, σ, T vygenerovat možné realizácie A T. Ak sme zvolili hodnoty nasledovne S =, σ =., r =.5, T =.5, tak sme dostali, že log-normálny fit dobre aproximuje vygenerované rozdelenie (vid. obr. 2.2). Ak sme zvolili hodnoty nasledovne S =, σ =.5, r =.5, T = 2, tak sme dostali, že log-normálny fit zle aproximuje vygenerované rozdelenie (vid. obr. 2.3). Pre tieto dáta sa ukazuje lepším tzv. Generalized extreme value rozdelenie (vid. obr. 2.4). Generalized extreme value Nech η je generalized extreme value rozdelenie s parametrami µ, σ, ξ, tak potom pre hustotu platí f η (x, µ, σ, ξ) = σ + ξ ( x µ σ ) 2 dx. ξ exp { + ξ ( x µ σ ) } ξ.
25 Generalized extreme value rozdelenie kombinuje 3 jednoduchšie rozdelenia (Gumbel, Frechet, Weibull) do jediného rozdelenia. Výhodou je, že ked fitujeme dáta týmto rozdelením, môžeme nechat dáta rozhodnút, z akého rozdelenia pochádzajú. Rozdelenia, ktorých chvosty klesajú exponenciálne (ako napríklad normálne rozdelenie) sú typu I (Gumbel). Rozdelenia, ktorých chvosty klesajú pomalšie, ako exponenciálne (napr. Studentovo t-rozdelenie) sú typu II (Frechet). Rozdelenia s konečnými chvostami (ako napr. beta rozdelenie) sú typu III (Weibull). Podrobnejšie vid. napr. v 3, 2, 5. Obrázok 2.2: Odhad hustoty A T pre S =, σ =., r =.5, T =.5 a lognormálny fit. V tomto prípade lognormálny fit je uspokojivý. Odhad prvého momentu A T bol , vypočítaný pomocou vzorca Odhad druhého momentu A T bol , vypočítaný pomocou vzorca Kernelová funkcia pre jednotlivé typy odhadu je nasledovná: normal - k(u) = 2π exp( 2 u2 ); Epanechnikov - k(u) = 3 4 ( u2 ), pre u ; box - k(u) = 2, pre x ; triangle - k(u) = u, pre u. Viac o kernelových odhadoch hustoty vid. 6. 2
26 Obrázok 2.3: Odhad hustoty A T pre S =, σ =.5, r =.5, T = 2 a lognormálny fit. V tomto prípade lognormálny fit nie je uspokojivý. Odhad prvého momentu A T bol , vypočítaný pomocou vzorca Odhad druhého momentu A T bol , vypočítaný pomocou vzorca Numerické výsledky V tabul ke 2. uvádzame numerické hodnoty a porovnanie s inými metódami. Parametre použité pri výpočte sú S =, T =, σ = Plánované vylepšenia V budúcnosti plánujeme použit aproximáciu s tzv. posunutým log-normálnym rozdelením (ak η je lognormálne rozdelenie, tak η + c je posunuté lognormálne rozdelenie), resp. Generalized extreme value rozdelením. Ked že tieto rozdelenia sú 3-parametrické, na ich odhad musíme ešte vypočítat EA 3 T Zovšeobecnenia Uvedený vzorec na oceňovanie bol pre t =. Ak sme v čase < t < T a poznáme A t = t S t τdτ, tak potom A T A t = t A T t + T ta T T t(s t, T t). Takže vieme vypočítat cenu opcie aj v čase < t < T. Ak by sme uvažovali aj dividendovú mieru q, tak oceňovacia formulka sa zmení len tak, že namiesto r budeme používat r q. 22
27 Obrázok 2.4: Histogram A T pre S =, σ =.5, r =.5, T = 2 a dva fity (generalized extreme value, lognormálny fit). E r RS-PDE T-LB T-UB AA LN MC Tabul ka 2.: Tabul ka cien opcií pre S =, T =, σ =.5. RS PDE sú hodnoty získané pomocou riešenia PDR (Roger a Shi) T LB a T UB sú dolný a horný odhad od Thompsona (2). AA je analytická aproximácia 4. LN je aproximácia pomocou Log-normálneho fitu, MC - je cena získaná z MC simulácie (vid. kapitola 4.2). 23
28 Kapitola 3 Zhrnutie Hlavným prínosom tejto práce je odvodenie prvých dvoch momentov náhodnej premennej A T v prípade váženého aritmetického spriemerovania. Taktiež uvádzame alternatívny spôsob odvodenia prvých dvoch momentov A T v prípade obyčajného spriemerovania. Aj ked presnost odvodeného aproximatívneho explicitného vzorca na cenu ázijskej average rate opcie je postačujúca len pre malé hodnoty σ a T, máme víziu vylepšit tento vzorec použitím generalized extreme value rozdelenia. 24
29 Kapitola 4 Prílohy 4. Monte-Carlo simulácia %Vstupne parametre sigma =.5;r =.5;T=2;E=;S=; %Vypocet n=2;m = ;dt = T/n; u = exp(sigma *sqrt(dt)); d = exp(-sigma *sqrt(dt)); p = (exp(r*dt)-d)/(u-d); values=; for i = :m tresh = (( rand(,n) < p )+)*(u-d)+d; temp=; for j=:n temp = (temp+)*tresh(j); end temp = (temp + )/(n+); values(i)= temp; end a=r*t; b=2*(r+.5*sigma^2)*t; format long disp('prvy moment') mean(values) 25
30 VzorecPrvyMoment = (exp(r*t)-)/(r*t) disp('druhy moment') mean(values.^2) VzorecDruhyMoment = 2/(a)*( (exp(b)-exp(a))/(b-a)-(exp(b)-)/(b) ) % Odhad hustory hname = {'normal' 'epanechnikov' 'box' 'triangle','lognormal fit'}; colors = {'r' 'b' 'g' 'm'}; for j=:4 f,x = ksdensity(values,'kernel',hname{j}); hold on; plot(x,f,colors{j}); end legend(hname{:}); % Log-normal fit phi = 2*log(VzorecPrvyMoment)-.5*log(VzorecDruhyMoment) chi = sqrt(log( VzorecDruhyMoment/VzorecPrvyMoment^2 )) y=lognpdf(x,phi,chi'); plot(x,y,'-x') hold off 4.2 Ocenenie ázijskej opcie pomocou Monte Carlo simulácií sigma =.5;r =.5;T=2;E=;S=; %Vstupne parametre n=2;m = ;dt = T/n; %Vypocet u = exp(sigma *sqrt(dt)); d = exp(-sigma *sqrt(dt)); p = (exp(r*dt)-d)/(u-d); values=; for i = :m tresh = (( rand(,n) < p )+)*(u-d)+d; temp=; for j=:n temp = (temp+)*tresh(j); end temp = (temp + )/(n+); values(i)= temp; end index = S*values> E; exp(-r*t)*/m*sum( (S*values-E).*index) 26
31 Literatúra Dai, T., Huang, G., Lyuu, Y.,: An efficient convergent lattice algorithm for Europan Asian options, Applied Mathematics and Computation 69 (2) 25, Embrechts, P., Klüppelberg, C.,Mikosch, T.,: Modelling extremal events for insurance and finance, Berlin, Spring Verlag, Help k programu Matlab (R28a). 4 Kwok, Y. K.,: Mathematical Models of Financial Derivatives, Singapore, Springer - Verlag, Leadbetter, M.R., Lindgreen, G., Rootzén, H.,: Extremes and related properties of random sequences and processes, Springer-Verlag, 983, ISBN Li, Qi, Racine, Jeffrey S.,: Nonparametric Econometrics: Theory and Practice, Princeton University Press, 27, ISBN Melicherčík I., Olšarová L., Úradníček V.,: Kapitoly z finančnej matematiky, Bratislava, EPOS, Milevsky, M.A., Posner, S.E.,: Asian options, the sum of lognormals, and the reciprocal gamma distribution, J. Finan. Quant. Anal , Oksendal,B. K.,: Stochastic Differential Equations: An introduction with Applications, Berlin, Springer, 23. Posner, S.E., Milevsky, M.A.,: Valuing Exotic Options by Approximating SPD with Higher Moments, Journal of Financial Engineering 7 (2), Posner, S.E., Milevsky, M.A.,: A closed-form approximation for valuing basket options, Journal of Derivatives 5 998,
32 2 Ševcovič, D., Stehlíková, B., Mikula, K.,: Analytical and numerical methods for pricing derivative securities, Nakladatel stvo STU, Bratislava Turnbull, S., Wakeman, L.,: A quick algorithm for pricing European average options, Journal of Financial and Quantitative Analysis 26 99, Zhang, Jin, E.,: A semi-analytical method for pricing and hedging continously sampled arithmetic average rate options, Journal of Computational Finance 5 () 2,
fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky
fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky Bratislava 2008 Martin Takáč Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského v
More informationI. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované stratégie
I. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované stratégie Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava I. Deriváty, call a put opcie, ohraničenia na ceny opcií, kombinované
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE RIZIKOVO-NEUTRÁLNYCH
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE RIZIKOVO-NEUTRÁLNYCH PRAVDEPODOBNOSTÍ VÝVOJA CIEN FINANČNÝCH NÁSTROJOV DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava, 23 Bc. Peter Štefko
More informationAnalytické aproximácie pri modelovaní cien opcií
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Analytické aproximácie pri modelovaní cien opcií Diplomová práca Bratislava 2014 Bc. Tomáš Karovič UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE
More informationLecture Note 8 of Bus 41202, Spring 2017: Stochastic Diffusion Equation & Option Pricing
Lecture Note 8 of Bus 41202, Spring 2017: Stochastic Diffusion Equation & Option Pricing We shall go over this note quickly due to time constraints. Key concept: Ito s lemma Stock Options: A contract giving
More information2.1 Mathematical Basis: Risk-Neutral Pricing
Chapter Monte-Carlo Simulation.1 Mathematical Basis: Risk-Neutral Pricing Suppose that F T is the payoff at T for a European-type derivative f. Then the price at times t before T is given by f t = e r(t
More information"Pricing Exotic Options using Strong Convergence Properties
Fourth Oxford / Princeton Workshop on Financial Mathematics "Pricing Exotic Options using Strong Convergence Properties Klaus E. Schmitz Abe schmitz@maths.ox.ac.uk www.maths.ox.ac.uk/~schmitz Prof. Mike
More informationA Moment Matching Approach To The Valuation Of A Volume Weighted Average Price Option
A Moment Matching Approach To The Valuation Of A Volume Weighted Average Price Option Antony Stace Department of Mathematics and MASCOS University of Queensland 15th October 2004 AUSTRALIAN RESEARCH COUNCIL
More informationFinancial Economics & Insurance
Financial Economics & Insurance Albert Cohen Actuarial Sciences Program Department of Mathematics Department of Statistics and Probability A336 Wells Hall Michigan State University East Lansing MI 48823
More information1.1 Basic Financial Derivatives: Forward Contracts and Options
Chapter 1 Preliminaries 1.1 Basic Financial Derivatives: Forward Contracts and Options A derivative is a financial instrument whose value depends on the values of other, more basic underlying variables
More informationM5MF6. Advanced Methods in Derivatives Pricing
Course: Setter: M5MF6 Dr Antoine Jacquier MSc EXAMINATIONS IN MATHEMATICS AND FINANCE DEPARTMENT OF MATHEMATICS April 2016 M5MF6 Advanced Methods in Derivatives Pricing Setter s signature...........................................
More informationPricing theory of financial derivatives
Pricing theory of financial derivatives One-period securities model S denotes the price process {S(t) : t = 0, 1}, where S(t) = (S 1 (t) S 2 (t) S M (t)). Here, M is the number of securities. At t = 1,
More informationOption Pricing Models for European Options
Chapter 2 Option Pricing Models for European Options 2.1 Continuous-time Model: Black-Scholes Model 2.1.1 Black-Scholes Assumptions We list the assumptions that we make for most of this notes. 1. The underlying
More informationHomework Assignments
Homework Assignments Week 1 (p 57) #4.1, 4., 4.3 Week (pp 58-6) #4.5, 4.6, 4.8(a), 4.13, 4.0, 4.6(b), 4.8, 4.31, 4.34 Week 3 (pp 15-19) #1.9, 1.1, 1.13, 1.15, 1.18 (pp 9-31) #.,.6,.9 Week 4 (pp 36-37)
More informationStochastic modelling of electricity markets Pricing Forwards and Swaps
Stochastic modelling of electricity markets Pricing Forwards and Swaps Jhonny Gonzalez School of Mathematics The University of Manchester Magical books project August 23, 2012 Clip for this slide Pricing
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZAISTENÉ A POISTENÉ Veronika Kleinová
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky ZAISTENÉ A POISTENÉ STRATÉGIE 011 Veronika Kleinová UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
More informationOptimal Stopping for American Type Options
Optimal Stopping for Department of Mathematics Stockholm University Sweden E-mail: silvestrov@math.su.se ISI 2011, Dublin, 21-26 August 2011 Outline of communication Multivariate Modulated Markov price
More informationMonte Carlo Simulations
Monte Carlo Simulations Lecture 1 December 7, 2014 Outline Monte Carlo Methods Monte Carlo methods simulate the random behavior underlying the financial models Remember: When pricing you must simulate
More informationAN IMPROVED BINOMIAL METHOD FOR PRICING ASIAN OPTIONS
Commun. Korean Math. Soc. 28 (2013), No. 2, pp. 397 406 http://dx.doi.org/10.4134/ckms.2013.28.2.397 AN IMPROVED BINOMIAL METHOD FOR PRICING ASIAN OPTIONS Kyoung-Sook Moon and Hongjoong Kim Abstract. We
More informationPartial differential approach for continuous models. Closed form pricing formulas for discretely monitored models
Advanced Topics in Derivative Pricing Models Topic 3 - Derivatives with averaging style payoffs 3.1 Pricing models of Asian options Partial differential approach for continuous models Closed form pricing
More informationThe Use of Importance Sampling to Speed Up Stochastic Volatility Simulations
The Use of Importance Sampling to Speed Up Stochastic Volatility Simulations Stan Stilger June 6, 1 Fouque and Tullie use importance sampling for variance reduction in stochastic volatility simulations.
More informationLecture 17. The model is parametrized by the time period, δt, and three fixed constant parameters, v, σ and the riskless rate r.
Lecture 7 Overture to continuous models Before rigorously deriving the acclaimed Black-Scholes pricing formula for the value of a European option, we developed a substantial body of material, in continuous
More informationThe stochastic calculus
Gdansk A schedule of the lecture Stochastic differential equations Ito calculus, Ito process Ornstein - Uhlenbeck (OU) process Heston model Stopping time for OU process Stochastic differential equations
More informationNEWCASTLE UNIVERSITY SCHOOL OF MATHEMATICS, STATISTICS & PHYSICS SEMESTER 1 SPECIMEN 2 MAS3904. Stochastic Financial Modelling. Time allowed: 2 hours
NEWCASTLE UNIVERSITY SCHOOL OF MATHEMATICS, STATISTICS & PHYSICS SEMESTER 1 SPECIMEN 2 Stochastic Financial Modelling Time allowed: 2 hours Candidates should attempt all questions. Marks for each question
More informationCS 774 Project: Fall 2009 Version: November 27, 2009
CS 774 Project: Fall 2009 Version: November 27, 2009 Instructors: Peter Forsyth, paforsyt@uwaterloo.ca Office Hours: Tues: 4:00-5:00; Thurs: 11:00-12:00 Lectures:MWF 3:30-4:20 MC2036 Office: DC3631 CS
More informationUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Oceňovanie reálnych opcií pomocou stochastického dynamického programovania Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Jozef Mesároš
More informationA new approach to LIBOR modeling
A new approach to LIBOR modeling Antonis Papapantoleon FAM TU Vienna Based on joint work with Martin Keller-Ressel and Josef Teichmann Istanbul Workshop on Mathematical Finance Istanbul, Turkey, 18 May
More informationAN ANALYTICALLY TRACTABLE UNCERTAIN VOLATILITY MODEL
AN ANALYTICALLY TRACTABLE UNCERTAIN VOLATILITY MODEL FABIO MERCURIO BANCA IMI, MILAN http://www.fabiomercurio.it 1 Stylized facts Traders use the Black-Scholes formula to price plain-vanilla options. An
More information9 Oceňovanie derivátov
9 Oceňovanie derivátov Finančné deriváty (financial derivatives) sú nástroje, ktorých hodnota je odvodená od ceny podkladového aktíva (underlying). Týmto môže byť komodita, akcia, dlhopis, menový kurz,
More informationAMH4 - ADVANCED OPTION PRICING. Contents
AMH4 - ADVANCED OPTION PRICING ANDREW TULLOCH Contents 1. Theory of Option Pricing 2 2. Black-Scholes PDE Method 4 3. Martingale method 4 4. Monte Carlo methods 5 4.1. Method of antithetic variances 5
More informationContinous time models and realized variance: Simulations
Continous time models and realized variance: Simulations Asger Lunde Professor Department of Economics and Business Aarhus University September 26, 2016 Continuous-time Stochastic Process: SDEs Building
More informationNumerical Evaluation of American Options Written on Two Underlying Assets using the Fourier Transform Approach
1 / 26 Numerical Evaluation of American Options Written on Two Underlying Assets using the Fourier Transform Approach Jonathan Ziveyi Joint work with Prof. Carl Chiarella School of Finance and Economics,
More informationIncorporating Managerial Cash-Flow Estimates and Risk Aversion to Value Real Options Projects. The Fields Institute for Mathematical Sciences
Incorporating Managerial Cash-Flow Estimates and Risk Aversion to Value Real Options Projects The Fields Institute for Mathematical Sciences Sebastian Jaimungal sebastian.jaimungal@utoronto.ca Yuri Lawryshyn
More informationPríloha č. 3: k Cenníku služieb JELLYFISH Finport Professional a Individuálne riadené portfólio
Príloha č. 3: k Cenníku služieb JELLYFISH Finport Professional a Individuálne riadené portfólio Úrokové sadzby (úrokové sadzby pre kreditné úroky z hotovosti, debetné úroky z úverov poskytnutých brokerom
More informationLecture 3: Review of mathematical finance and derivative pricing models
Lecture 3: Review of mathematical finance and derivative pricing models Xiaoguang Wang STAT 598W January 21th, 2014 (STAT 598W) Lecture 3 1 / 51 Outline 1 Some model independent definitions and principals
More informationHedging with Life and General Insurance Products
Hedging with Life and General Insurance Products June 2016 2 Hedging with Life and General Insurance Products Jungmin Choi Department of Mathematics East Carolina University Abstract In this study, a hybrid
More informationStock Loan Valuation Under Brownian-Motion Based and Markov Chain Stock Models
Stock Loan Valuation Under Brownian-Motion Based and Markov Chain Stock Models David Prager 1 1 Associate Professor of Mathematics Anderson University (SC) Based on joint work with Professor Qing Zhang,
More informationAdvanced topics in continuous time finance
Based on readings of Prof. Kerry E. Back on the IAS in Vienna, October 21. Advanced topics in continuous time finance Mag. Martin Vonwald (martin@voni.at) November 21 Contents 1 Introduction 4 1.1 Martingale.....................................
More informationHEDGING PRIEMERU CENY S OPCIAMI V PODMIENKACH KONŠTANTNEJ VOLATILITY
International Scientific Conference YOUNG SCIENTISTS 2011 HEDGING PRIEMERU CENY S OPCIAMI V PODMIENKACH KONŠTANTNEJ VOLATILITY Marko LALIĆ Technická Univerzita v Košiciach, Ekonomická fakulta Katedra financií
More informationExtended Libor Models and Their Calibration
Extended Libor Models and Their Calibration Denis Belomestny Weierstraß Institute Berlin Vienna, 16 November 2007 Denis Belomestny (WIAS) Extended Libor Models and Their Calibration Vienna, 16 November
More informationExtended Libor Models and Their Calibration
Extended Libor Models and Their Calibration Denis Belomestny Weierstraß Institute Berlin Haindorf, 7 Februar 2008 Denis Belomestny (WIAS) Extended Libor Models and Their Calibration Haindorf, 7 Februar
More informationImportance Sampling for Option Pricing. Steven R. Dunbar. Put Options. Monte Carlo Method. Importance. Sampling. Examples.
for for January 25, 2016 1 / 26 Outline for 1 2 3 4 2 / 26 Put Option for A put option is the right to sell an asset at an established price at a certain time. The established price is the strike price,
More informationSTOCHASTIC INTEGRALS
Stat 391/FinMath 346 Lecture 8 STOCHASTIC INTEGRALS X t = CONTINUOUS PROCESS θ t = PORTFOLIO: #X t HELD AT t { St : STOCK PRICE M t : MG W t : BROWNIAN MOTION DISCRETE TIME: = t < t 1
More informationM.I.T Fall Practice Problems
M.I.T. 15.450-Fall 2010 Sloan School of Management Professor Leonid Kogan Practice Problems 1. Consider a 3-period model with t = 0, 1, 2, 3. There are a stock and a risk-free asset. The initial stock
More informationINDIAN INSTITUTE OF SCIENCE STOCHASTIC HYDROLOGY. Lecture -5 Course Instructor : Prof. P. P. MUJUMDAR Department of Civil Engg., IISc.
INDIAN INSTITUTE OF SCIENCE STOCHASTIC HYDROLOGY Lecture -5 Course Instructor : Prof. P. P. MUJUMDAR Department of Civil Engg., IISc. Summary of the previous lecture Moments of a distribubon Measures of
More informationFAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. modelu úrokových mier
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Kalibrácia konvergenčného modelu úrokových mier Vašíčkovho typu Diplomová práca Bratislava 2013 Bc. Simona Chattová UNIVERZITA
More information4. Black-Scholes Models and PDEs. Math6911 S08, HM Zhu
4. Black-Scholes Models and PDEs Math6911 S08, HM Zhu References 1. Chapter 13, J. Hull. Section.6, P. Brandimarte Outline Derivation of Black-Scholes equation Black-Scholes models for options Implied
More informationBinomial model: numerical algorithm
Binomial model: numerical algorithm S / 0 C \ 0 S0 u / C \ 1,1 S0 d / S u 0 /, S u 3 0 / 3,3 C \ S0 u d /,1 S u 5 0 4 0 / C 5 5,5 max X S0 u,0 S u C \ 4 4,4 C \ 3 S u d / 0 3, C \ S u d 0 S u d 0 / C 4
More informationBlack-Scholes model: Derivation and solution
III. Black-Scholes model: Derivation and solution Beáta Stehlíková Financial derivatives Faculty of Mathematics, Physics and Informatics Comenius University, Bratislava III. Black-Scholes model: Derivation
More informationAll Investors are Risk-averse Expected Utility Maximizers. Carole Bernard (UW), Jit Seng Chen (GGY) and Steven Vanduffel (Vrije Universiteit Brussel)
All Investors are Risk-averse Expected Utility Maximizers Carole Bernard (UW), Jit Seng Chen (GGY) and Steven Vanduffel (Vrije Universiteit Brussel) First Name: Waterloo, April 2013. Last Name: UW ID #:
More informationMath489/889 Stochastic Processes and Advanced Mathematical Finance Solutions to Practice Problems
Math489/889 Stochastic Processes and Advanced Mathematical Finance Solutions to Practice Problems Steve Dunbar No Due Date: Practice Only. Find the mode (the value of the independent variable with the
More informationTime-changed Brownian motion and option pricing
Time-changed Brownian motion and option pricing Peter Hieber Chair of Mathematical Finance, TU Munich 6th AMaMeF Warsaw, June 13th 2013 Partially joint with Marcos Escobar (RU Toronto), Matthias Scherer
More informationPricing Exotic Options Under a Higher-order Hidden Markov Model
Pricing Exotic Options Under a Higher-order Hidden Markov Model Wai-Ki Ching Tak-Kuen Siu Li-min Li 26 Jan. 2007 Abstract In this paper, we consider the pricing of exotic options when the price dynamic
More informationApproximate Basket Options Valuation for a Jump-Diffusion Model
Approximate Basket Options Valuation for a Jump-Diffusion Model Guoping Xu Department of Mathematics Imperial College London SW7 2AZ, UK guoping.xu@citi.com Harry Zheng (corresponding author) Department
More informationDefinition Pricing Risk management Second generation barrier options. Barrier Options. Arfima Financial Solutions
Arfima Financial Solutions Contents Definition 1 Definition 2 3 4 Contenido Definition 1 Definition 2 3 4 Definition Definition: A barrier option is an option on the underlying asset that is activated
More informationBlack-Scholes Option Pricing
Black-Scholes Option Pricing The pricing kernel furnishes an alternate derivation of the Black-Scholes formula for the price of a call option. Arbitrage is again the foundation for the theory. 1 Risk-Free
More informationA No-Arbitrage Theorem for Uncertain Stock Model
Fuzzy Optim Decis Making manuscript No (will be inserted by the editor) A No-Arbitrage Theorem for Uncertain Stock Model Kai Yao Received: date / Accepted: date Abstract Stock model is used to describe
More informationValuation of Equity / FX Instruments
Technical Paper: Valuation of Equity / FX Instruments MathConsult GmbH Altenberger Straße 69 A-4040 Linz, Austria 14 th October, 2009 1 Vanilla Equity Option 1.1 Introduction A vanilla equity option is
More informationComputer Exercise 2 Simulation
Lund University with Lund Institute of Technology Valuation of Derivative Assets Centre for Mathematical Sciences, Mathematical Statistics Fall 2017 Computer Exercise 2 Simulation This lab deals with pricing
More informationAll Investors are Risk-averse Expected Utility Maximizers
All Investors are Risk-averse Expected Utility Maximizers Carole Bernard (UW), Jit Seng Chen (GGY) and Steven Vanduffel (Vrije Universiteit Brussel) AFFI, Lyon, May 2013. Carole Bernard All Investors are
More informationExact Sampling of Jump-Diffusion Processes
1 Exact Sampling of Jump-Diffusion Processes and Dmitry Smelov Management Science & Engineering Stanford University Exact Sampling of Jump-Diffusion Processes 2 Jump-Diffusion Processes Ubiquitous in finance
More informationHedging under Model Uncertainty
Hedging under Model Uncertainty Efficient Computation of the Hedging Error using the POD 6th World Congress of the Bachelier Finance Society June, 24th 2010 M. Monoyios, T. Schröter, Oxford University
More informationQuadratic hedging in affine stochastic volatility models
Quadratic hedging in affine stochastic volatility models Jan Kallsen TU München Pittsburgh, February 20, 2006 (based on joint work with F. Hubalek, L. Krawczyk, A. Pauwels) 1 Hedging problem S t = S 0
More informationStructural Models of Credit Risk and Some Applications
Structural Models of Credit Risk and Some Applications Albert Cohen Actuarial Science Program Department of Mathematics Department of Statistics and Probability albert@math.msu.edu August 29, 2018 Outline
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY. Zaistené stratégie. Bc. Tomáš Miklošovič.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Zaistené stratégie Bc. Tomáš Miklošovič Diplomová práca Bratislava 200 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky,
More information( ) since this is the benefit of buying the asset at the strike price rather
Review of some financial models for MAT 483 Parity and Other Option Relationships The basic parity relationship for European options with the same strike price and the same time to expiration is: C( KT
More informationComputational Finance
Path Dependent Options Computational Finance School of Mathematics 2018 The Random Walk One of the main assumption of the Black-Scholes framework is that the underlying stock price follows a random walk
More informationApproximation Methods in Derivatives Pricing
Approximation Methods in Derivatives Pricing Minqiang Li Bloomberg LP September 24, 2013 1 / 27 Outline of the talk A brief overview of approximation methods Timer option price approximation Perpetual
More informationPouºitie metódy Monte Carlo vo nanciách
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Katedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky Pouºitie metódy Monte Carlo vo nanciách Diplomová práca tudijný odbor: 9.1.9 Aplikovaná
More informationFinancial Risk Management
Risk-neutrality in derivatives pricing University of Oulu - Department of Finance Spring 2018 Portfolio of two assets Value at time t = 0 Expected return Value at time t = 1 Asset A Asset B 10.00 30.00
More informationNumerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance
Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance Eckhard Platen School of Finance and Economics and School of Mathematical Sciences University of Technology, Sydney Kloeden,
More information1 Geometric Brownian motion
Copyright c 05 by Karl Sigman Geometric Brownian motion Note that since BM can take on negative values, using it directly for modeling stock prices is questionable. There are other reasons too why BM is
More informationFinancial Mathematics and Supercomputing
GPU acceleration in early-exercise option valuation Álvaro Leitao and Cornelis W. Oosterlee Financial Mathematics and Supercomputing A Coruña - September 26, 2018 Á. Leitao & Kees Oosterlee SGBM on GPU
More informationChapter 3: Black-Scholes Equation and Its Numerical Evaluation
Chapter 3: Black-Scholes Equation and Its Numerical Evaluation 3.1 Itô Integral 3.1.1 Convergence in the Mean and Stieltjes Integral Definition 3.1 (Convergence in the Mean) A sequence {X n } n ln of random
More informationLOGNORMAL MIXTURE SMILE CONSISTENT OPTION PRICING
LOGNORMAL MIXTURE SMILE CONSISTENT OPTION PRICING FABIO MERCURIO BANCA IMI, MILAN http://www.fabiomercurio.it Daiwa International Workshop on Financial Engineering, Tokyo, 26-27 August 2004 1 Stylized
More informationUniverzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA Martin Lauko
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky DIPLOMOVÁ PRÁCA 2009 Martin Lauko Numerické a analytické aproximácie hranice predčasného uplatnenia americkej put opcie DIPLOMOVÁ
More informationOPČNÉ STRATÉGIE A MOŽNOSTI ICH VYUŽITIA
Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Studijní obor: Finance OPČNÉ STRATÉGIE A MOŽNOSTI ICH VYUŽITIA Option strategies and their application Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Peter MOKRIČKA,
More informationEFFICIENT MONTE CARLO ALGORITHM FOR PRICING BARRIER OPTIONS
Commun. Korean Math. Soc. 23 (2008), No. 2, pp. 285 294 EFFICIENT MONTE CARLO ALGORITHM FOR PRICING BARRIER OPTIONS Kyoung-Sook Moon Reprinted from the Communications of the Korean Mathematical Society
More informationAdvanced Topics in Derivative Pricing Models. Topic 4 - Variance products and volatility derivatives
Advanced Topics in Derivative Pricing Models Topic 4 - Variance products and volatility derivatives 4.1 Volatility trading and replication of variance swaps 4.2 Volatility swaps 4.3 Pricing of discrete
More informationDeterministic Income under a Stochastic Interest Rate
Deterministic Income under a Stochastic Interest Rate Julia Eisenberg, TU Vienna Scientic Day, 1 Agenda 1 Classical Problem: Maximizing Discounted Dividends in a Brownian Risk Model 2 Maximizing Discounted
More informationMath Computational Finance Barrier option pricing using Finite Difference Methods (FDM)
. Math 623 - Computational Finance Barrier option pricing using Finite Difference Methods (FDM) Pratik Mehta pbmehta@eden.rutgers.edu Masters of Science in Mathematical Finance Department of Mathematics,
More informationComputer Exercise 2 Simulation
Lund University with Lund Institute of Technology Valuation of Derivative Assets Centre for Mathematical Sciences, Mathematical Statistics Spring 2010 Computer Exercise 2 Simulation This lab deals with
More information2.3 Mathematical Finance: Option pricing
CHAPTR 2. CONTINUUM MODL 8 2.3 Mathematical Finance: Option pricing Options are some of the commonest examples of derivative securities (also termed financial derivatives or simply derivatives). A uropean
More informationUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky. Rýchla asová ²kála volatility vo Fong-Va²í kovom modeli.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Rýchla asová ²kála volatility vo Fong-Va²í kovom modeli Diplomová práca Bratislava 2012 Bc. Radka Sele éniová UNIVERZITA KOMENSKÉHO
More informationMSc in Financial Engineering
Department of Economics, Mathematics and Statistics MSc in Financial Engineering On Numerical Methods for the Pricing of Commodity Spread Options Damien Deville September 11, 2009 Supervisor: Dr. Steve
More informationESTIMATION OF UTILITY FUNCTIONS: MARKET VS. REPRESENTATIVE AGENT THEORY
ESTIMATION OF UTILITY FUNCTIONS: MARKET VS. REPRESENTATIVE AGENT THEORY Kai Detlefsen Wolfgang K. Härdle Rouslan A. Moro, Deutsches Institut für Wirtschaftsforschung (DIW) Center for Applied Statistics
More informationHelp Session 2. David Sovich. Washington University in St. Louis
Help Session 2 David Sovich Washington University in St. Louis TODAY S AGENDA Today we will cover the Change of Numeraire toolkit We will go over the Fundamental Theorem of Asset Pricing as well EXISTENCE
More informationLarge Deviations and Stochastic Volatility with Jumps: Asymptotic Implied Volatility for Affine Models
Large Deviations and Stochastic Volatility with Jumps: TU Berlin with A. Jaquier and A. Mijatović (Imperial College London) SIAM conference on Financial Mathematics, Minneapolis, MN July 10, 2012 Implied
More informationIEOR E4703: Monte-Carlo Simulation
IEOR E4703: Monte-Carlo Simulation Generating Random Variables and Stochastic Processes Martin Haugh Department of Industrial Engineering and Operations Research Columbia University Email: martin.b.haugh@gmail.com
More informationUsing of stochastic Ito and Stratonovich integrals derived security pricing
Using of stochastic Ito and Stratonovich integrals derived security pricing Laura Pânzar and Elena Corina Cipu Abstract We seek for good numerical approximations of solutions for stochastic differential
More informationFixed-Income Options
Fixed-Income Options Consider a two-year 99 European call on the three-year, 5% Treasury. Assume the Treasury pays annual interest. From p. 852 the three-year Treasury s price minus the $5 interest could
More informationStochastic Volatility (Working Draft I)
Stochastic Volatility (Working Draft I) Paul J. Atzberger General comments or corrections should be sent to: paulatz@cims.nyu.edu 1 Introduction When using the Black-Scholes-Merton model to price derivative
More informationA GENERAL FORMULA FOR OPTION PRICES IN A STOCHASTIC VOLATILITY MODEL. Stephen Chin and Daniel Dufresne. Centre for Actuarial Studies
A GENERAL FORMULA FOR OPTION PRICES IN A STOCHASTIC VOLATILITY MODEL Stephen Chin and Daniel Dufresne Centre for Actuarial Studies University of Melbourne Paper: http://mercury.ecom.unimelb.edu.au/site/actwww/wps2009/no181.pdf
More informationA Full Asymptotic Series of European Call Option Prices in the SABR Model with
A Full Asymptotic Series of European Call Option Prices in the SABR Model with β = 1 Z. Guo, H. Schellhorn November 17, 2018 Stochastic Alpha Beta Rho(SABR) Model The Black-Scholes Theory Generalization
More informationBluff Your Way Through Black-Scholes
Bluff our Way Through Black-Scholes Saurav Sen December 000 Contents What is Black-Scholes?.............................. 1 The Classical Black-Scholes Model....................... 1 Some Useful Background
More informationCDS Pricing Formula in the Fuzzy Credit Risk Market
Journal of Uncertain Systems Vol.6, No.1, pp.56-6, 212 Online at: www.jus.org.u CDS Pricing Formula in the Fuzzy Credit Ris Maret Yi Fu, Jizhou Zhang, Yang Wang College of Mathematics and Sciences, Shanghai
More informationAsymptotic Method for Singularity in Path-Dependent Option Pricing
Asymptotic Method for Singularity in Path-Dependent Option Pricing Sang-Hyeon Park, Jeong-Hoon Kim Dept. Math. Yonsei University June 2010 Singularity in Path-Dependent June 2010 Option Pricing 1 / 21
More informationLecture 8: The Black-Scholes theory
Lecture 8: The Black-Scholes theory Dr. Roman V Belavkin MSO4112 Contents 1 Geometric Brownian motion 1 2 The Black-Scholes pricing 2 3 The Black-Scholes equation 3 References 5 1 Geometric Brownian motion
More informationNon-semimartingales in finance
Non-semimartingales in finance Pricing and Hedging Options with Quadratic Variation Tommi Sottinen University of Vaasa 1st Northern Triangular Seminar 9-11 March 2009, Helsinki University of Technology
More informationNumerical schemes for SDEs
Lecture 5 Numerical schemes for SDEs Lecture Notes by Jan Palczewski Computational Finance p. 1 A Stochastic Differential Equation (SDE) is an object of the following type dx t = a(t,x t )dt + b(t,x t
More information