Konvergen né modely úrokových mier

Transcription

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Konvergen né moely úrokových mier Diplomová práca Veúci iplomovej práce: RNDr. Beáta Stehlíková, PhD. Autor: Bc. Zuzana Zíková Bratislava 0

2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Evien né íslo: b9986e9-c0f a9a-e76a0805 Konvergen né moely úrokových mier Diplomová práca tuijný program: tuijný obor: koliace pracovisko: kolite a konzultant: Ekonomická a nan ná matematika Aplikovaná matematika Katera aplikovanej matematiky a ²tatistiky, FMFI UK, Mlynská olina, Bratislava RNDr. Beáta Stehlíková, PhD. Bratislava 0 Bc. Zuzana Zíková

3

4 Po akovanie Touto cestou by som sa chcela po akova veúcej iplomovej práce RNDr. Beáte Stehlíkovej, PhD. preov²etkým za obornú pomoc s vypracovaním iplomovej práce, no taktieº aj za poskytnutie vhonej literatúry, za cenné ray, námietky a pripomienky, ktoré si vyºaovali neraz mnoºstvo asu a trpezlivosti. ƒestné prehlásenie Prehlasujem, ºe iplomovú prácu s názvom Konvergen né moely úrokových mier som vypracovala samostatne, s pouºitím uveenej literatúry a na záklae konzultácií s veúcou iplomovej práce. Bratislava Vlastnoru ný popis

5 ZÍKOVÁ, Zuzana : Konvergen né moely úrokových mier [iplomová práca]. Univerzita Komenského v Bratislave, Mlynská olina, Bratislava, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katera aplikovanej matematiky a ²tatistiky. Veúci práce: RNDr. Beáta Stehlíková x, PhD., Bratislava, 0, 59 s. zuzkazz@gmail.com, x stehlikova@pc.iam.fmph.uniba.sk Abstrakt: Práca pojenáva o konvergen ných moeloch krátkoobých úrokových mier. Konvergen ný moel vysvet uje vývoj úrokovej miery v závislosti o vstupu krajiny o menovej únie. Prvý z takýchto moelov bol navrhnutý v roku 000 autormi Corzo a Schwartz. Volatility omácej a európskej krátkoobej úrokovej miery sú kon²tantné. V na²ej práci sa zaoberáme vojfaktorovým konvergen ným moelom Chan-Karolyi-Longsta-Sanersovho typu (CKLS), ke prepoklaáme nekon²tantné volatility, v tvare mocnín úrokových mier, s analógiou v jenofaktorovom CKLS moeli. Dynamika systému je popísaná voma stochastickými iferenciálnymi rovnicami. Pre Va²í kov moel a pre ²peciálny prípa Cox-Ingersoll-Rossovho moelu je známe explicitné rie²enie parciálnej iferenciálnej rovnice, po a ktorej sa správa cena lhopisu. Ak o rie²enia Va²í kovho moelu osaíme za kon²tantné volatility leny σ r γ a σ e r γe e, získame aproximáciu rie²enia pre CKLS moel. Vypo ítame presnos tejto aproximácie a ukáºeme, ºe existuje moºnos jej spresnenia. V na²ej iplomovej práci taktieº navrhujeme postup kalibrácie moelu a testujeme ho najskôr na simulovaných a potom na reálnych átach. K ú ové slová: moely úrokových mier, vojfaktorové moely, konvergen né moely, aproximácia, presnos, kalibrácia, simulované áta, reálne áta ZÍKOVÁ, Zuzana : Convergence moel of interest rate [iploma thesis]. Comenius University in Bratislava, Mlynská olina, Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics an Informatics, Department of Applie Mathematics an Statistics. Supervisor of the thesis: RNDr. Beáta Stehlíková x, PhD., Bratislava, 0, 59 p. zuzkazz@gmail.com, x stehlikova@pc.iam.fmph.uniba.sk Abstract: Our paper eals with convergence moel of interest rates. The convergence moel explains the evolution of interest rate in connection with the aoption of Euro currency. The rst moel of this kin was propose in 000 by Corzo an Schwartz. The volatilities of both the omestic an European short rates are constant. In our article we eal with two-factor convergence moel of the interest rate of Chan-Karolyi-Longsta-Saners type, where we assume the volatilities proportional to the power of the short rates, the analogy of one-factor moels. Dynamics of the system is escribe by two stochastic iferential equations. For Vasicek an for the special case of Cox-Ingersoll-Ross type moel close form solutions are known. Taking the solution for Vasicek moel corresponing to same rift functions an correlation an substituting its constant volatilities by instanteneous volatilities σ e r γe e an σ r γ we obtain an approximation of the solution for CKLS moel. We compute the orer of accuracy for this approximation an show the possibility of its improvement. Keywors: moel of interest rate, two-factor moel, convergence moel, approximation, accuracy

6 Obsah Pouºité symboly a skratky Úvo I Teoretická as 3 Úvo o problematiky 4. Dlhopis a asová ²truktúra úrokových mier Okamºitá úroková miera al²ie eriváty úrokovej miery Moely úrokových mier 8. Jenofaktorové moely Dvojfaktorové moely Konvergen né moely 4 3. Konvergen ný moel Va²í kovho typu Konvergen ný moel CIR typu Konvergen ný moel CKLS typu II Ovoenie aproximácie 4 Aproximácia ceny lhopisu v konvergen nom moeli CKLS typu 3 4. Formulácia navrhnutej aproximácie Presnos aproximácie pre CIR moel s nulovou koreláciou Numerické výsleky pre CIR moel a jeho aproximáciu Presnos aproximácie vo v²eobecnom CKLS moeli Spresnenie aproximácie pre CKLS moel III Kalibrácia moelu 35 5 Metóa kalibrácie moelu Spolo ný rámec pre kalibráciu a formulácia optimaliza ných úloh

7 5. Algoritmus na oha parametrov v vojfaktorovom CIR moeli s nulovou koreláciou Simulované áta Oha európskych parametrov Oha omácich parametrov Presnos ohanutých výnosových kriviek Simula ná analýza Zov²eobecnený algoritmus pre CKLS moel s nulovou koreláciou a známymi γ e, γ Oha korelácie ρ a parametrov γ e, γ Vplyv korelácie ρ na výnosy Oha mocniny γ Kalibrácia moelu na reálnych átach 5 6. Výber a pouºitie át Oha vojfaktorového CIR pouºitím slovenských át Presnos európskych a slovenských ohanutých výnosových kriviek.. 53 Záver 55 Resume 56 Literatúra 58

8 Pouºité symboly a skratky CIR = Cox-Ingersoll-Ross moel krátkoobej úrokovej miery, v ktorom γ = CKLS = Chan-Karolyi-Longsta-Saners moel krátkoobej úrokovej miery, v ktorom γ je aná v²eobecne x = sponý inex - vz ah ubovo nej premennej x k omácim átam x e = sponý inex e - vz ah ubovo nej premennej x k európskym átam f = prvá erivácia funkcie f f = ruhá erivácia funkcie f f (n) = n-tá erivácia funkcie f

9 Úvo Moely úrokových mier sú enované pomocou stochastickej iferenciálnej rovnice. Dynamiku jenofaktorového moelu opisuje jena rovnica, pre vojfaktorový moel sú potrebné ve rovnice, ktoré hovoria o vývoji oboch faktorov. V na²ej iplomovej práci sa zaoberáme vojfaktorovými moelmi, konkrétne vojfaktorovými konvergen nými moelmi krátkoobých úrokových mier. Tie tvoria ²peciálnu potrieu vojfaktorových moelov. Konvergen ný moel opisuje vývoj európskej krátkoobej úrokovej miery, o ktorej sa prepoklaá, ºe ovplyv uje vývoj omácej krátkoobej úrokovej miery. Jeen z prvých takýchto moelov navrhli Corzo a Schwartz v roku 000. Vycháza z Va²í kovho moelu, ke volatility úrokových mier sú kon²tantné. Poobným moelom CIR typu sa zaoberá V. Lacko vo svojej iplomovej práci z roku 00, na ktorú sme naviazali. V na²ej práci sa zaoberáme v²eobecnej²ím moelom, a to vojfaktorovým konvergen ným moelom Chan-Karolyi-Longsta-Sanersovho typu (CKLS), ke prepoklaáme nekon²tantné volatility, v tvare mocnín úrokových mier. Pre tento moel h aáme aproximáciu ceny lhopisu na záklae rie²enia Va²í kovho moelu, ke za kon²tantné volatility osaíme mocniny krátkoobých úrokových mier. Cie om na²ej iplomovej práce je ²tuova moely s volatilitou úmernou mocnine úrokovej miery (CKLS moel), po a analógie s jenofaktorovými moelmi, ke bueme h aa aproximáciu rie²enia rovnice pre cenu lhopisu v takomto moeli, ke ºe neexistuje explicitné rie²enie. V iplomovej práci vycházame z lánkov [] a [0]. Nakoniec sa pokúsime navrhnú postup kalibrácie a otestova ho. Diplomová práca je roz lenená na tri asti, ktoré tvorí ²es kapitol. Teoretická as má tri kapitoly. V prvej z nich enujeme záklané pojmy, ako lhopis, asová ²truktúra úrokových mier, okamºitá úroková miera a uvázame stru ný preh a al²ích erivátov úrokových mier. V ruhej kapitole sa venujeme jenofaktorovým a vojfaktorovým moelom a v tretej porobnej²ie konvergen ným moelom rôznych typov. Druhá as s názvom Ovoenie aproximácie tvorí jaro práce, v ktorom navrhujeme aproximáciu ceny lhopisu v konvergen nom moeli CKLS a zis ujeme jej presnos. V tejto asti taktieº prezentujeme výsleky z numerického experimentu pre CIR moel s nulovou koreláciou a jeho aproximáciu. Rovnako ôleºitou as ou iplomovej práce je kalibrácia, ke v piatej kapitole navrhujeme postup kalibrácie moelu, testujeme ho na simulovaných átach a v ²iestej kapitole uvázame výsleky z kalibrácie pouºitím reálnych trhových át, t. j. úrokových sazieb na mezibankovom trhu.

10 ƒas I Teoretická as

11 Kapitola Úvo o problematiky V tejto kapitole enujeme záklané pojmy ako lhopis, asová ²truktúra úrokových mier, okamºitá úroková miera. Ukáºeme si rôzne priebehy výnosových kriviek na príklaoch s reálnymi átami. Spomenieme krátkoobé úrokové miery ako Euribor a iné. Stru ne charakterizujeme, okrem lhopisov, aj iné eriváty úrokovej miery. Porobnej²ie informácie sa nacházajú v knihách [],[], [8].. Dlhopis a asová ²truktúra úrokových mier Dlhopis je najjenouch²í erivát úrokovej miery. Je to cenný papier, ktorý v ase splatnosti vyplatí jeho vlastníkovi nominálnu honotu F a v ohonutých obobiach bue vypláca pravielný úrok (kupón). Bezkupónový lhopis s nominálnou honotou F = sa nazýva iskontný lhopis. alej bueme po lhopisom rozumie iskontný lhopis. Ozna me P(t,T) cenu lhopisu v ase t, ktorého splatnos je v aset. Tieto ceny lhopisov ur ujú úrokové miery. Ozna me R(t,T) úrokovú mieru v ase t so splatnos ou v ase T. Potom vyjarením R(t, T) ostávame P(t,T) = e R(t,T)(T t), (.) R(t,T) = ln(p(t,t)). (.) T t Funkcia R(t, T) sa nazýva asová ²truktúra úrokových mier. ƒasová ²truktúra úrokových mier vyjaruje závislos úrokovej miery (výnosu) o maturity lhopisu, nazýva sa aj výnosová krivka. Príklaom úrokových mier je napríkla Euribor. Euribor (Euro Interbank Oere Rate) je mezibanková referen ná sazba zverej ovaná enne o roku 999. Skupinu bánk, ktoré prispievajú svojimi átami k výpo tu Euriboru, nazývame panel banks, alebo referen né banky. Referen né banky enne oávajú úrokové miery, o ktorých si myslia, ºe ich referen né banky pouºívajú pri vzájomných obchooch. Z át sa vynechá najniº²ích a najvy²²ích 5 % sazieb, zo zvy²ných sa urobí priemer, ktorý sa zaokrúhli na tri esatinné miesta. tanarne sa tento priemer zverej uje o :00 kaºý spracované po a [9]

12 Dlhopis a asová ²truktúra úrokových mier 5 e. Existujú v²ak aj výnimky a moºnosti oneskoreného zverejnenia. Porobnej²ie informácie je moºné nájs na [9]. Krajina, ktorá nepatrí o menovej únie má svoju úrokovú mieru. Na Slovensku bola referen ná úroková sazba Bribor (Bratislava Interbank Oere Rate) o , no o.. 009, prijatím eura, sa ou stala Euribor. Bribor bola referen ná úroková sazba po ítaná ako priemerná honota preajných cien kótovaných referen nými bankami k :00 beºného a. Existuje aj referen ná sazba Bribi. Bribor a Bribi sú vo vz ahu ako Ask a Bi. Bribor aj Bribi sa enne po íta ako neváºený aritmetický priemer z honôt po ostránení najvy²²ej a najniº²ej honoty pre aný e. Mezi al²ie úrokové miery patria napríkla: Bribor (Bratislava Interbank Oere rate), Pribor (Prague Interbank Oere Rate), Libor (Lonon Interbank Oere Rate), Rigibor (Riga Interbank Oere Rate), Talibor (Tallinn Interbank Oere Rate), Vilibor (Vilnius Interbank Oere Rate), Shibor (Shanghai Interbank Oere Rate), Pribor (Paris Interbank Oere Rate), Tibor (Tokyo Inter Bank Oere Rate), Athibor (Athens Interbank Oere rate). Iným príklaom môºu by výnosy ²tátnych lhopisov. Výnosová krivka je zvy ajne rastúca, ke ºe na lh²iu obu zvy ajne poºi iavame s vy²²ím úrokom. V ne²ných och to platí pri vä ²ine krajín. Znázor uje to aj obrázok., ke je zobrazená asová ²truktúra úrokových mier z a pre viaceré meny a obrázok. s výnosmi ²tátnych lhopisov v nieko kých ²tátoch, taktieº z a Klesajúca výnosová krivka môºe by v prípae, ºe o akávame pokles úrokových mier. Takáto situácia zvy ajne nastáva, ak o akávame zhor²enie ekonomickej situácie. Na obrázku.3 v prípae gréckeho Athiboru zaznamenávame pruko klesajúcu výnosovú krivku z a Na obrázku.4 znároz ujeme nemonotónne priebehy rôznych výnosových kriviek, napr. Euribor z a , výnosy ²tátnych lhopisov v UK z a a výnosy brazílskych ²tátnych lhopisov z a z Euribor Pribor výnos [%].5 výnos [%] t m m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 0m m m maturita.5 Vilibor t m m 3m 6m 9m m maturita.5 Rigibor výnos [%].5 výnos [%] t m 3m 6m m maturita 0 t m 3m 6m m maturita Obr..: ƒasová ²truktúra úrokových mier z a ; Euribor, Pribor, Vilibor, Rigibor. Zroj: [9], [7], [], [4]. Vysvetlivky: t = týºe, m = mesiac, r = rok.

13 Dlhopis a asová ²truktúra úrokových mier 6.5 Japonsko Nemecko výnos [%].5 výnos [%] r 4r 7r 0r 5r 0r 30r maturita štátnych lhopisov 0 r 4r 7r 0r 5r 0r 30r maturita štátnych lhopisov 5 UK USA výnos [%] 3 výnos [%] 3 0 r 4r 7r 0r 5r 0r 30r maturita štátnych lhopisov 0 r 5r 7r 0r 30r maturita štátnych lhopisov Obr..: Výnosy ²tátnych lhopisov z a pre krajiny: Brazília, Japonsko, Nemecko, UK. Zroj: [6] 9.5 Athibor výnos [%] m m 3m 6m 9m m maturita Obr..3: ƒasová ²truktúra úrokových mier, klesajúca výnosová krivka Athibor. Zroj: [5] Euribor Brazília výnos [%] výnos [%] výnos [%] 4. t m m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 0m m m maturita UK r 4r 7r 0r 5r 0r 30r maturita štátnych lhopisov.8 3m r r 3r 4r 6r 0r maturita štátnych lhopisov výnos [%] Brazília m r r 3r 4r 5r 8r maturita štátnych lhopisov Obr..4: ƒasová ²truktúra úrokových mier, nemonotónne výnosové krivky, Euribor a výnosy ²tátnych lhopisov: Brazília a UK. Zroj: [9], [5], [6].

14 Okamºitá úroková miera 7. Okamºitá úroková miera Ak vo vz ahu (.) urobíme limitu T t +, ostávame tzv. okamºitú úrokovú mieru, nazývanú aj krátkoobá úroková miera alebo short rate. Okamºitá úroková miera r je tea za iatkom výnosovej krivky: r(t) = lim Short rate prestavuje úrokovú mieru na ve mi krátky T t +R(t,T). as. Ie o teoretickú veli inu, prakticky má k nej najbliºsie úroková miera na ve mi krátky as, napríkla na jeen e. Niekey je takáto úroková miera na jeen e uvázaná spolu s inými splatnos ami ako overnight (napr. Bribor, Talibor, Vilibor) alebo je uvázaná samostatne (napr. Eonia pre eurozónu). Eonia (Euro Overnight Inex Average) je referen ná sazba pre zrealizované jeno ové obchoy v menovej únii , Eonia , Talibor 4 5 overnight [%] 3 overnight [%] jan08 jul08 jan09 jul09 jan0 jul0 jan 0 jan08 jul08 jan09 jul09 jan0 jul0 jan , Vilibor , Rigibor overnight [%] 6 4 overnight [%] jan08 jul08 jan09 jul09 jan0 jul0 jan 0 jan08 jul08 jan09 jul09 jan0 jul0 jan Obr..5: Priebeh okamºitej úrokovej miery v obobí o Zroj:[9],[],[4],[8].3 al²ie eriváty úrokovej miery Mezi obchoovate né eriváty úrokovej miery patria okrem lhopisov aj forwary, swapy, opcie na lhopisy, capy, oory. V knihách [8] a [] sa ajú nájs porobnej²ie vysvetlenia fungovania erivátov, ako aj metóy ich oce ovania. Na tomto mieste uvázame len stru nú charakteristiku niektorých z nich. Swap je ohoa o zmene aktíva. Úrokový swap hovorí o zmene nan ného toku plávajúcich platieb na tok xných platieb. Tento erivát vypláca roziel platených úrokov. Menový swap je výmena úrokových platieb v rôznych menách, pri om na za iatku a na konci ocháza k výmene poklaových aktív za ohonutý kurz. Právo, ale nie povinnos vstúpi o swapového kontraktu sa nazýva swaption. al²ími erivátmi úrokových mier, pouºívanými najmä v mezibankovom styku, sú capy a oory. Cap (strop) je ohoa, po a ktorej kupujúci obrºí o preávajúceho roziel mezi trhovou úrokovou mierou a realiza nou cenou kontraktu v ohonutom ase. Je to poistenie vo i vysokej úrokovej miere. Napríkla ak je Euribor vy²²í ako vopre ohonutá honota, vyplatí sa roziel mezi nimi. Jenu zrealizovanú platbu nazývame caplet. Protiklaom je oor (no), t. j. erivát, ktorým sa pois ujeme vo i nízkej úrokovej miere. Jenotlivé platby nazývame oorlety.

15 Kapitola Moely úrokových mier Existujú rôzne prístupy, ako moelova úrokové miery, napríkla: short rate moely, forwar rate moely, LIBOR market moely, at. Charakteristiky týchto moelov je moºné nájs napríkla v knihách [], [9]. V na²ej iplomovej práci sa zaoberáme konvergen ným moelom, ktorý patrí mezi short rate moely. Tieto moely sú formulované pomocou stochastickej iferenciálnej rovnice: X = µ(x,t)t+σ(x,t)w, ke W je Wienerov proces. Funkcia µ(x,t) je tren, riftová as rovnice a σ(x,t) vyjaruje uktuácie v okolí riftu. Rie²ením tejto stochastickej iferenciálnej rovnice je stochastický proces X, pomocou ktorého sa opisuje správanie sa okamºitej úrokovej miery. Rôznou vo bou riftu µ(x, t) a volatility σ(x, t) v tejto rovnici získavame rôzne jenofaktorové (ak X je skalár) alebo viacfaktorové (ak X je vektor) moely úrokových mier.. Jenofaktorové moely Vývoj okamºitej úrokovej miery v reálnej miere Uvaºujme stochastickú iferenciálnu rovnicu pre vývoj okamºitej úrokovej miery r = µ(r,t)t+σ(r,t)w. (.) V tabu ke., prebratej z [] a z [], uvázame preh a jenofaktorových moelov, v poraí po a roku ich vzniku, spolu s rovnicou vývoja krátkoobej úrokovej miery a taktieº zaznamenávame aj pravepoobnostné rozelenie úrokovej miery. Ak má rift procesu tvar µ(r,t) = κ(θ r), ke κ,θ > 0 sú kon²tanty, tak moel má meanreversion vlastnos. To znamená, ºe úroková miera má tenenciu pri ahova sa k lhoobej limitnej honote θ. Ak je úroková miera r vä ²ia ako honota θ, tak rift κ(θ r) je záporný, iºe úroková miera je ahaná ole k limitnej honote θ. Naopak, ak je úroková miera r men²ia ako honota θ, tak rift κ(θ r) je klaný, to znamená, ºe proces je ahaný hore ku θ. Takýto tvar má aj prvý z moelov okamºitej úrokovej miery, a to Va²í kov moel, v ktorom r = κ(θ r) t+σw t. Jeho nevýhoou v²ak je normálne rozelenie úrokových mier, z oho vyplýva moºnos osiahnutia aj záporných úrokových mier. Normálne rozelenie úrokových

16 Jenofaktorové moely 9 Rok Moel SDR r t > 0 r t AB 977 Va²í ek r t = κ(θ r t) t+σw t N N A 978 Dothan r t = ar tt+σr tw t A LN A 985 Cox-Ingersoll-Ross r t = κ(θ r t) t+σ r tw t A NCχ A 990 Hull & White r t = κ(θ t r t) t+σw t N N A 990 Exponenciálny Va²í ek r t = r t(µ alnr t)t+σr tw t A LN N 99 Black & Karasinski r t = r t(µ t alnr t)t+σr tw t A LN N 99 CKLS r t = κ(θ r r) t+σr γ t ( ) ) Wt A - N 000 Mercurio & Moralea r t = r t (η λ γ a+γ t lnr t t+σr tw t A LN A Vysvetlivky: A=áno, N=nie, AB=existencia explicitného rie²enia ceny lhopisu (oce ovaniu lhopisov sa bueme venova neskôr, v kapitole 4), N =normálne rozelenie, LN =lognormálne rozelenie, NCχ =necentrálny chí-kvarát rozelenie. Tabu ka.: Preh a jenofaktorových moelov krátkoobej úrokovej miery mier má e²te Hull & Whitov moel. Ostatné moely majú iné rozelenia úrokových mier, pri ktorých je zabezpe ená nezápornos úrokových mier. Túto vlastnos má napr. uº aj Dothanov moel, publikovaný o rok neskôr po Va²í kovom moeli. Prepoklaá v²ak geometrický Brownov pohyb pre vývoj short rate: r = art+σrw. Explicitným rie²ením tejto rovnice je r(t) = r(0)e (a σ t)+σw(t), a tea E[r(t) r(0)] = r(0)e at. Pre a 0 to nie je realistické: ak a > 0, tak E[r(t) r(0)] pre t, ak a < 0, potom E[r(t) r(0)] 0. Preto sa niekey Dothanov moel uváza s a = 0 (napr. v knihe [5], my sme formuláciu moelu prebrali z [], ke je a ubovo né). To v²ak znamená, ºe vo vývoji úrokovej miery nie je ºiaen tren, ale iba náhoná zloºka. Klanos úrokových mier, t. j. r > 0, je moºné zabezpe i napr. aj prostreníctvom vyuºitia exponenciálnych funkcií, ako napr. v exponenciálnom Va²í kovom moeli alebo v moeli Blacka a Karasinského. V týchto moeloch sa prepoklaá, ºe lnr t (t. j. nie samotná úroková miera) má normálne rozelenie. Potom r t má lognormálne rozelenie. Na zabezpe enie nezápornosti úrokových mier v CIR moeli slúºi fakt, ºe ak je r t blízko pri nule, potom volatilita je ve mi malá, takmer nulová a rift je klaný. Ak by r t presa osiahlo nulu, volatilita je nulová a rift klaný, takºe r t sa v nasleujúcom okamihu vráti o klaných honôt. Ak je splnená pomienka: κθ σ, tak proces r t je klaný s pravepoobnos ou. (prebraté z [5]) V nasleujúcej kapitole ukáºeme, ako sa ajú pomocou parciálnych iferenciálnych rovníc oce ova eriváty. V tabu ke. si môºeme v²imnú, ºe pre star²ie moely, existuje explicitné vyjarenie ceny lhopisu. Patria tam napríkla klasické moely ako Va²í kov moel, Cox-Ingersoll-Rossov moel. Prioritou tea zrejme bolo navrhnú taký moel, ktorý umoº uje explicitné vzorce pre oce ovanie. Pre mnohé mla²ie moely neexistuje takéto explicitné vyjarenie, sú v²ak realistickej²ie pri porovnaní s reálnymi átami. Pri neexistencii explicitných rie²ení sa zvy ajne h aá aspo aproximácia rie²enia ceny lhopisu a pracuje sa s kalibráciou moelov. Mohli by sme pootknú, ºe práve z ôvou, ºe nov²ie moely sú zloºitej²ie a ne-

17 Jenofaktorové moely 0 existuje v nich explicitná formula pre ceny lhopisu a iných erivátov, má zmysel sa venova h aaniu analytických aproximácií cien lhopisov v moeloch úrokových mier. Do tejto skupiny moelov patrí aj CKLS moel. Touto problematikou sa zaoberáme aj v na²ej iplomovej práci. Po a toho, i rift procesu závisí, alebo nezávisi o asu, bolo by moºné moely z tabu ky. rozeli na ve skupiny. Moely s asovo závislým riftom (t. j. Hull & White, Mercurio & Moraela, Black & Karasinski) nazývame bezarbitráºne moely. Správnou vo bou funkcie θ t, µ t, γ t osiahneme zhou výnosovej krivky anej moelom s ne²nou výnosovou krivkou pozorovanou na trhu. V niektorých prípaoch ie o moikáciu moelu s kon²tantnými koe- cientami, napr. asovo závislou analógiou Va²í kovho moelu je moel Hulla Whita, taktieº asovo závislou analógiou exponenciálneho Va²í kovho moelu je moel Blacka Karasinského. Rizikovo neutrálna miera a oce ovanie lhopisov Neexistencia arbitráºe na trhu matematicky znamená, ºe existuje tzv. rizikovo neutrálna miera, v ktorej sa ajú oce ova eriváty pomocou výpo tu strených honôt. Prepoklaajme, ºe vývoj krátkoobej úrokovej miery je Markovovský proces správajuci sa v rizikovo neutrálnej miere po a rovnice r t = µ(r t,t)t+σ(r t,t)w t, ke µ(r t,t), σ(r t,t) sú F W t aaptované procesy. Cena iskontného lhopisu s maturitou T v ase t < T sp a P(t,T) = E Q [ T e t r ss F W t ]. Vo v²eobecnosti, ak máme erivát s honotou X = P T v ase maturity T, tak jeho cena v ase t je: P t = P(r,t) = E Q [ T e t r ss ] T X F W t = E Q [e r ss t X rt = r]. Cena erivátu P v ase t sp a Black-Scholesovu parciálnu iferenciálnu rovnicu v tvare: P t +µ(r,t) P r + σ (r,t) P rp = 0, r r > 0,τ (0,T), s koncovou pomienkou P(r,T) =, pre kaºé r > 0. Porobnej²ie sa oce ovaniu erivátov úrokových mier v rizikovo neutrálnej miere venuje Melicher ík v [8], okia sme prebrali tieto záklané princípy oce ovania erivátov. Vz ah reálnej a rizikovo neutrálnej miery Viíme, ºe formulácia moelu v reálnej miere nám umoº uje zachyti vlastnosti, ktoré pozorujeme vo vývoji short rate, napr. mean-reversion. Pri formulácii v rizikovo neutrálnej miere sme zasa schopní oce ova eriváty. Bolo by tea uºito né ma prevo mezi zápismi procesu v týchto voch mierach.

18 Jenofaktorové moely Ke ºe reálna miera P a rizikovo neutrálna miera Q sú ekvivalentné, po a obrátenej Girsanovej vety ([8],str.64) existuje proces λ t taký, ºe ak W t je Wienerov proces v miere P, tak t W t = W t + 0 λ s s (.) je Wienerov proces v miere Q. Navy²e, Raon-Nikoymova erivácia vzh aom k miere P je: Q P = e λw T λt. (.3) Na záklae rovnosti (.), napísanej v iferenciálnom tvare W t = W t +λ t t, vieme prepisova proces z jenej miery o ruhej. Napríkla, ak proces je formulovaný v reálnej miere: tak v rizikovo neutrálnej miere platí r = µ(r,t)t+σ(r,t)w, (.4) r = µ(r,t)t+σ(r,t)( W λ(r,t)t) = (µ(r,t) λ(r,t)σ(r,t))t+σ(r,t) W. (.5) šia, tento prístup nie je praktický, ke ºe ni nehovorí o tom, ako funkcia λ vyzerá a o vyjaruje. Treba zvoli iný prístup. Nasleujúci postup je prebratý z knihy [5], v ktorej je moºné nájs porobnosti. My tu uvázame len hlavnú my²lienku. Ak formulujeme moel v reálnej miere, á sa ukáza, ºe musí existova taká funkcia λ(r, t), ktorá vyjaruje nárast výnosu lhopisu na jenotku rizika. Vzh aom na túto interpretáciu sa nazýva trhová cena rizika. Zôraznime, ºe je spolo ná pre v²etky lhopisy, nezávisí o maturity lhopisu. Po a Girsanovej vety ([8], str.64) tea existuje taká miera Q, ekvivalentná s mierou P, ºe (.) je Wienerov proces v miere Q a Raon-Nikoymova erivácia je aná vz ahom (.3). Posleným krokom v [5] je ôkaz, ºe táto miera Q je presne rizikovo neutrálna miera. To znamená, ºe moel môºeme zaa voma spôsobmi: pomocou stochastickej iferenciálnej rovnice v reálnej miere a trhovej ceny rizika pomocou stochastickej iferenciálnej rovnice v rizikovo neutrálnej miere Pritom platí, ºe volatility v oboch mierach sú rovnaké a pre rift platí: (rizikovo neutrálny rift) = (reálny rift) (trhová cena rizika) (volatilita). (.6) Cena lhopisu sa á explicitne vypo íta vo Va²í kovom moeli a CIR moeli. Uvázame rie²enia prebraté z [6]. Va²í kov moel v reálnej miere opisuje stochastická iferenciálna rovnica: r = κ(θ r)t+σw, ke κ,σ > 0 a θ 0. Trhová cena rizika je v tomto prípae zvolená ako kon²tanta λ. V rizikovo neutrálnej miere Va²í kov moel vyzerá nasleovne: r = (κ(θ r) λσ)t+σw.

19 Jenofaktorové moely Cena iskontného lhopisu sp a s po iato nou pomienkou P(r,0) =. P [ ] P τ + κ(θ r) λσ r + σ P r rp = 0, Rie²enie ceny lhopisu v jenofaktorovom Va²í kovom moeli naobúa tvar: P(r,τ) = e A(τ) rd(τ), ke funkcie D(τ), A(τ) vieme vyjari nasleovne: D(τ) = e κτ, κ ( e κτ A(τ) = κ ) τ (θ λσ κ σ ) κ σ ( e κτ ). 4κ 3 CIR moel v reálnej miere opisuje stochastická iferenciálna rovnica: r = κ(θ r)t+σ rw, ke κ,σ > 0 a θ 0. Trhová cena rizika je v tomto prípae zvolená ako λ r, ke λ je kon²tanta. V rizikovo neutrálnej miere vyzerá CIR moel nasleovne: r = (κ(θ r) λσr)t+σ rw. Cena iskontného lhopisu sp a rovnicu: P [ ] P τ + κ(θ r) λσr r + σ r P r rp = 0, s po iato nou pomienkou P(r, 0) =. Rie²enie ceny lhopisu v jenofaktorovom CIR moeli, moºeme zapísa v rovnakom tvare ako pri Va²í kovom moeli, t. j. : P(r,τ) = e A(τ) rd(τ), no s iným prepisom funkcií D(τ),A(τ) : ( e θτ ) D(τ) = (Φ+Ψ)(e Φτ )+Φ, A(τ) = κθ ( σ ln Φe (Φ+Ψ)τ ) (Φ+Ψ)(e Φτ )+Φ ke Ψ = κ+λσ a Φ = (κ+λσ) +σ. Rie²enia pre Va²í kov a CIR moel prevzaté z [6]. Ak v CKLS moeli je γ 0, γ ( iºe ak neje o Va²í kov alebo CIR moel) rie²enia ceny lhopisu nie sú známe. Navrhnuté aproximácie je moºné nájs v [3], [], [0].

20 Dvojfaktorové moely 3. Dvojfaktorové moely V vojfaktorových moeloch je úroková miera vysvet ovaná voma faktormi. Nech je jeným faktorom r a ruhý faktor ozna me ako x. Uvaºujme vojfaktorový moel s koreláciou, v ktorom ynamika systému je aná voma stochastickými iferenciálnymi rovnicami, pri om ρ (,) je korelácia mezi prírastkami Wienerových procesov W,W. Cov[W, W ] = ρt. r = µ r (r,x,t)t+σ r (r,x,t)w, x = µ x (r,x,t)t+σ x (r,x,t)w, (.7) Proces x je náhoný proces, ktorý súvisí s okamºitou úrokovou mierou. Môºe to by nejaká nan ná premenná - napr. lhoobá úroková miera, roziel mezi lhoobou a krátkoobou úrokovou mierou alebo úroková miera v eurozóne (v poslenom prípae ie o konvergen ný moel, ktorému venujeme nasleujúcu kapitolu 3). Inú trieu moelov prestavujú moely so stochastickou volatilitou, v ktorých proces x vstupuje o funkcie σ r (r,x,t). Konkrétne príklay vojfaktorových moelov sa ajú nájs v knihách [], [5], [9]. Uveený moel je moºné prepísa o tvaru, ktorý v rovniciach obsahuje nezávislé Wienerove procesy (pozri napr. [9]). r = µ r (r,x,t)t+σ r (r,x,t) W, x = µ x (r,x,t)t+σ x (r,x,t)[ρw +( ρ ) W ], Tento prepis sa vyuºíva napríkla pri simuláciách. Poobne ako v jenofaktorových moeloch, aj teraz máme ve moºnosti formulácie moelu, a to pomocou: stochastickej iferenciálnej rovnice v reálnej miere a trhových cien rizikaλ r (r,x,t),λ x (r,x,t) zopoveajúcich jenotlivým procesom stochastickej iferenciálnej rovnice v rizikovo neutrálnej miere Pri zmene miery sa opä menia len rifty a to rovnakým spôsobom (rizikovo neutrálny rift) r = (reálny rift) r λ r (r,x,t) (volatilita) r (rizikovo neutrálny rift) x = (reálny rift) x λ x (r,x,t) (volatilita) x. Ak short rate vyhovuje v reálnej miere stochastickej iferenciálnej rovnici (.7) a trhové ceny rizika sú λ r (r,x,t),λ x (r,x,t), tak cena lhopisu P vyhovuje nasleujúcej parciálnej iferenciálnej rovnici (za prepoklau, ºe faktor x je klaný): P t +(µ r(r,x,t) λ r (r,x,t)σ r (r,x,t)) P r +(µ x(r,x,t) λ x (r,x,t)σ x (r,x,t)) P x + σ r(r,x,t) P r + σ x(r,x,t) a platí koncová pomienka P(r,x,T) = pre kaºé r,x > 0. P x +ρσ r(r,x,t)σ x (r,x,t) P r x rp = 0 r,x > 0, t (0,T)

21 Kapitola 3 Konvergen né moely peciálny prípa vojfaktorových moelov tvorí skupina konvergen ných moelov. Konvergen ný moel vysvet uje súvis správania sa úrokovej miery so vstupom pozorovanej krajiny o menovej únie. Priebeh vývoja úrokových mier ²tátov, ktoré uº prijali euro, je znázornený na obrázkoch 3. a 3. v obobí poslených troch mesiacov pre vstupom anej krajiny o menovej únie. Na obrázku 3. je znázornený vývoj overnight krátkoobých úrokových mier na Slovensku a v eurozóne o o Na obrázku 3. je znázornený vývoj krátkoobých úrokových mier v Estónsku a v eurozóne o o Zaznamenávame tea poslené pozorovate né honoty úrokových mier Bribor a Talibor. overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Bribor vs. Eonia Bribor Eonia.5 okt08 nov08 ec08 jan09 overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Talibor vs. Eonia Talibor Eonia okt0 nov0 ec0 jan Obr. 3.: Vývoj Briboru a Eonie 3 mesiace pre vstupom o menovej únie Obr. 3.: Vývoj Taliboru a Eonie 3 mesiace pre vstupom o menovej únie Na obrázkoch 3.3 a 3.4 je zaznamenaný vývoj overnight v Litve (t. j. Vilibor) a Loty²sku (t. j. Rigibor) za prvý ²tvr rok roku 0. Napriek tomu, ºe sú to ve mi poobné pobaltské suseiace krajiny, viíme výrazný roziel. Na obrázku 3.3 moºeme sleova výraznú konvergenciu Viliboru k Eonii, pri om na obrázku 3.4 takáto konvergencia premennej Rigiboru k Eonii nie je viite ná. Eonia osciluje, kým Rigibor sa urºiava takmer na kon²tantnej honote. Obrázky 3.5 a 3.6, ktoré zaznamenávajú lh²ie obobie ( rok), potrvzujú jav, ºe mezi Viliborom a Eoniou existuje silná korelácia, no mezi Rigiborom a Eoniou ve mi slabá. Pri poh ae na takéto lh²ie obobie tieº viíme, ºe pozorovanie z obrázka 3.4 oh aom Rigiboru nie je univerzálne. Po as precházajúcich troch mesiacov je situácia presne opa ná - Eonia je stabilná, a Rigibor má výraznej²ie uktuácie.

22 Konvergen né moely 5 overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Vilibor vs. Eonia 0. jan feb mar apr Vilibor Eonia overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Rigibor vs. Eonia 0. jan feb mar apr Rigibor Eonia Obr. 3.3: Vývoj Viliboru a Eonie Obr. 3.4: Vývoj Rigiboru a Eonie overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Vilibor vs. Eonia apr0 maj0 jun0 jul0 aug0 sep0 okt0 nov0 ec0 jan feb mar apr Vilibor Eonia Obr. 3.5: Vývoj Viliboru a Eonie overnight krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Rigibor vs. Eonia apr0 maj0 jun0 jul0 aug0 sep0 okt0 nov0 ec0 jan feb mar apr Rigibor Eonia Obr. 3.6: Vývoj Rigiboru a Eonie Obrázky 3.7 a 3.8 sú analogické obrázkom 3.5 a 3.6, pri om za krátkoobú úrokovú mieru neberieme overnight, ale mesa nú úrokovú mieru. Konvergen ným moelom moelujeme vývoj správania sa voch krátkoobých úrokových mier, a to omácej a okamºitej úrokovej miery pre menovú úniu. Európska úroková miera sa moeluje pomocou jenofaktorového moelu, pri om sa prepoklaá, ºe má vplyv na vývoj

23 Konvergen né moely 6 mesacná krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Vilibor vs. Euribor ( mes.) 0. apr0 maj0 jun0 jul0 aug0 sep0 okt0 nov0 ec0 jan feb mar apr mes. Vilibor mes. Euribor Obr. 3.7: Vývoj mesa ných úrokových mier Vilibor a Euribor mesacná krátkoobá úroková miera [%] , vývoj Rigibor vs. Euribor ( mes.) 0. apr0 maj0 jun0 jul0 aug0 sep0 okt0 nov0 ec0 jan feb mar apr mes. Rigibor mes. Euribor Obr. 3.8: Vývoj mesa ných úrokových mier Rigibor a Euribor omácej úrokovej miery a vstupuje o stochastickej iferencialnej rovnice pre jej vývoj. Takýto moel bol navrhnutý v lánku [4]. Vycháza z Va²í kovho moelu, ke volatility úrokových mier sú kon²tantné. Analogickým moelom Cox-Ingersoll-Rossovho typu, ke volatility sú úmerné omocnine úrokovej miery sa zaoberá V. Lacko vo svojej iplomovej práci [6]. V nasleujúcich astiach popí²eme tieto va moely a ukáºeme ako sa v nich ajú oce ova lhopisy. Potom uveieme ich zov²eobecnenie pre nelineárnu volatilitu, analogickú volatilite v jenofaktorovom moeli, ktorý navrhli Chan-Karolyi-Longsta-Saners v []. Tento moel potom bue objektom ²túia v nasleujúcich kapitolách s ovoením aproximácie a navrhnutím postupu kalibrácie, ktoré prestavujú hlavnú as tejto práce.

24 Konvergen ný moel Va²í kovho typu 7 3. Konvergen ný moel Va²í kovho typu Prvý konvergen ný moel bol navrhnutý v lánku [4]. Moel v reálnej miere naobúa tvar r = (a+b(r e r )) t+σ W, r e = (c( r e )) t+σ e W e, (3.) Cov[W,W e ] = ρt. Trhové miery rizika berieme kon²tantné, t. j. λ (r,r e,τ) = λ a λ e (r,r e,τ) = λ e. Pre európsku úrokovú mieru máme vlastne jenofaktorový Va²í kov moel, v ktorom vývoj úrokovej miery sp a mean - reversion vlastnos a pri ahuje sa k limitnej honote. Tea vieme jenoucho oceni európske lhopisy, pozri kapitolu.. Koecient b > 0 vyjaruje silu pri ahovania omácej short rate k európskej s moºnos ou vychýlenia ur eného koecientom a, ke a je priamo to vychýlenie. Koecient c > 0 vyjaruje silu pri ahovania európskej short rate k omácej. Cena omáceho lhopisu P(r,r e,τ) s asom o splatnosti τ = T t sp a nasleovnú parciálnu iferenciálnu rovnicu. P τ +(a+b(re r ) λ ) P +(c( r P e) λ e) + σ P r r e r + σ e a za iato nu pomienku P(r,r e,0) =, pre v²etky r,r e > 0. P r e +ρσ σ e P r r e r P = 0, r,r e > 0, τ (0,T), (3.) V rizikovo neutrálnej miere má moel tvar r = (a+b(r e r ) λ σ ) t+σ W, r e = (c( r e ) λ e σ e ) t+σ e W e, (3.3) Cov[W,W e ] = ρt. V týchto rovniciach prestavujú W, W e Wienerové procesy v rizikovo neutrálnej miere. Neskôr bueme potrebova v²eobecnej²í moel tohto typu. Uvaºujme moel, v ktorom v rovnici pre vývoj omácej krátkoobej úrokovej miery je rizikovo neutrálny rift v²eobecnou lineárnou funkciou premenných r, r e a v rovnici pre vývoj európskej krátkoobej úrokovej miery je rizikovo neutrálny rift zostáva v²eobecnou lineárnou funkciou r e. To znamená, ºe pre vývoj omácej a európskej úrokovej miery máme systém stochastických iferenciálnych rovníc: r = (a +a r +a 3 r e ) t+σ W, r e = (b +b r e ) t+σ e W e, (3.4) Cov[W,W e ] = ρt. Systém (3.4) zopoveá systému (3.3), ak a = a λ σ, a = b, a 3 = b, b = c λ e σ e, b = c. Parciálna iferenciálna rovnica pre cenu lhopisu P(r,r e,τ) potom je P τ +(a +a r +a 3 r e ) P +(b +b r e ) P + σ P r r e r + σ e P r e P +ρσ σ e r P = 0, r r e (3.5) r,r e > 0, τ (0,T),

25 Konvergen ný moel Va²í kovho typu 8 s po iato nou pomienkou P(r,r e,0) = pre r,r e > 0. Pri rie²ení rovnice (3.5). Postupujeme rovnakým spôsobom ako v ²peciálnom prípae v lánku [4]. Prepoklaajme rie²enie rovnice (3.5) v tvare P(r,r e,τ) = e A(τ) D(τ)r U(τ)r e (3.6) Zo za iato nej pomienky pre cenu lhopisu vyplývajú za iato né pomienky pre funkcie A,D,U : A(0) = D(0) = U(0) = 0. Zerivovaním prepoklaaného rie²enia (3.6) ostávame (ke a ich osaením o (3.5) ostávame P τ = P( A Ḋr Ur P e ), = PD, P re P r A = A τ, analogicky aj Ḋ, U ): P r = P( D), r e = P( U), = PU, P r r e = PDU, [ A(τ)+Ḋ(τ)r + U(τ)r e a D(τ) a r D(τ) a 3 r e D(τ) b U(τ) b r e U(τ)+ σ D (τ)+ σ e U (τ)+ρσ σ e D(τ)U(τ) r ] P = 0. Rovnicu vyelíme cenou lhopisu P a vyjmeme r a r e : Ȧ a D b U + σ D + σ ) ( ) e U +ρσ σ e DU +r (Ḋ a D r e U a 3 D b U = 0.(3.7) Rovnos (3.7) má by splnená pre v²etky r, r e, takºe musí plati Ḋ(τ) = +a D(τ), U(τ) = a 3 D(τ)+b U(τ), A(τ) = a D(τ) b U(τ)+ σ D (τ) + σ eu (τ) +ρσ σ e D(τ)U(τ). (3.8) Rie²enie tejto sústavy oby ajných iferenciálnych rovníc je analogické rie²eniu systému oby ajných iferenciálnych rovníc vyplývajúceho z (3.3), ktoré je uveené v [6], preto uvázame len výsleok pre a b (ak a = b, tak U(τ) má iný tvar, ie v²ak o ve mi ²peciálny prípa, preto sa ním alej nezaoberáme). D(τ) = +ea τ, a U(τ) = a ( 3 a a e bτ +b ( +e aτ ) ), a (a b )b A(τ) = τ 0 a D(s) b U(s)+ σ D (s) + σ eu (s) +ρσ σ e D(s)U(s)s. (3.9) Poznamenajme, ºe aj funkcia A(τ) sa á napísa v explicitnom tvare, pozri [6].

26 Konvergen ný moel CIR typu 9 3. Konvergen ný moel CIR typu Corzo a Schwartz v lánku [4], v ktorom sa zaoberajú Va²í kovým moelom, tvria, ºe v²etky ich výsleky sa ajú roz²íri pre moel CIR. V iplomovej práci [6] v²ak bolo ukázané, ºe separácia premenných v tvare (3.6) je moºná len pre prípa, v ktorom sú iferenciály Wienerových procesov riaiach omácu a európsku úrokovú mieru nekorelované. Tento moel bueme, vzh aom na moºnos výpo tu presných cien lhopisov, pouºíva na testovanie na²ej aproximácie, preto tu uveieme jeho formuláciu, ako aj príslu²ný systém oby ajných iferenciálnych rovníc, na ktorý veie oce ovanie lhopisov. Dvojfaktorový konvergen ný moel CIR typu v reálnej miere bol v [6] formulovaný v tvare Cov[W,W e ] = ρt. r = (a+b(r e r )) t+σ r W, r e = (c( r e )) t+σ e re W e, (3.0) Trhové ceny rizika berieme úmerné omocninám z príslu²ných okamºitých úrokových mier, t. j.: λ (r,r e,τ) = λ r, λ (r,r e,τ) = λ e re. Európska úroková miera je moelovaná jenofaktorovým CIR moelom, takºe európske lhopisy vieme oce ova. Cena omáceho lhopisu P(r,r e,τ) s maturitou τ sp a nasleovnú parciálnu iferenciálnu rovnicu + σ r P τ +(a+b(r e r )) P +(c( r e )) P r r e P r + σ e P re +ρσ r σ e re P r r e r P = 0, r,r e > 0, τ (0,T), s po iato nou pomienkou P(r,r e,0) = pre r,r e > 0. Konvergen ný CIR moel v rizikovo neutrálnej miere vyzerá nasleovne (3.) r = (a+b(r e r )) λ r )t+σ r W, r e = (c( r e ) λ e r e ) t+σ e re W e, Cov[W,W e ] = ρt. Opä sformulujeme moel so v²eobecnej²ími koecientami. r = (a +a r +a 3 r e ) t+σ r W, r e = (b +b r e ) t+σ e re W e, Cov[W,W e ] = ρt. (3.) (3.3) Moel (3.) zopoveá parametrom a = a, a = b λ, a 3 = b, b = c, b = c λ e v moeli (3.3). Parciálna iferenciálna rovnica pre cenu lhopisu P(r,r e,τ) potom je + σ r P τ +(a +a r +a 3 r e ) P +(b +b r e ) P r r e P r + σ ere P re +ρσ r σ e re P r r e r P = 0, pre r,r e > 0, τ (0,T), (3.4)

27 Konvergen ný moel CKLS typu 0 a za iato ná pomienka P(r,r e,0) = pre r,r e > 0. Opä prepoklaajme rie²enie v tvare (3.6). Analogickým spôsobom, ako sme ostali rovnicu (3.7) pri Va²í kovom moeli, ovoíme poobnú rovnicu pre CIR moel. ( ( ( ) A a D b U )+r Ḋ a D + σ D )+r e U a 3 D b U + σ e U = 0. Z nej získame systém troch oby ajných iferenciálnych rovníc (3.5) s anými po iato nými pomienkami Ḋ(τ) = +a D(τ) σ D (τ), U(τ) = a 3 D(τ)+b U(τ) σ eu (τ), A(τ) = a D(τ) b U(τ), A(0) = D(0) = U(0) = 0, (3.6) ktorý vieme rie²i numericky. 3.3 Konvergen ný moel CKLS typu Zov²eobecnením jenofaktorového Va²í kovho a CIR moelu je moel, ktorý v reálnej miere navrhli Chan-Karolyi-Longsta-Saners (CKLS) v lánku []. Volatilita v om má tvar σr γ. Moel v rizikovo neutrálnej miere s takouto volatilitou a s lineárnym riftom bol ²tuovaný v lánku [3] a v naväzujúcich lánkoch [], [0]. Analogickým spôsobom zov²eobecneníme konvergen né moely Va²í kovho typu a CIR typu, uveené v precházajúcich voch astiach. Uvaºujeme moel, v ktorom rizikovo neutrálny rift európskej short rate r e je lineárnou funkciou r e, rift omácej short rate r je lineárnou funkciou r a r e a volatility naobúajú tvar σ e re γe a σ r γ. Tea stochastická iferenciálna rovnica v rizikovo neutrálnej miere, ktoré opisujú vývoj omácej r a európskej r e krátkoobej úrokovej miery sú nasleovné: r = (a +a r +a 3 r e )t+σ r γ W, r e = (b +b r e )t+σ e r γe e W e, Cov[W,W e ] = ρt. Premenné a,a,a 3,b,b R,σ,σ e > 0,γ,γ e 0 v moeli sú ané kon²tanty a ρ (,) je korelácia mezi prírastkami Wienerovho procesu W a W e. Tento moel bueme nazýva vojfaktorový konvergen ný moel CKLS typu. Takýto moel je hlavným objektom záujmu v na²ej iplomovej práci.

28 Konvergen ný moel CKLS typu Cena omáceho lhopisu P(r,r e,τ) s maturitou τ sp a parciálnu iferenciálnu rovnicu + σ rγ P τ +(a +a r +a 3 r e ) P +(b +b r e ) P r r e P r + σ ere γe P re +ρσ r γ σ P ere γe r P = 0, r r e r,r e > 0, τ (0,T), a za iato nú pomienku P(r,r e,0) = r,r e > 0. (3.7) Ako sme vieli v asti 3. a 3. pre Va²í kov moel (γ = γ e = 0) a pre Cox-Ingersoll-Rossov moel(γ = γ e = ) s nulovou koreláciou ρ = 0 je moºná separácia premenných tvaru (3.6) pre rie²enie tejto rovnice. Vo v²eobecnosti v²ak osaením tvaru rie²enia (3.6) o (3.7) ostávame b r e U + σ rγ A+Ḋr + Ur e a D a r D a 3 r e D b U D + σ er e γe U +ρσ r γ σ ere γe DU r = 0. (3.8) Ak ρ 0, tak len ρr γ rγe e spôsobí, ºe pre (γ,γ e ) (0,0) rovnos (3.8) nemôºe plati pre v²etky r, r e. Ak ρ = 0, tak sú to leny r γ a r γe e, ktoré spôsobia, ºe rovnos (3.8) nemôºe plati pre v²etky r, r e. Rie²enie tea nemá tvar (3.6). Z tohto ôvou nasleujúcu kapitolu 4 venujeme h aaniu aproximácie rie²enia pre cenu lhopisu v vojfaktorovom CKLS moeli.

29 ƒas II Ovoenie aproximácie

30 Kapitola 4 Aproximácia ceny lhopisu v konvergen nom moeli CKLS typu V tejto kapitole na za iatku sformulujeme aproximáciu CKLS moelu pomocou Va²í kovho moelu. Navrhnutú aproximáciu bueme testova na CIR moeli. Pre CIR moel s nulovou koreláciou poznáme aj presné rie²enie, o nám umoºní zisti presnos navrhnutej aproximácie. alej ovoíme presnos aproximácie pre v²eobecný CKLS moel a ukáºeme, ºe presnos získanej aproximácie je moºné e²te zlep²i. Denujeme novú aproximáciu, ktorá je o va ráy presnej²ia. 4. Formulácia navrhnutej aproximácie Na za iatku je nutné aproximova jenofaktorový CKLS moel. Táto aproximácia sa pouºije na aproximáciu európskych lhopisov. Pouºijeme aproximáciu z lánku [0]. V tejto aproximácii osaíme za kon²tantnú volatilitu vo Va²í kovom moeli aktuálnu honotu volatility σr γ. Dostávame tak lnp ap (τ,r) = ( b + σ r γ )( e b τ b b +τ )+ σ r γ ( e ) b τ e b τ + b 4b 3 r. (4.) b Pre omáce lhopisy ( alej bueme pri cene omáceho lhopisu vynecháva inex, t. j. P bue prestavova cenu omáceho lhopisu) enujeme analogickú aproximáciu, ktorá bue spo íva v nahraení lenov σ,σ e v rie²ení vojfaktorového konvergen ného Va²í kovho moelu (3.9) lenmi σ r γ a σ er γe e. Potom aproximované rie²enie naobune, (pre prípa a b ) takýto tvar: D(τ) = +ea τ, a U(τ) = a ( 3 a a e bτ +b ( +e aτ ) ), a (a b )b A(τ) = τ 0 a D(s) b U(s)+ σ rγ D (s) + σ ere γe U (s) +ρσ r γ σ ere γe D(s)U(s)s. (4.)

31 Formulácia navrhnutej aproximácie 4 Môºeme si v²imnú, ºe leny D(τ),U(τ) ostali nezmenené, t. j. rovnaké ako v presnom rie²ení Va²í kovho moelu (3.9), ke ºe nezávisia o σ,σ e, a pre funkciu A(r,r e,τ) platí: A = a D(τ) b U(τ)+ σ rγ D(τ) + σ e rγe e U(τ) +ρσ σ e r γ rγe e U(τ)D(τ). Vypo ítajme jenotlivé erivácie funkcií D, U, A potrebné pre vyjarenie Taylorovho rozvoja logaritmu aproximatívnej ceny oce ovaného lhopisu. i-ta erivácia D i (0) 0 a a a 3 U i (0) 0 0 a 3 a 3 (a +b ) a 3 a +b a 3 (a +b ) A i (0) 0 0 a a a b a 3 +σ rγ a a b a 3 (a +b )+ 3a σ rγ +3a 3 ρσ r γ σγe e Tabu ka 4.: Výpo et i tych erivácií funkcií D, U, A pre aproximáciu CKLS moelu Taylorov rozvoj ²tvrtého ráu pre logaritmus akejko vek, i uº presnej alebo aproximatívnej, ceny lhopisu P, uvaºovanej v tvare (3.6), vyzerá nasleovne: lnp =A(τ) D(τ)r U(τ)r e =(A(0) D(0)r U(0)r e )+( A(0) Ḋ(0)r U(0)r e )τ + ) (Ä(0) D(0)r Ü(0)r e τ + ) (A (3) (0) D (3) (0)r U (3) (0)r e 6 + ) (A (4) (0) D (4) (0)r U (4) (0)r e τ 4 +o(τ 4 ). 4 τ 3 (4.3) Potom osaením honôt z tabu ky 4. o (4.3) vieme lnp ap vyjari takto: lnp ap = r τ + ( a a r a 3 r e )τ + ( ) a a b a 3 +σ 6 rγ a r a 3 (a +b )r e τ 3 + ( a a b a 3 (a +b )+3a σ 4 rγ +3a 3 ρσ r γ σγe e a 3 r ( a 3 a +b a 3 (a +b ) ) ) r e τ 4 +o(τ 4 ). (4.4) Úroková miera je R ap = lnpap τ = r + (a +a r +a 3 r e )τ + ( ) a a +b a 3 σ 6 rγ +a r +a 3 (a +b )r e τ + ( a a +b a 3 (a +b ) 3a σ 4 rγ 3a 3 ρσ r γ σγe e +a 3 r +(a 3 a +b a 3 (a +b ))r e )τ 3 +o(τ 3 ), tea výnosová krivka za ína z r (tak ako má, ke ºe ie o aproximáciu výnosovej krivky zopoveajúcej omácej short rater ). V²imnime si, ºe len priτ je polovica z rizikovo neutrálneho riftu r.

32 Presnos aproximácie pre CIR moel s nulovou koreláciou 5 4. Presnos aproximácie pre CIR moel s nulovou koreláciou Prepis presného rie²enia ceny lhopisu v CIR moeli je aný systémom (5.6). Taktieº poznáme explicitný prepis pre aproximáciu ceny lhopisu v CIR moeli. Získame ju tak, ºe o CKLS aproximácie (4.4) osaíme γ = γ e = a ρ = 0. V nasleujúcej stati vyjaríme Taylorov rozvoj presného rie²enia a aproximácie a ich porovnaním ovoíme presnos aproximácie pre CIR moel v prípae nulovej korelácie. Taylorov rozvoj presného rie²enia pre CIR moel Ozna me P CIR,ρ=0 presné rie²enie CIR moelu s nulovou koreláciou. Aby sme mohli vyjari Taylorov rozvoj aproximácie presného rie²enia pre CIR moel, potrebujeme vyjari leny vystupujúce v (4.3). Zo systému (5.6) vyjarime jenotlivé funkcie A(τ), D(τ), U(τ) a ich erivácie v boe τ = 0. Z po iato nej pomienky D(0) = U(0) = A(0) = 0 a rovníc pre prvé erivácie funkcií D, U, A, t. j. systém oby ajných iferenciálnych rovníc (5.6), ostávame Ḋ(0) = +a D(0) σ D (0) U(0) = 0, A(0) = 0. =, Vypo ítame ruhé erivácie funkcií D, U, A, o ktorých osaíme uº vypo ítané honoty funkcií D,U,A a ich prvých erivácií v boe 0: D(0) = a Ḋ(0) σ Ü(0) = a 3 Ḋ(0)+b U(0) σ e (D(0)Ḋ(0) ) = a, ( U(0) U(0) ) = a 3, Ä(0) = a Ḋ(0) b U(0)+ σ (D(0)Ḋ(0) ) ) +ρσ σ e (Ḋ(0)U(0)+D(0) U(0) = a. + σ e ( U(0) U(0) ) Poobne vypo ítame tretie erivácie: D (3) σ (0) = a D(0) ) (Ḋ(0) Ḋ(0)+D(0) D(0) = a σ, U (3) (0) = a 3 D(0)+b Ü(0) σ ( e U(0) U(0)+U(0)Ü(0) ) = a 3 a +b a 3 = a 3 (a +b ), A (3) (0) = a D(0) b Ü(0) = a a b a 3. Analogicky postupujeme aj pri výpo te ²tvrtých erivácií. Preh a vypo ítaných erivácií uvázame v tabu ke 4.. Pouºitím Taylorovho rozvoja ²tvrtého ráu (4.3) ostávame

33 Presnos aproximácie pre CIR moel s nulovou koreláciou 6 i-ta erivácia D i (0) 0 a a σ a 3 4a σ U i (0) 0 0 a 3 a 3 (a +b ) a 3 a a 3σ +b a 3 (a +b ) A i (0) 0 0 a a a b a 3 a a +a σ b a 3 (a +b ) Tabu ka 4.: Derivácie funkcií D, U, A v presnom rie²ení CIR moelu s nulovou koreláciou lnp CIR,ρ=0 = r τ + ( a a r a 3 r e )τ + 6 ( a a b a 3 a r +σ r a 3 (a +b )r e ) τ 3 (4.5) + 4( a a +a σ b a 3 (a +b )+4a σ r a 3 r (a 3 a a 3 σ +b a 3 (a +b ))r e ) τ 4 +o(τ 4 ). Taylorov rozvoj aproximácie pre CIR moel Ozna me P CIR,ρ=0,ap aproximáciu rie²enia CIR moelu s nulovou koreláciou pomocou vz ahu (4.4). Dosaením γ = γ e = a ρ = 0 o prepisu navrhnutej aproximácie, prípane osaením γ = γ e = a ρ = 0 o tabu ky (4.), ke sú vyjarené jenotlivé erivácie funkcií D, U, A vo v²eobecnom CKLS moeli, ostávame tabu ku (4.3). Dosaením honôt z tabu ky i-ta erivácia D i (0) 0 a a a 3 U i (0) 0 0 a 3 a 3 (a +b ) a 3 a +b a 3 (a +b ) A i (0) 0 0 a a a b a 3 +σ r a a b a 3 (a +b )+3a σ r. Tabu ka 4.3: Derivácie funkcií D, U, A v aproximácii CIR moelu s nulovou koreláciou 4.3 o vz ahu (4.3) ostaneme Taylorov rozvoj ²tvrtého ráu aproximácie lnp CIR,ρ=0,ap pre CIR moel. lnp CIR,ρ=0,ap = r τ + ( a a r a 3 r e )τ + 6 ( a a b a 3 +σ r a r a 3 (a +b )r e ) τ 3 (4.6) + 4( a a b a 3 (a +b )+3a σ r a 3 r ( a 3 a +b a 3 (a +b ) ) r e ) τ 4 +o(τ 4 ) Presnos aproximácie Porovnaním (4.5) a (4.6) ostávame, ºe roziel lnp CIR,ρ=0,ap lnp CIR,ρ=0 = 4 ( a σ r a σ a 3σ r ) e τ 4 +o(τ 4 ) (4.7)

34 Numerické výsleky pre CIR moel a jeho aproximáciu 7 je ²tvrtého ráu. 4.3 Numerické výsleky pre CIR moel a jeho aproximáciu Uvaºujme vojfaktorový CIR moel v rizikovo neutrálnej miere s nulovou koreláciou, iºe zvo me ρ = 0, potom r = (a +a r +a 3 r e )t+σ r W, r e = (b +b r e )t+σ e re W e, Cov[W, W e ] = 0. Zvo me realistické parametre v reálnej miere (realistické v tom zmysle, ºe generujú realistické priebehy short rate a výnosových kriviek) nasleovne: a = 0, b =, σ = 0.03, c = 0., = 0.0,σ e = 0.0 a trhové miery rizikaλ = 0.5,λ e = 0.. Pouºitím prevoných vz ahov na vyjarenie parametrov v rizikovo neutrálnej miere prostreníctvom reálnych parametrov ostávame: a = a λ σ = , a = b =, a 3 = b =, b = c λ e σ e = 0.003, b = c = 0., σ = 0.03, σ e = 0.0. Pre tieto parametre vygenerujeme áta. S vo bou po- iato ných honôt r =.7% a r e = % vygenerujeme omácu a európsku short rate. Priebeh jenotlivých krátkoobých úrokových mier je zaznamenaný na obrázku 4... Európska short rate r e, simulované áta Domáca short rate r, simulované áta short rate [%] pocet ni short rate [%] pocet ni Európska r e a omáca r short rate, simulované áta short rate [%] r e r pocet ni Obr. 4.: Priebeh európskej a omácej short rate po as 5 rokov Na obrázku 4. znázor ujeme priebeh omácich a európskych výnosových kriviek pre va konkrétne ni. V tabu kách 4.4 a 4.5 zaznamenávame presnú úrokovú mieru (t. j. vypo ítanú numerickým rie²ením systému (4.)), aproximovanú úrokovú mieru, ktorú získame osaením presných parametrov (po a ktorých sme áta simulovali) o navrhnutej aproximácie pre CIR moel a

35 Presnos aproximácie vo v²eobecnom CKLS moeli 8.8 Domáce výnosové krivky.5 Európske výnosové krivky omáci výnos [%] en 5. en 0.8 r 5r 0r 0r 30r maturita európsky výnos [%] en 5. en r 5r 0r 0r 30r maturita Obr. 4.: Výnosové krivky pre. a 5. e v simulovaných átach (t. j. o rok neskôr) ich roziel. Tabu ka 4.4 obsahuje tieto úaje pre prvý pozorovaný e a tabu ka 4.5 pre 5. e. Mezi týmito voma tabu kami pozorujeme minimálne roziely. Trhové honoty Euriboru sa uvázajú s presnos ou na tri esatinné miesta. Presnos na²ej aproximácie je 0 5 aº 0 6 pre lhopisy s maturitou o jeného roka a 0 4 aº 0 5 pre lhopisy s maturitami aº o 30 rokov. Ani vo bou iných ní, ke je iná kombinácia honôt r, r e, nezískame ve mi rozielne výsleky. Roziel mezi presnou a aproximovanou úrokovou mierou ostáva ráovo takmer stále rovnaký. Mat. Presný Aprox. Roziel [rok] výnos [%] výnos [%] [%] E E E E E E E E-004 Mat. Presný Aprox. Roziel [rok] výnos [%] výnos [%] [%] E E E E E E E E-004 Tabu ka 4.4: Presné a aproximované úrokové mierytabu ka 4.5: Presné a aproximované úrokové miery pre. e pozorovania, r =.7%, r e = % pre 5. e pozorovania, r =.75%, r e =.06% 4.4 Presnos aproximácie vo v²eobecnom CKLS moeli V kapitole 4. sme pomocou Va²í kovho moelu aproximovali CIR moel s nulovou koreláciou a zistili sme presnos aproximácie. Teraz bueme analogickým spôsobom, opä pomocou Va²í kovho moelu, aproximova v²eobecný CKLS moel. Cie om tejto asti je ovoi rá aproximácie (4.4) v tomto v²eobecnom prípae. Zistenie presnosti aproximácie uº nebue také jenouché, ako to bolo v prípae CIR moelu s nulovou koreláciou, ke sta ilo urobi Taylorov rozvoj logaritmov presného rie²enia a jeho aproximácie. Dá sa v²ak pouºi analogický postup, ako bol pouºitý v [0] a [] pri jenofaktorových moeloch a v [6] pri ²túiu vplyvu korelácie ρ na ceny lhopisov v konvergen om CIR moeli. Nechf ex = lnp ex je logaritmus presnej ceny lhopisup ex v vojfaktorovom CKLS moeli.