Produkte en Faktore: Faktorisering en breke *

Transcription

1 OpenStax-CNX module: m Produkte en Faktore: Faktorisering en breke * Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings Khan Akademie video oor die faktorisering van kwadratiese uitdrukkings This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure 1 Faktorisering kan gesien word as die omgekeerde proses van die berekening van die produk van faktore. Om 'n kwadratiese uitdrukking te faktoriseer, is dit dus nodig om die faktore te vind wat, wanneer hulle met mekaar vermenigvuldig word, gelyk sal wees aan die oorspronklike kwadratiese uitdrukking. Beskou 'n kwadratiese uitdrukking van die vorm: ax 2 + bx. Ons kan sien hier is x is 'n gemeenskaplike faktor in beide terme. Dus, ax 2 + bx faktoriseer tot x (ax + b). Byvoorbeeld, 8y 2 + 4y faktoriseer tot 4y (2y + 1). 'n Ander tipe kwadratiese uitdrukking bestaan uit die verskil tussen kwadrate. Ons weet dat: (a + b) (a b) = a 2 b 2 (1) Dit is waar vir enige waardes van a en b, en, nog belangriker, aangesien die twee uitdrukkings aan mekaar gelyk (ekwivalent) is, kan ons skryf: a 2 b 2 = (a + b) (a b) (1) Dit beteken dat wanneer ons enige kwadratiese uitdrukking wat bestaan uit die verskil tussen twee kwadrate teëkom, ons onmiddellik die faktore kan neerskryf. Exercise 1: Verskil van Kwadrate (Solution on p. 9.) Vind die faktore van 9x * Version 1.1: Aug 4, :12 am

2 OpenStax-CNX module: m Hierdie soort kwadratiese uitdrukking is eenvoudig om te faktoriseer. Nie baie kwadratiese uitdrukkings val egter in hierdie kategorie nie, en gevolglik het ons 'n meer algemene metode nodig vir kwadrate soos x 2 x 2. Ons kan leer hoe om kwadrate te faktoriseer deur twee binomiale met mekaar te vermenigvuldig en so 'n kwadratiese uitdrukking te kry. Byvoorbeeld, (x + 2) (x + 3) vermenigvuldig uit as: (x + 2) (x + 3) = x (x + 3) + 2 (x + 3) = (x) (x) + 3x + 2x + (3) = x 2 + 5x + 6. (1) Ons kan sien dat die x 2 term in die kwadratiese uitdrukking die produk is van die x-terme in elke hakie. Soortgelyk, die 6 in die kwadratiese uitdrukking is die produk van 2 en 3 in die hakies. Gevolglik is die middelterm die som van die twee terme. Dus, hoe gebruik ons hierdie inligting om die kwadratiese uitdrukking te faktoriseer? Kom ons begin faktoriseer x 2 + 5x + 6 en sien of ons kan besluit op sekere algemene reëls. Eerstens, skryf twee hakies neer met 'n x in elke hakie en los spasie vir die oorblywende terme. ( x ) ( x ) (1) Besluit nou op die faktore van 6. Aangesien 6 'n positiewe getal is, sal dit wees: Vervolgens het ons nou vier moontlikhede: Faktore van Table 1 Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4 (x + 1) (x + 6) (x 1) (x 6) (x + 2) (x + 3) (x 2) (x 3) Table 2 Vervolgens vermenigvuldig ons elke stel hakies uit om te sien watter stel gee vir die regte middelterm. Opsie 1 Opsie 2 Opsie 3 Opsie 4 (x + 1) (x + 6) (x 1) (x 6) (x + 2) (x + 3) (x 2) (x 3) x 2 + 7x + 6 x 2 7x + 6 x 2 + 5x + 6 x 2 5x + 6 Table 3 Ons kan sien dat Opsie 3, (x+2)(x+3), die korrekte oplossing is. Die proses van faktorisering is hoofsaaklik 'n proses van opsies identiseer en evalueer, maar daar is inligting wat die proses kan vergemaklik.

3 OpenStax-CNX module: m Metode: Faktorisering van Kwadratiese Uitdrukkings 1. Eerstens, haal enige gemeenskaplike faktore van die koësïente uit om 'n uitdrukking te kry van die vorm ax 2 + bx + c = 0 waar a, b en c geen gemene faktore het nie en a positief is. 2. Skryf twee hakies neer met 'n x in elke hakie en plek vir die oorblywende terme. ( x ) ( x ) (1) 3. Skryf 'n stel faktore neer vir a en c. 4. Skryf 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore is van die kwadratiese term deur die faktore van a en c te gebruik. 5. Brei al die opsies uit om te sien watter stel vir jou die korrekte antwoord gee. Daar is sekere wenke wat jy in gedagte kan hou: As c positief is, moet albei die faktore van c positief of albei negatief wees. Die faktore is beide negatief indien b negatief is, en beide positief indien b positief is. As c negatief is, beteken dit slegs een van die faktore van c is negatief, en die ander een is positief. Wanneer jy 'n antwoord gekry het, brei weer jou hakies uit net om te toets of dit reg uitwerk. Exercise 2: Faktorisering van 'n Kwadratiese Uitdrukking (Solution on p. 9.) Vind die faktore van 3x 2 + 2x Faktorisering van 'n Kwadratiese Drieterm 1. Faktoriseer die volgende: (a) x 2 + 8x + 15 (b) x x + 24 (c) x 2 + 9x + 8 (d) x 2 + 9x + 14 (e) x x + 36 (f) x x + 36 Kliek hier vir die oplossing 1 2. Ontbind die volgende in faktore: a. x 2 2x 15 b. x 2 + 2x 3 c. x 2 + 2x 8 d. x 2 + x 20 e. x 2 x 20 Kliek hier vir die oplossing 2 3. Vind die faktore van die volgende drieterme: a. 2x x + 5 b. 3x x + 6 c. 6x 2 + 7x + 2 d. 12x 2 + 8x Table 4

4 OpenStax-CNX module: m e. 8x 2 + 6x + 1 Kliek hier vir die oplossing 3 4. Faktoriseer die volgende drieterme: a. 3x x 6 b. 7x 2 6x 1 c. 8x 2 6x + 1 d. 2x 2 5x 3 Kliek hier vir die oplossing 4 2 Faktorisering deur Groepering 'n Verdere metode van faktorisering gebruik gemeenskaplike faktore. Ons weet dat die faktore van 3x + 3, 3 en (x + 1) is. Soortelyk is die faktore van 2x 2 + 2x, 2x en (x + 1). Gevolglik het ons 'n uitdrukking: wat ons kan faktoriseer as: 2x 2 + 2x + 3x + 3 (1) 2x (x + 1) + 3 (x + 1) (1) Nou kan ons sien daar is 'n ander gemene faktor: x + 1. Gevolglik kan ons nou skryf: (x + 1) (2x + 3) (1) Ons kry dit deur die x + 1 'uit te haal' (uit te deel) en te sien wat oorbly. Ons het +2x uit die eerste term en +3 uit die tweede term. Dit word genoem faktorisering deur groepering. Exercise 3: Faktorisering deur Groepering (Solution on p. 9.) Vind die faktore van 7x + 14y + bx + 2by deur groepering Khan Akademie video oor faktorisering van 'n drieterm deur groepering This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure Faktorisering deur Groepering 1. Faktoriseer deur groepering: 6x + a + 2ax + 3 Kliek hier vir die oplossing 5 2. Faktoriseer deur groepering: x 2 6x + 5x 30 Kliek hier vir die oplossing

5 OpenStax-CNX module: m Faktoriseer deur groepering: 5x + 10y ax 2ay Kliek hier vir die oplossing 7 4. Faktoriseer deur groepering: a 2 2a ax + 2x Kliek hier vir die oplossing 8 5. Faktoriseer deur groepering: 5xy 3y + 10x 6 Kliek hier vir die oplossing 9 3 Vereenvoudiging van Breuke In sommige gevalle van die vereenvoudiging van 'n algebraïese uitdrukking, sal die uitdrukking 'n breuk wees. Byvoorbeeld, x 2 + 3x x + 3 het 'n kwadraat in die teller en 'n binomiaal (kwadratiese tweeterm) in die noemer. Jy kan die verskillende metodes van faktorisering gebruik om die uitdrukking te vereenvoudig. = x 2 +3x x+3 x(x+3) x+3 = x solank x 3 As x 3 is, sal die noemer, x 3, 0 wees en die breuk ongedenieer. Exercise 4: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings (Solution on p. 10.) 2x b+x ab Vereenvoudig: ax 2 abx Exercise 5: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings (Solution on p. 10.) Vereenvoudig: x2 x 2 x 2 4 x2 +x x 2 +2x 3.1 Vereenvoudiging van Breuke 1. Vereenvoudig: (a) 3a 15 (b) 2a+10 4 (c) 5a+20 a+4 (d) a2 4a a 4 (e) 3a2 9a 2a 6 (f) 9a+27 9a+18 (g) 6ab+2a 2b (h) 16x2 y 8xy 12x 6 (i) 4xyp 8xp 12xy (j) 3a a+21 a+3 (k) a2 5a 2a+10 3a+15 4a (l) 3xp+4p 8p 12p2 3x+4 16 (m) 2xp+4x 6x2 +8x 12 (n) 24a a 3 6 (o) a2 +2a 5 2a+4 20 (p) p2 +pq 7p (q) 5ab 15b 4a 12 6b2 a+b (r) f 2 a fa 2 f a Table 5 8p+8q 21q

6 OpenStax-CNX module: m Kliek hier vir die oplossing 10 x 2. Vereenvoudig: x Kliek hier vir die oplossing 11 4 Optel en Aftrek van Breuke Deur gebruik te maak van die konsepte wat ons geleer het in die vereenvoudiging van breuke, kan ons nou eenvoudige breuke optel en aftrek. Om breuke op te tel of af te trek, moet ons daarop let dat ons slegs breuke kan optel of aftrek wat dieselfde noemer het. Dus moet ons eers al die noemers herlei na dieselfde noemer en dan die bewerkings van optelling of aftrekking doen. Dit word genoem die vind van die kleinste gemeenskaplike noemer of veelvoud. Byvoorbeeld, om 1 2 en 3 5 op te tel, let ons op dat die kleinste gemene noemer 10 is. Dus moet ons die eerste breuk se noemer vermenigvuldig met 5 en die tweede breuk met 2 om beide se noemers te herlei na 5 breuke met dieselfde noemer. Dit gee: 10 en Nou kan ons die breuke optel. As ons dit doen, kry ons 10. Exercise 6 (Solution on p. 10.) x 2 Vereenvoudig die volgende uitdrukking: x x2 x 2 x3 +x 4 x Twee interessante Wiskundige Bewyse Ons kan die konsepte wat ons in hierdie hoofstuk geleer het, gebruik om twee interessante wiskundige bewyse te illustreer. Die eerste bewering is dat n 2 + n ewe is vir alle n Z. Die tweede is 'n bewys dat n 3 n deelbaar is deur 6 vir alle n Z. Voor ons kan toon dat hierdie twee bewerings waar is, moet ons eers kennis neem van sekere ander wiskundige reëls. As ons 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, kry ons 'n ewe getal. Net so, as ons 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal. Verder is 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal altyd ewe, en 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, onewe. Hierdie resultaat word gewys in die volgende tabel: Ewe getal Onewe getal Ewe Onewe Ewe getal Ewe Ewe Table 6 Onewe getal As ons 3 opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, sal die antwoord altyd deelbaar wees deur 3. Dit behoort voor die handliggend te wees want as ons enige 3 opeenvolgende getalle het, sal een van hulle altyd deelbaar wees deur 3. Nou is ons gereed om te bewys dat n 2 + n ewe is vir alle n Z. As ons hierdie uitdrukking faktoriseer, kry ons n (n + 1). As n ewe is, dan is n + 1 onewe. As n onewe is, dan is n + 1 ewe. Aangesien ons weet dat as ons 'n ewe getal met 'n onewe getal vermenigvuldig, of 'n onewe getal met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal, het ons gedemonstreer dat n 2 + n altyd ewe is. Probeer dit met 'n paar waardes van n en jy sal vind dat dit waar is. Om te demonstreer dat n 3 n deelbaar is deur 6 vir alle n Z, let ons eerstens op dat die faktore van 6, 3 en 2 is. Dus, as ons wys dat n 3 n deelbaar is deur beide 3 en 2, dan het ons aangetoon dat dit ook

7 OpenStax-CNX module: m deelbaar is deur 6! As ons die uitdrukking faktoriseer, kry ons n (n + 1) (n 1). Nou sien ons dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, dan neem ons n en tel dan 1 by of trek 1 af. Dit gee ons die twee getalle weerskante van n. Byvoorbeeld, as n = 4, dan n + 1 = 5 en n 1 = 3. Maar ons weet dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, is die antwoord altyd deelbaar deur 3. Dus het ons gedemonstreer dat n 3 n altyd deelbaar is deur 3. Deur aan te toon dat dit deelbaar is deur 2, kan ons ook bewys dat dit ewe is. Ons het gewys dat n 2 + n altyd ewe is. Nou moet ons herroep wat ons gesê het oor die vermenigvuldiging van ewe en onewe getalle. Aangesien die een getal altyd ewe is en die ander een ewe of onewe kan wees, sal die resultaat van die vermenigvuldiging van hierdie getalle, altyd ewe wees. Dus het ons gedemonstreer dat n 3 n deelbaar is deur 6 vir alle n Z. 6 Opsomming 'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale staan bekend as die vierkant of kwadraat van die binomiaal. Die verskil tussen twee kwadrate kry ons wanneer ons vermenigvuldig (ax + b) (ax b) Faktorisering is die teenoorgestelde van die uitbreiding van hakies. Ons kan gemeenskaplike faktore of die verskil tussen twee kwadrate gebruik om ons te help om uitdrukkings te faktoriseer. Die distributiewe wet ((A + B) (C + D + E) = A (C + D + E) + B (C + D + E)) help ons om 'n binomiaal en 'n trinomiaal te vermenigvuldig. Die som van derdemagte is: (x + y) ( x 2 xy + y 2) = x 3 +y 3 en die verskil van derdemagte is: x 3 y 3 = (x y) ( x 2 + xy + y 2) Om 'n kwadratiese drieterm te faktoriseer, moet ons die twee binomiale vind wat met mekaar vermenigvuldig is om die kwadratiese drieterm te gee. Ons kan ook 'n drieterm faktoriseer deur groepering. Dit is wanneer ons 'n gemene faktor vind in elke term van die drieterm, dit uithaal en sien wat oorbly. Ons kan breuke vereenvoudig deur gebruik te maak van die metodes wat ons gebruik het om uitdrukkings mee te faktoriseer. Breuke kan bymekaargetel of van mekaar afgetrek word. Om dit te kan doen, moet al die breuke dieselfde noemers hê. 7 Einde van die Hoofstuk Oefeninge 1. Faktoriseer: a. a 2 9 b. m 2 36 c. 9b 2 81 d. 16b 6 25a 2 e. m 2 (1/9) f. 5 5a 2 b 6 g. 16ba 4 81b h. a 2 10a + 25 i. 16b b + 49 j. 2a 2 12ab + 18b 2 k. 4b 2 144b b 5 Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer volkome: a. ( 16 x 4) b. 7x 2 14x + 7xy 14y 12

8 OpenStax-CNX module: m c. y 2 7y 30 d. 1 x x 2 + x 3 e. 3 ( 1 p 2) + p + 1 Kliek hier vir die oplossing Vereenvoudig die volgende: a. (a 2) 2 a (a + 4) b. (5a 4b) ( 25a ab + 16b 2) c. (2m 3) ( 4m ) (2m + 3) d. (a + 2b c) (a + 2b + c) Kliek hier vir die oplossing Vereenvoudig die volgende: p 2 q 2 p p+q p 2 pq a. 2 b. x + x 2 2x 3 Kliek hier vir die oplossing Wys dat (2x 1) 2 (x 3) 2 vereenvoudig kan word tot (x + 2) (3x 4) Kliek hier vir die oplossing Bepaal wat moet by x 2 x + 4 getel word sodat dit gelyk is aan (x + 2) 2 Kliek hier vir die oplossing

9 OpenStax-CNX module: m Solutions to Exercises in this Module Solution to Exercise (p. 1) Step 1. Ons sien die kwadratiese uitdrukking is die verskil tussen twee vierkante omdat: en (3x) 2 = 9x 2 Step 2. Step 3. Step 4. Die faktore van 9x 2 25 is (3x 5) (3x + 5). Solution to Exercise (p. 3) Step 1. Die kwadraat is in die regte vorm. Step = 25 9x 2 25 = (3x) (3x) = (3x 5) (3x + 5) ( x ) ( x ) Skryf die stel faktore neer van a en c. Die moontlike faktore van a is: (1,3). The moontlike faktore van c is: (-1,1) of (1,-1). Skryf die groep opsies neer van die moontlike faktore van die kwadratiese uitdrukking a en c. Daar is twee moontlike oplossings. Opsie 1 Opsie 2 (x 1) (3x + 1) (x + 1) (3x 1) 3x 2 2x 1 3x 2 + 2x 1 Table 7 Step 3. (x + 1) (3x 1) = x (3x 1) + 1 (3x 1) = (x) (3x) + (x) ( 1) + (1) (3x) + (1) ( 1) = 3x 2 x + 3x 1 = x 2 + 2x 1. Step 4. Die faktore van 3x 2 + 2x 1 is (x + 1) en (3x 1). Solution to Exercise (p. 4) Step 1. Daar is geen algemene gemeenskaplike faktore nie. Step 2. 7 is 'n gemene faktor van die eerste twee terme en b is 'n gemene faktor van die tweede twee terme. Step 3. 7x + 14y + bx + 2by = 7 (x + 2y) + b (x + 2y) Step 4. x + 2y is 'n gemeenskaplike faktor.

10 OpenStax-CNX module: m Step 5. 7 (x + 2y) + b (x + 2y) = (x + 2y) (7 + b) Step 6. Die faktore van 7x + 14y + bx + 2by is (7 + b) en (x + 2y) Solution to Exercise (p. 5) Step 1. Gebruik groepering vir die teller en uithaal van 'n gemene faktor vir die noemer in hierdie voorbeeld. Step 2. Die vereenvoudigde antwoord is: Solution to Exercise (p. 5) Step 1. Step 2. Step 3. Die vereenvoudigde antwoord is = (ax ab)+(x b) ax 2 abx = a(x b)+(x b) = = a+1 ax ax(x b) (x b)(a+1) ax(x b) = (x+1)(x 2) (x+2)(x 2) x(x+1) x(x+2) = (x+1)(x 2) (x+2)(x 2) x(x+2) x(x+1) = 1 Solution to Exercise (p. 6) Step 1. x 2 (x + 2) (x 2) + x2 x 2 x3 + x 4 (x + 2) (x 2) Step 2. Ons maak al die noemers dieselfde sodat ons die breuke kan optel of aftrek. Die kleinste gemeenskaplike noemer is (x 2) (x + 2). ( x 2 ) x 2 (x + 2) (x 2) + (x + 2) (x + 2) (x 2) x3 + x 4 (x + 2) (x 2) Step 3. Aangesien al die breuke dieselfde noemer het, kan ons hulle almal skryf as een breuk met die toepaslike bewerkingstekens. Step 4. Step 5. x 2 + ( x 2) (x + 2) x 3 + x 4 (x + 2) (x 2) 2x 2 + 2x 6 (x + 2) (x 2) 2 ( x 2 + x 3 ) (x + 2) (x 2)