UNIVERZITA KOMENSKÉHO FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY BRATISLAVA Martin Takáč Využitie aproximácie rozdelenia časovo spriemernenej hodnoty náhodnej premennej pri oceňovaní ázijských opcií Študentská vedecká konferencia 29 Vedúci práce: doc. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc.
Prehlasujem, že túto prácu som vypracoval sám, iba s použitím uvedenej literatúry a s pomocou môjho vedúceho.... Martin Takáč
Aj touto cestou by som sa chcel pod akovat vedúcemu práce Danielovi Ševčovičovi za jeho odborné vedenie, pripomienky, návrhy a za množstvo času a trpezlivosti, ktoré mi venoval pri vypracovávaní tejto práce.
Abstrakt V práci odvádzame aproximatívny vzorec na oceňovanie ázijských opcií bez možnosti predčasného uplatnenia. Pomocou momentovej vety odhadneme parametre log-normálneho rozdelenia, ktorým aproximujeme nekonečný súčet navzájom korelovaných log-normálnych rozdelení. Ukazuje sa, že táto aproximácia je vhodná len pre malé časy T do expirácie a pri malej volatilite podkladového aktíva σ. Na rozdiel od klasického spriemerovania odvádzame momenty pre vážený aritmetický priemer. Nakoniec uvádzame možné vylepšenia použitím posunutého log-normálneho rozdelenia, či tzv. generalized extreme value rozdelenia.
Obsah Úvod a motivácia 3. Motivácia............................ 3.2 Opčné deriváty......................... 3.2. Typy opcií........................ 5.3 Ázijské opcie.......................... 6 2 Oceňovanie average rate opcií bez možnosti predčasného uplatnenia 8 2. Idea odvodenia......................... 9 2.. Binárne stromy..................... 2.2 Výpočet momentov pre obyčajné spriemerovanie...... 2.3 Zovšeobecnené spriemerovanie................ 4 2.3. Odhad momentov pre váhovaciu funkciu exp( λξ). 4 2.4 Odhady parametrov...................... 9 2.5 Metóda Monte-Carlo simulácií................. 2 2.6 Numerické výsledky...................... 22 2.6. Plánované vylepšenia................. 22 2.6.2 Zovšeobecnenia..................... 22 3 Zhrnutie 24 4 Prílohy 25 4. Monte-Carlo simulácia..................... 25 4.2 Ocenenie ázijskej opcie pomocou Monte Carlo simulácií.. 26
Glosár Arbitráž: vykonanie niekol kých obchodov na trhu za účelom obdržania garantovaného bezrizikového zisku. Derivát: cenný papier, ktorého hodnota je závislá (odvodená) od už existujúcich cenných papierov na trhu. Kontrakt: zákonne platná dohoda medzi dvoma stranami. Payoff: výplata derivátu definovaná ako nominálna hodnota mínus strike price. Strike price: pevne dohodnutá cena, za ktorú môže byt cenný papier predaný alebo kúpený vo vopred stanovenom čase. Zoznam symbolov σ - volatilita. τ - čas, ktorý ostáva do maturity. S - cena podkladového aktíva. r - bezriziková úroková miera. E - expiračná cena (strike price). A t - aritmetický priemer cien akcií, A t = t t S t. 2
Kapitola Úvod a motivácia. Motivácia V posledných rokoch rastie objem obchodovaných exotických opcií. Nemalú čast tvoria práve Ázijské opcie. Ked že neexistuje explicitný vzorec na ich ocenenie (v prípade aritmetického spriemerovania), vzniklo mnoho metód ako vypočítat cenu opcie. Niektoré algoritmy založené na binárnych stromoch potrebujú stovky až tisíce sekúnd na výpočet ceny opcie (vid. napr. ). Preto naším ciel om bude nájst aproximatívny explicitný vzorec na ocenenie Ázijskej opcie. Na rozdiel od štandardného aritmetického spriemerovania budeme uvažovat aj vážené aritmetické spriemerovanie so všeobecnou váhovacou funkciou a(ξ)..2 Opčné deriváty Finančné deriváty sú odvodené od aktív (akcie, komodity,...), burzových indexov, menových kurzov,... Spoločným názvom v angličtine underlaying. Základnými typmi finančných derivátov sú opčné deriváty, forwardy, futurity a swapy. V práci sa budeme zaoberat iba opčnými derivátmi (opciami). Opcia je právo (nie povinnost ) kúpit alebo predat určité podkladové aktívum alebo finančný nástroj v stanovenom termíne (expiration date) za 3
vopred dohodnutú cenu (strike price). Ak sa opcia môže realizovat pred časom vypršania, tak hovoríme o Americkej opcie. Ak sa môže realizovat iba v čase vypršania, hovoríme o Európskej opcie. Kúpna opcia (call option) je kontrakt, ktorý dáva vlastníkovi právo kúpit dané podkladové aktívum v časte vypršania za dohodnutú cenu. Predajná opcia (put option) je kontrakt, ktorý dáva vlastníkovi právo predat dané podkladové aktívum v čase vypršania za dohodnutú cenu. Exotické opcie sú všetky opcie, ktoré nie sú definované ako štandardné (plain-vanilla-option). Obchodník môže na opčnom trhu zaujat nasledovné pozície: kúpa kúpnej opcie (long call), predaj kúpnej opcie (short call), kúpa predajnej opcie (long put), predaj predajnej opcie (short put). Predpokladajme, že sme vypisovatel om Európskej call opcie. Nech opčná cena je X, cena podkladového aktíva je S, bezriziková úroková miera je r a opčný obchod sa uzatvára na čas T. Dilemou je, za akú cenu V máme danú opciu predat. Táto cena sa volá opčná prémia (option premium, option value). Riešenie je možné nájst postupom opísaným v 7, 4, 2. O podkladovom aktíve sa predpokladá, že sleduje nasledovný stochastický proces: kde W t je Wienerov proces. Za nasledovných predpokladov S t = S exp(µt + σw t ), vylúčenie arbitráže (no riskless arbitrage opportunities), obchodovat sa dá nepretržite, bezriziková úroková miera je konštantná a každému známa, nie sú žiadne transakčné náklady a neplatia sa žiadne dane, aktíva neplatia žiadne dividendy, aktíva sú perfektne delitel né, možnost požičast, resp. požičat si l ubovol ne vel a peňazí za bezrizikovú úrokovú mieru. 4
a skonštrulovaním bezrizikového portfólia pozostávajúceho z opcií, akcií a dlhopisov dostávame nasledovnú Black-Scholesovú parciálnu diferenciálnu rovnicu. V τ + σ2 2 V V 2 S2 + rs rv =. (.) S2 S Počiatočnú podmienku určíme nasledovne: v čase expirácie platí (τ = ), že Podl a 4 je riešením (.) a (.2): kde V (S, ) = max{s X, }. (.2) V (S, τ) = SN(d ) Xe rτ N(d 2 ), (.3) N(x) = x 2π e t2 2 dt je distribučná funkcia normálneho rozdelenia s µ = a σ =, a d = ln S X d 2 = d σ τ = ln S X + (r + σ2 2 )τ σ τ (.4) σ2 + (r )τ 2 σ. (.5) τ.2. Typy opcií Opcie môžeme rozdelit podl a viacerých kritérií. Jedným kritériom môže byt napr. na aké podkladové aktívum sú naviazané. Tu môžeme zaradit napr.: opcie na akcie, opcie na opcie, opcie na na výmenné kurzy, opcie na úrokové miery. Iným kritériom môže byt možnost predčasného uplatnenia opcie. Rozoznávame teda opcie: 5
s možnost ou predčasného uplatnenia (tzv. americké opcie). Sú to opcie, ktoré môžeme uplatit ešte pred stanovenou dobou maturity T, bez možnosti predčasného uplatenia (tzv. európske opcie). Opcia vyprší v čase expirácie T. Ďalším nemenej významným kritériom je, či cena pay-off záleží od vývoja akcie do času expirácie (jedná sa o tzv. exotické opcie). Sem patria napr.: ruské opcie (cena opcie je funkciou maximálnej, resp. ceny podkladového aktíva), minimálnej bariérové opcie, lookback opcie, ázijské opcie..3 Ázijské opcie Ázijské opcie sú typom opcií, ktoré závisia aj od historického vývoja ceny podkladového aktíva. V d alšom sa zameriame výlučne na opcie, kde podkladovým aktívom sú akcie. V prípade ázijských opcií je pay-off funkciou aj historického priemeru cien akcií. Použitie Ázijské opcie sú užitočným finančným nástrojom na zaist ovanie špecifických typov aktív, akými môžu byt napr. ropa, obilie,... Vel kou výhodou týchto opcií je aj to, že výsledný pay-off nie je vel mi citlivý od aktuálnej ceny akcie. Podl a typu spriemerovania rozlišujeme opcie s aritmetickým spriemerovaním A t = t t s geometrickým spriemerovaním ln A t = t Podl a pozície A t v pay-off poznáme dva typy: S ξ dξ, t ln S ξ dξ. Average rate call (V (S, A, T ) = max{, A E}), resp. put (V (S, A, T ) = max{, E A}). 6
Average strike call (V (S, A, T ) = max{, S A}), resp. put (V (S, A, T ) = max{, A S}). Poznamenajme, že v prípade geometrického spriemerovania existujú explicitné vzorce na oceňovanie ázijských opcií (podrobnejšie o geometrickom spriemerovaní možno nájst v 4). 7
Kapitola 2 Oceňovanie average rate opcií bez možnosti predčasného uplatnenia V súčasnej dobe nie je známy explicitný vzorec na ocenenie Ázijskej opcie 4. Riešenie sa preto musí hladat rôznymi aproximatívnymi metódami. Medzi základné metódy ocenenia Ázijskej opcie patrí: numerický prístup - spočíva v Monte Carlo simulácií, riešenie PDR metódou konečných diferencií, analytická aproximácia - spočíva v aproximácii rozdelenia A T a odvodení aproximatívneho explicitného vzorca na výpočet ceny opcie, odhad dolného a horného ohraničenia ceny opcie. Viac o tejto problematike vid. v 4. V tejto kapitole odvodíme prvé dva momenty náhodnej premennej A T v prípade ako jednoduchého aritmetického spriemerovania, tak aj v prípade váženého spriemerovania. Pomocou mometovej vety odhadneme parametre log-normálneho rozdelenia a nakoniec odvodíme aproximatívny explicitný vzorec na oceňovanie ázijskej average rate opcie. 8
2. Idea odvodenia Je známe (vid. 7, ), že cena call opcie sa dá vypočítat ako V (S, A, ) = e rt E Q (A T E) +, (2.) kde (ξ) + = max{, ξ} a Q je technická, rizikovo neutrálna pravdepodobnost (jej existencia je zaručená Girsanovova lemov) a A T = T S ξ dξ. Lema 2.. (Girsanovova). Nech W t (ω), t T, je Brownov pohyb na (Ω, F, P ). Nech γ t (ω) je Ft W -adaptovaný proces, pre ktorý ( T ) E P exp γt 2 dt <. 2 Potom existuje miera Q na (Ω, F) taká, že Q P (miera Q a P sú navzájom ekvivalentné), dq ( (ω) = exp γ t (ω)dw t (ω) ) γt 2 (ω)dt, dp 2 W t (ω) = W t (ω) + t γ s(ω)ds je Brownov pohyb na (Ω, F, Q). Pre ds pri pravdepodobnostnej miere P platí ds t = S t σdw t + S t µdt + 2 σ2 S t dt. Dá sa ukázat, že pre rizikovo neutrálnu mieru Q musí platit (vid. 7), že proces Z t = e rt S t musí byt Ft W -martingal. A teda tento proces musí mat nulový drift. Potom dostávame, že pri rizikovo neutrálnej pravdepodobnosti Q pre proces S t platí: ( S t = S exp σ W t + rt ) 2 σ2 t, (2.2) kde W t je Wienerov proces na (Ω, F, Q). Z Itóovej lemy potom pre ds t platí ds t = Srdt + Sσd W t. (2.3) V d alšom budeme namiesto W t písat iba W t, lebo v d alšom budeme uvažovat už len mieru Q. 9
2.. Binárne stromy Pre vývoj ceny akcie predpokladáme, že sleduje geometrický Brownov pohyb, teda S(t + dt) = S(t) exp (r 2 ) σ2 dt + σdw t, (2.4) kde W t je Wienerov proces, r rizikovo neutrálna miera a σ je volatilita. Binárny vývoj akcie predpokladá, že cena akcie sa môže zvýšit z S na S u, kde u > s pravdepodobnost ou p, alebo znížit na S d (d < ) s pravdepodobnost ou p. Ukážka vývoja v dvoj-etapovom binárnom strome je na obr. 2.. Obrázok 2.: Ukážka dvoj-etapového binárneho stromu. Ak by sme mali n-etapový binárny strom, tak potom jedna etapa predstavuje čas t = T. Potom pre (vid. ) n p = er t d u d, (2.5) u = e σ t, (2.6) d = u, (2.7) bude binárny strom správne popisovat vývoj akcie (pri rizikovo neutrálnej miere Q).
Naším hlavným ciel om je vypočítat hodnotu V (S, A, ). Aby sme to mohli urobit, potrebovali by sme vediet rozdelenie A a potom pomocou vzorca (2.) už l ahko ocenili danú opciu. Je zrejmé, že S t má lognormálne rozdelenie. Taktiež je známe, že súčet lognormálnych náhodných veličín nie je lognormálny, ale dá sa za istých predpokladov (σ <.4) dobre aproximovat lognormálnym rozdelením. 2.2 Výpočet momentov pre obyčajné spriemerovanie Na odhadnutie parametrov lognormálneho rozdelenia môžeme použit napr. momentovú metódu. Ked že lognormálne rozdelenie je dvoj-parametrické rozdelenie, tak potrebujeme určit presne dva momenty veličiny A T. Daný problém v prípade obyčajného spriemerovania bol už riešený (vid. napr.,,8), no v práci odvádzame momenty iným spôsobom. Najprv spojitý proces zdiskretizujeme na n častí a následne vypočítame limity pre n. Daný postup je jednoduchší v prípade odvádzania vyšších momentov. V d alšej časti odvodíme momenty v prípade váženého spriemerovania. Lema 2.2.. Pre EA T platí exp(rt ) EA T = S. (2.8) rt Dôkaz: Najprv budeme aproximovat spojitý proces S t diskrétnym procesom a nakoniec limitným prechodom dostaneme tvrdenie uvedenej lemy. Nech ξ j sú alternatívne rozdelené, nezávislé náhodné premenné, ktoré nadobúdajú hodnoty u s pravdepodobnost ou p a d s pravdepodobnost ou p. Definujme k ξ =. Potom S k t = S ξ j. Označme j= Potom µ = Eξ = p(u d) + d = er t d u d (u d) + d = er t. EA T E n + n + i= i S E i= j= S i t n + ξ j n + i= E S i t = i= S i Eξ j = j=
n + n + i= i= S n + S + e r T n (n+) + e r T n = S ( + e rt ) lim i j= µ n + S µ i = i= S µ i n + S µ n+ µ = ( ) = S lim + e r T n (n+) n+ + e r T n (n+) 2 e r T n rt n 2 = S + e rt rt. = Lema 2.2.2. Pre EA 2 T platí EA 2 T = S 2 2 exp(β) exp(α) α β α kde α = rt, β = 2(r + 2 σ2 )T. exp(β), (2.9) β Dôkaz: Označme ν = Eξ 2 = µ(u + d), η = µ, ζ = νη. Potom (n + ) 2 S 2 EA 2 n = E = E = i= ν (2 i i= i k= j= j=i+ ξ j i= k ξ l = l= µ j i + S S i t 2 = E ) = i= i E k= j= i= j= ξ j 2 i ξ j = k ξ l = l= ) n i ν (2 i µ j + = i= j= = i= ( ν i 2µ ) µn i µ + = i= ( ) 2µ ν i µ + η i 2µn+ = µ Je zrejmé, že = νn+ ν ( ) 2µ µ + 2 µn+ µ ζ n+. ζ 2
lim lim n + lim ν n+ n + ν ( ) 2µ µ + lim 2µ n+ n + µ ζ n+ ζ n + = + exp(β), β = 2 α, exp(α) = 2, α = + exp((r + σ2 )T ). (r + σ 2 )T Potom S 2 EA 2 T (n + ) 2 = 2 α Lema 2.2.3. Pre ES T A T platí { ν n+ ν exp(β) exp(α) β α ES T A T = S 2 kde α = rt, β = 2(r + 2 σ2 )T. ( ) 2µ µ + 2µn+ µ exp(β). β } ζ n+ = ζ exp(β) exp(α), (2.) β α Dôkaz: Podobne ako v predchádzajúcich dôkazoch, spojitý proces najprv zdiskretizujeme a nakoniec prejdeme limitou k pôvodnému spojitému problému. ES T A T n + E S T S S i t = i= ( n + E n ( ) i S ξ j) S ξ k = j= i= k= ( S 2 n ) n + E i ξ j ξ k = S 2 n + E ( n i= j= ξ j i k= i= j= k= ξ k ) S 2 n + ( ) µ n i ν i = i= 3
S 2 n + µn ( i= S 2 µ n+ ν n+ n + µ ν ( ) ) i ν S 2 νn+ µ n µ n + µn = νµ = S 2 e rt e(r+s2 )T (r + s 2 )T = S2 2.3 Zovšeobecnené spriemerovanie exp(β) exp(α). β α V predchádzajúcej časti sme sa venovali prípadu, kedy A t = S ξ dξ. V t tejto časti sa budeme zaoberat prípadom, kde budeme uvažovat vážený a- ritmetický priemer s váhovacou funkciou a(ξ). V praxi sa totižto obchodujú opcie, ktoré sa spriemerovávajú napr. posledných k dní pred expiráciou. Všeobecný vážený priemer môžeme teda zapísat ako A T = a(ξ)dξ Príklady váhovacích funkcií sú napríklad: a(t ξ)s ξ dξ. exponenciálne váhovnaie a(ξ) = exp( λξ), {, pre ξ ε spriemerovávanie pred expiráciou a(ξ) =, pre ξ < ε. 2.3. Odhad momentov pre váhovaciu funkciu exp( λξ) V tejto časti odhadneme momenty A T, kde A T = exp( λξ)dξ e λ(t ξ) S ξ dξ je vážený aritmetický priemer s váhovacou funkciou a(ξ) = exp( λξ). Lema 2.3.. Pre ES T A T platí t ES T A T = S 2 e λξ dξ e 2(r+ 2 s2 )T e (r+λ)t (λ + r + s 2 )T. 4
Dôkaz: Označme si ω = exp(λ t), ϱ = ων. Potom ES T A T e λξ dξ n + E S T e λt n + E S T e λt n + E S e 2 λt ( S 2 e λt n + E n ω i i= S e 2 λt n + µn S ( n S e λt +λ i t S i t = i= S ω i S i t = i= ξ j) j= i= ( n + E n ω i ( i= j= ξ j i k= ( ) ) i ϱ µ i= S e 2 λt µ n+ ϱ n+ n + µ ϱ j= ω i ( ξ j S ) i ξ k = k= ) i ξ k = k= ) S ξ k e 2 λt n + ( ) ω i µ n i ν i = i= S e 2 λt ϱn+ µ n n + µn = ϱµ = S 2 e rt e λt e(λ+r+s2 )T (λ + r + s 2 )T = = S 2 e 2(r+ 2 s2 )T e (r+λ)t. (λ + r + s 2 )T Poznámka: Ak vypočítame lim λ ES T A T, tak dostávame (2.). Lema 2.3.2 (Itóova izometria 2, 9). Nech pre meratel nú funkciu f : (, t) R platí t f 2 (ξ)dξ <. Nech W t je Wienerov proces. Potom existuje Itóov integrál t f(ξ)dξ, ktorý predstavuje normálne rozdelenú náhodnú premennú s rozdelením N(, σ 2 (t)), kde σ 2 (t) = t f(ξ)2 dξ. Potom platí: ( t ) 2 t E f(ξ)dw ξ = f(ξ) 2 dξ. (2.) Nech {S ξ, ξ } je stochastický proces. Potom platí ( t ) 2 t E S ξ dw ξ = E Sξ 2 dξ. (2.2) 5
Lema 2.3.3. Pre ES t platí ES t = S e rt. Dôkaz: ES T S E n i= ξ i S n i= Eξ i S µ n = S e rt. Lema 2.3.4 (Prvý moment v prípade váženého spriemerovania pre l ubovol nú váhovaciu funkciu). Pre EA T platí EA T = S a(ξ)dξ a(t ξ)e rξ dξ. Dôkaz: EA T Poznámka : a(ξ)dξ = E = a(t ξ)s ξ dξ = a(t ξ)es ξ dξ = a(t ξ)s e rξ dξ. a(t ξ)e rξ dξ je konvolúcia jadra a( ) a exp(r ). Poznámka 2: Ak uvažujeme a(ξ) = exp( λξ), tak EA T = S e λξ dξ e λ(t ξ) e rξ λ dξ = S e(λ+r)t λ + r e λt = e λt λ e rt e λt = S λ + r e. λt Lema 2.3.5 (Druhý moment v prípade všeobecného spriemerovania). Pre EA 2 T platí ( ) 2 EA 2 T = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds a(t ξ)sσdw ξ +E (a(t ξ)sσ) 2 dξ. 6
Dôkaz: r 2 EA 2 T = r 2 E Z rovnice (2.3) dostávame, že Potom ( r 2 E ( = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds ( ) 2 a(t ξ)s ξ dξ. Sdξ = ds SσdW ξ. (2.3) r ) 2 ( ) 2 a(t ξ)s ξ dξ = E a(t ξ)(ds SσdW ξ ) = ) 2 ( ) 2 a(t ξ)sσdw ξ ) = E a(t ξ)ds ( ) 2 a(t ξ)sσdw ξ + E a(t ξ)sσdw ξ. Použitím Itóovej izometrie dostávame ( ) 2 = E a(t ξ)ds 2E a(t ξ)ds a(t ξ)sσdw ξ +E (a(t ξ)sσ) 2 dξ. Lema 2.3.6 (Druhý moment v prípade váženého spriemerovania pre exponenciálnu váhovú funkciu). Pre EA 2 T platí EA 2 T = S2 2 exp( β) exp( α) exp( β), (2.4) k 2 α β α β kde α = (r + λ)t, β = 2(r + 2 σ2 + 2 λ)t, k = exp( λξ)dξ. Dôkaz: Označme ν = Eξ 2 = µ(u+d), η = π, ζ = ϱη, ω = exp(λ t), ϱ = ων, π = ωµ. Potom (n + ) 2 S 2 EA 2 n = E i= S S i t e λ(t i t) 2 = E e λt ω i i= j= 2 i ξ j = 7
= e 2λT E ω i ω k i ξ j k i ξ l = e 2λT ω i ω k E i= k= j= l= i= k= j= l= ξ j k ξ l = = ) ν i ω (2 i ω j i µ j i + = i= j=i+ ) n i ϱ (2 i π j + = i= j= = i= ( ϱ i 2π ) πn i π + = i= ( ) 2π ϱ i π + η i 2πn+ = π Je zrejmé, že = ϱn+ ϱ ( ) 2π π + 2 πn+ π ζ n+. ζ Potom lim lim n + lim ϱ n+ n + ϱ ( ) 2π π + lim = + )T e(λ+2r+s2 + exp( β) =, (λ + 2r + s 2 )T β 2 = (λ + r)t = 2 α, 2π n+ n + π = 2e(λ+r)T (λ + r)t ζ n+ n + ζ S 2 EA 2 T (n + ) 2 = 2 α = + e(r+s2 )T (r + s 2 )T. { ϱ n+ ϱ exp( α) = 2, α ( ) 2π π + 2 πn+ π exp( β) exp( α) exp( β). β α β } ζ n+ = ζ Poznámka: Tento vzorec je skoro totožný so vzorcom pre jednoduché spriemerovanie, až na to, že namiesto parametrov α, β tu vystupujú α, β. Je zrejmé, že lim α = α a lim β = β. λ λ Podarilo sa nám odvodit prvé dva momenty pre exponenciálne vážené aritmetické spriemerovanie. 8
2.4 Odhady parametrov V tejto časti odhadneme momentovou metódou parametre lognormálneho rozdelenia. Nech ψ je náhodná veličina s lognormálnym rozdelením s parametrami ϕ, χ. Potom hustota pravdepodobnosti je {, pre x f ψ (x, ϕ, χ) = xχ exp (ln(x) ϕ)2, pre x > 2π 2χ 2 a distribučná funkcia F ψ (x, ϕ, χ) = {, pre x + erf ln(x) ϕ 2 2 χ, pre x >. 2 Ďalej platí Eψ = e ϕ+ 2 χ2, ( ) V arψ = e χ2 e 2ϕ+χ2. Ked že poznáme skutočné prvé dva momenty A T, vieme aplikovat momentovú vetu a odvodit parametre ϕ, χ. Platí ϕ = ln(eψ) ( 2 ln + V arψ ), (Eψ) 2 χ 2 = ln ( + V arψ (Eψ) 2 Nakol ko V arψ = Eψ 2 Eψ 2, tak ϕ = ln(eψ) 2 ln Eψ2 + ln(eψ) = 2 ln(eψ) 2 ln Eψ2, χ 2 = ln Eψ2 (Eψ) 2. Po dosadení Eψ a Eψ 2 dostávame ( ) exp(α) ϕ = 2 ln S 2 ( α ln χ 2 = ln S 2 2 exp(β) exp(α) exp(β) α β α β ( S 2 exp(α) α S 2 ). ) 2 = ln 9 2 exp(β) exp(α) exp(β) α β α β 2 α exp(β) exp(α) exp(β) β α β ( exp(α) α ) 2. ),
Ak si označíme κ = exp(α) α a θ = 2 α exp(β) exp(α) β α exp(β), tak potom β ϕ = ln S + 2 ln κ ln θ, 2 χ 2 = ln θ 2 ln κ, kde Potom κ = ert, rt θ = 2 rt exp(2(r + 2 σ2 )T ) exp(rt ) 2(r + exp(2(r + 2 σ2 )T ) 2 σ2 )T rt 2(r + 2 σ2 )T. V (S, ) = e rt E Q (A T E) + = e rt (x E) + f ψ (x, ϕ, χ) dx = = e rt (x E) xχ 2π exp (ln(x) ϕ)2 2χ 2 E 2.5 Metóda Monte-Carlo simulácií Pomocou programu (vid. kapitolu 4.) si môžeme pre dané počiatočné hodnoty S, E, r, σ, T vygenerovat možné realizácie A T. Ak sme zvolili hodnoty nasledovne S =, σ =., r =.5, T =.5, tak sme dostali, že log-normálny fit dobre aproximuje vygenerované rozdelenie (vid. obr. 2.2). Ak sme zvolili hodnoty nasledovne S =, σ =.5, r =.5, T = 2, tak sme dostali, že log-normálny fit zle aproximuje vygenerované rozdelenie (vid. obr. 2.3). Pre tieto dáta sa ukazuje lepším tzv. Generalized extreme value rozdelenie (vid. obr. 2.4). Generalized extreme value Nech η je generalized extreme value rozdelenie s parametrami µ, σ, ξ, tak potom pre hustotu platí f η (x, µ, σ, ξ) = σ + ξ ( x µ σ ) 2 dx. ξ exp { + ξ ( x µ σ ) } ξ.
Generalized extreme value rozdelenie kombinuje 3 jednoduchšie rozdelenia (Gumbel, Frechet, Weibull) do jediného rozdelenia. Výhodou je, že ked fitujeme dáta týmto rozdelením, môžeme nechat dáta rozhodnút, z akého rozdelenia pochádzajú. Rozdelenia, ktorých chvosty klesajú exponenciálne (ako napríklad normálne rozdelenie) sú typu I (Gumbel). Rozdelenia, ktorých chvosty klesajú pomalšie, ako exponenciálne (napr. Studentovo t-rozdelenie) sú typu II (Frechet). Rozdelenia s konečnými chvostami (ako napr. beta rozdelenie) sú typu III (Weibull). Podrobnejšie vid. napr. v 3, 2, 5. Obrázok 2.2: Odhad hustoty A T pre S =, σ =., r =.5, T =.5 a lognormálny fit. V tomto prípade lognormálny fit je uspokojivý. Odhad prvého momentu A T bol.25979988628, vypočítaný pomocou vzorca.2648297754. Odhad druhého momentu A T bol.2784334386, vypočítaný pomocou vzorca.279329394937. Kernelová funkcia pre jednotlivé typy odhadu je nasledovná: normal - k(u) = 2π exp( 2 u2 ); Epanechnikov - k(u) = 3 4 ( u2 ), pre u ; box - k(u) = 2, pre x ; triangle - k(u) = u, pre u. Viac o kernelových odhadoch hustoty vid. 6. 2
Obrázok 2.3: Odhad hustoty A T pre S =, σ =.5, r =.5, T = 2 a lognormálny fit. V tomto prípade lognormálny fit nie je uspokojivý. Odhad prvého momentu A T bol.643556349844, vypočítaný pomocou vzorca.669625253344. Odhad druhého momentu A T bol.6339937393964, vypočítaný pomocou vzorca.639432785638. 2.6 Numerické výsledky V tabul ke 2. uvádzame numerické hodnoty a porovnanie s inými metódami. Parametre použité pri výpočte sú S =, T =, σ =.5. 2.6. Plánované vylepšenia V budúcnosti plánujeme použit aproximáciu s tzv. posunutým log-normálnym rozdelením (ak η je lognormálne rozdelenie, tak η + c je posunuté lognormálne rozdelenie), resp. Generalized extreme value rozdelením. Ked že tieto rozdelenia sú 3-parametrické, na ich odhad musíme ešte vypočítat EA 3 T. 2.6.2 Zovšeobecnenia Uvedený vzorec na oceňovanie bol pre t =. Ak sme v čase < t < T a poznáme A t = t S t τdτ, tak potom A T A t = t A T t + T ta T T t(s t, T t). Takže vieme vypočítat cenu opcie aj v čase < t < T. Ak by sme uvažovali aj dividendovú mieru q, tak oceňovacia formulka sa zmení len tak, že namiesto r budeme používat r q. 22
Obrázok 2.4: Histogram A T pre S =, σ =.5, r =.5, T = 2 a dva fity (generalized extreme value, lognormálny fit). E r RS-PDE T-LB T-UB AA LN MC.5 2.62 2.762 2.762 2.7279 2.85755 2.7776 5.5.439.3372.3374.3257.35265.3376.9 4.85 4.382 4.384 4.373 4.7558 4.3 5.9..9583.9585.956.4839.94235.5 6.777 6.7944 6.7946 6.7963 7.89423 6.7869 5.5 2.639 2.7444 2.7446 2.7559 3.984 2.7387 Tabul ka 2.: Tabul ka cien opcií pre S =, T =, σ =.5. RS PDE sú hodnoty získané pomocou riešenia PDR (Roger a Shi) T LB a T UB sú dolný a horný odhad od Thompsona (2). AA je analytická aproximácia 4. LN je aproximácia pomocou Log-normálneho fitu, MC - je cena získaná z MC simulácie (vid. kapitola 4.2). 23
Kapitola 3 Zhrnutie Hlavným prínosom tejto práce je odvodenie prvých dvoch momentov náhodnej premennej A T v prípade váženého aritmetického spriemerovania. Taktiež uvádzame alternatívny spôsob odvodenia prvých dvoch momentov A T v prípade obyčajného spriemerovania. Aj ked presnost odvodeného aproximatívneho explicitného vzorca na cenu ázijskej average rate opcie je postačujúca len pre malé hodnoty σ a T, máme víziu vylepšit tento vzorec použitím generalized extreme value rozdelenia. 24
Kapitola 4 Prílohy 4. Monte-Carlo simulácia %Vstupne parametre sigma =.5;r =.5;T=2;E=;S=; %Vypocet n=2;m = ;dt = T/n; u = exp(sigma *sqrt(dt)); d = exp(-sigma *sqrt(dt)); p = (exp(r*dt)-d)/(u-d); values=; for i = :m tresh = (( rand(,n) < p )+)*(u-d)+d; temp=; for j=:n temp = (temp+)*tresh(j); end temp = (temp + )/(n+); values(i)= temp; end a=r*t; b=2*(r+.5*sigma^2)*t; format long disp('prvy moment') mean(values) 25
VzorecPrvyMoment = (exp(r*t)-)/(r*t) disp('druhy moment') mean(values.^2) VzorecDruhyMoment = 2/(a)*( (exp(b)-exp(a))/(b-a)-(exp(b)-)/(b) ) % Odhad hustory hname = {'normal' 'epanechnikov' 'box' 'triangle','lognormal fit'}; colors = {'r' 'b' 'g' 'm'}; for j=:4 f,x = ksdensity(values,'kernel',hname{j}); hold on; plot(x,f,colors{j}); end legend(hname{:}); % Log-normal fit phi = 2*log(VzorecPrvyMoment)-.5*log(VzorecDruhyMoment) chi = sqrt(log( VzorecDruhyMoment/VzorecPrvyMoment^2 )) y=lognpdf(x,phi,chi'); plot(x,y,'-x') hold off 4.2 Ocenenie ázijskej opcie pomocou Monte Carlo simulácií sigma =.5;r =.5;T=2;E=;S=; %Vstupne parametre n=2;m = ;dt = T/n; %Vypocet u = exp(sigma *sqrt(dt)); d = exp(-sigma *sqrt(dt)); p = (exp(r*dt)-d)/(u-d); values=; for i = :m tresh = (( rand(,n) < p )+)*(u-d)+d; temp=; for j=:n temp = (temp+)*tresh(j); end temp = (temp + )/(n+); values(i)= temp; end index = S*values> E; exp(-r*t)*/m*sum( (S*values-E).*index) 26
Literatúra Dai, T., Huang, G., Lyuu, Y.,: An efficient convergent lattice algorithm for Europan Asian options, Applied Mathematics and Computation 69 (2) 25, 458-47. 2 Embrechts, P., Klüppelberg, C.,Mikosch, T.,: Modelling extremal events for insurance and finance, Berlin, Spring Verlag, 997. 3 Help k programu Matlab 7.6..324 (R28a). 4 Kwok, Y. K.,: Mathematical Models of Financial Derivatives, Singapore, Springer - Verlag, 998. 5 Leadbetter, M.R., Lindgreen, G., Rootzén, H.,: Extremes and related properties of random sequences and processes, Springer-Verlag, 983, ISBN -387-973-9. 6 Li, Qi, Racine, Jeffrey S.,: Nonparametric Econometrics: Theory and Practice, Princeton University Press, 27, ISBN 69263. 7 Melicherčík I., Olšarová L., Úradníček V.,: Kapitoly z finančnej matematiky, Bratislava, EPOS, 25. 8 Milevsky, M.A., Posner, S.E.,: Asian options, the sum of lognormals, and the reciprocal gamma distribution, J. Finan. Quant. Anal. 33 998, 49 422. 9 Oksendal,B. K.,: Stochastic Differential Equations: An introduction with Applications, Berlin, Springer, 23. Posner, S.E., Milevsky, M.A.,: Valuing Exotic Options by Approximating SPD with Higher Moments, Journal of Financial Engineering 7 (2), 9-25. Posner, S.E., Milevsky, M.A.,: A closed-form approximation for valuing basket options, Journal of Derivatives 5 998, 54-6. 27
2 Ševcovič, D., Stehlíková, B., Mikula, K.,: Analytical and numerical methods for pricing derivative securities, Nakladatel stvo STU, Bratislava 29. 3 Turnbull, S., Wakeman, L.,: A quick algorithm for pricing European average options, Journal of Financial and Quantitative Analysis 26 99, 377-389. 4 Zhang, Jin, E.,: A semi-analytical method for pricing and hedging continously sampled arithmetic average rate options, Journal of Computational Finance 5 () 2, 59-79. 28