fakulta matematiky, fyziky a informatiky univerzity komenského v bratislave Projekt z finančnej matematiky Bratislava 2008 Martin Takáč
Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky, Univerzita Komenského v Bratislave Ekonomická a finančná matematika Implikovaná a historická volatilita Semestrálna práca Martin Takáč Bratislava 2008
Obsah 1 Úvod 2 2 Výsledky 3 2.1 International Business Machines Corp. (IBM)........ 3 2.2 Microsoft Corporation (MSFT)................ 6 2.3 Google Inc. (GOOG)...................... 9 2.4 Sun Microsystems Inc. (JAVA)................. 14 2.5 Advanced Micro Devices Inc. (AMD)............. 17 3 Záver 20 4 Prílohy 22 4.1 Zostrojenie volatility smile.................... 22 4.2 Zostrojenie volatility structure.................. 23 4.3 Zistenie bezrizikovej úrokovej miery............... 24 4.4 Výpočet implikovanej volatility................. 25 4.5 Výpočet ceny opcie........................ 25
1 Úvod Ciel om projektu bolo ukázat, že reálne opčné dáta nespĺňajú Black-Scholesove predpoklady na oceňovanie finančných derivátov. Pre každú z piatich akcií sme zostrojili nasledovné grafy: vývoj ceny akcie, volatility smile - závislost implikovanej volatility od strike (X), volatility smile - závislost implikovanej volatility od strike (X/S), volatility structure - závislost implikovanej volatility od času do expirácie (T). Zaoberali sme sa nasledovnými akciami: International Business Machines Corp. (IBM) Microsoft Corporation (MSFT) Google Inc. (GOOG) Sun Microsystems Inc. (JAVA) Advanced Micro Devices Inc. (AMD) Sú to prevažne akcie firiem, ktoré sa zaoberajú IT. Nakol ko daná úloha bola dost pracná, naprogramovali sme skripty v MatLabe, na výpočty a generovanie obrázkov. Dané skripty uvádzame v prílohe. Na odhad historickej volatility používame výnosy za posledných cca. 60 dní. 2
2 Výsledky 2.1 International Business Machines Corp. (IBM) Informácie o opcii Opcia na akciu: IBM Cena akcie: 122.3200 Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: 0.0630 Bezriziková úroková miera (p.a.): 0.0092 Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 75 47,80 1,1178163 0,2204936 85 37,90 0,9053189 0,2204936 90 32,90 0,7856402 0,2204936 95 27,90 0,6707272 0,2204936 100 22,90 0,5595169 0,2204936 105 17,90 0,4508197 0,2204936 110 12,90 0,3430582 0,2204936 115 7,90 0,2335196 0,2204936 120 3,80 0,1995047 0,2204936 125 1,35 0,1966941 0,2204936 130 0,35 0,1993387 0,2204936 135 0,15 0,2344276 0,2204936 140 0,10 0,2807756 0,2204936 145 0,05 0,3068564 0,2204936 150 0,05 0,3584575 0,2204936 Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=120) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj 2008 0,0092334 0,0630137 0,2083879 0,2204936 Jún 2008 0,0097726 0,0958904 0,2789202 0,2204936 Júl 2008 0,0109408 0,1671233 0,2755198 0,2204936 Október 2008 0,0150745 0,4191781 0,2589621 0,2204936 Január 2009 0,0172815 0,6739726 0,2548632 0,2204936 Január 2010 0,0223481 1,6739726 0,2436698 0,2204936 3
4
5
2.2 Microsoft Corporation (MSFT) Informácie o opcii Opcia na akciu: MSFT Cena akcie: 29.74 Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: 0.0630 Bezriziková úroková miera (p.a.): 0.0092 Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 24 5,80 0,4769210 0,2964892 25 4,80 0,3992497 0,2964892 26 3,85 0,3808692 0,2964892 27 2,86 0,3043215 0,2964892 28 1,95 0,2682998 0,2964892 29 1,20 0,2593969 0,2964892 30 0,64 0,2525423 0,2964892 31 0,32 0,2601124 0,2964892 32 0,16 0,2748554 0,2964892 33 0,07 0,2811452 0,2964892 34 0,05 0,3181067 0,2964892 35 0,03 0,3394195 0,2964892 40 0,01 0,4826120 0,2964892 Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=30) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj 2008 0,0092334 0,0630137 0,2525423 0,2964892 Jún 2008 0,0097726 0,0958904 0,3343083 0,2964892 Júl 2008 0,0109408 0,1671233 0,3270328 0,2964892 Október 2008 0,0150745 0,4191781 0,2897767 0,2964892 Január 2009 0,0172815 0,6739726 0,2798749 0,2964892 Január 2010 0,0223481 1,6739726 0,2834942 0,2964892 6
7
8
2.3 Google Inc. (GOOG) Informácie o opcii Opcia na akciu: GOOG Cena akcie: 545.63 Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: 0.0630 Bezriziková úroková miera (p.a.): 0.0092 Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 230 316,60 1,6152720 0,5849997 240 306,80 1,5904836 0,5849997 250 296,10 1,2970558 0,5849997 260 286,10 1,2338429 0,5849997 270 276,00 1,1208476 0,5849997 280 266,10 1,1145527 0,5849997 290 256,10 1,0581218 0,5849997 300 246,40 1,1008002 0,5849997 310 236,10 0,9509369 0,5849997 320 226,20 0,9353178 0,5849997 330 216,00 0,8062120 0,5849997 340 206,30 0,8630525 0,5849997 350 196,30 0,8142765 0,5849997 360 185,60 0,0000000 0,5849997 370 175,60 0,0000000 0,5849997 380 166,40 0,6956250 0,5849997 390 156,50 0,6678101 0,5849997 400 146,50 0,6230313 0,5849997 410 136,20 0,5257316 0,5849997 420 126,30 0,5048090 0,5849997 9
Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 430 116,40 0,4799879 0,5849997 440 106,50 0,4523486 0,5849997 450 96,00 0,3207372 0,5849997 460 87,20 0,4305718 0,5849997 470 76,40 0,3205034 0,5849997 480 67,60 0,3645923 0,5849997 490 58,40 0,3538586 0,5849997 500 48,80 0,3189791 0,5849997 510 40,90 0,3280623 0,5849997 520 33,30 0,3251268 0,5849997 530 26,50 0,3229082 0,5849997 540 20,80 0,3252256 0,5849997 550 15,50 0,3182626 0,5849997 560 11,70 0,3226263 0,5849997 570 8,50 0,3229374 0,5849997 580 5,80 0,3178758 0,5849997 590 4,20 0,3242982 0,5849997 600 3,00 0,3299044 0,5849997 610 2,05 0,3321565 0,5849997 620 1,50 0,3407380 0,5849997 630 1,15 0,3522750 0,5849997 640 0,90 0,3643622 0,5849997 650 0,60 0,3653760 0,5849997 660 0,50 0,3799835 0,5849997 670 0,40 0,3912434 0,5849997 680 0,35 0,4068925 0,5849997 690 0,30 0,4205220 0,5849997 700 0,20 0,4197371 0,5849997 10
Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=540) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj 2008 0,0092334 0,0630137 0,3475140 0,5849997 Jún 2008 0,0097726 0,0958904 0,4514328 0,5849997 September 2008 0,0136367 0,3315068 0,4082088 0,5849997 December 2008 0,0168234 0,5835616 0,4043826 0,5849997 Január 2009 0,0172815 0,6739726 0,3977914 0,5849997 Január 2010 0,0223481 1,6739726 0,3883352 0,5849997 11
12
13
2.4 Sun Microsystems Inc. (JAVA) Informácie o opcii Opcia na akciu: JAVA Cena akcie: 15.44 Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: 0.0630 Bezriziková úroková miera (p.a.): 0.0092 Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 10 5,50 1,0067050 0,3749727 12 3,50 0,6373332 0,3749727 13 2,51 0,4882696 0,3749727 14 1,59 0,4156112 0,3749727 15 0,85 0,3933520 0,3749727 16 0,35 0,3715909 0,3749727 17 0,11 0,3612406 0,3749727 18 0,04 0,3869143 0,3749727 19 0,02 0,4316856 0,3749727 Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=15) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj 2008 0,0092334 0,0630137 0,4139212 0,3749727 Jún 2008 0,0097726 0,0958904 0,4928615 0,3749727 Júl 2008 0,0109408 0,1671233 0,4444111 0,3749727 Október 2008 0,0150745 0,4191781 0,4143307 0,3749727 Január 2009 0,0172815 0,6739726 0,4153780 0,3749727 Január 2010 0,0223481 1,6739726 0,4174265 0,3749727 14
15
16
2.5 Advanced Micro Devices Inc. (AMD) Informácie o opcii Opcia na akciu: AMD Cena akcie: 6.0500 Maturita: Máj 2008 Čas do maturity: 0.0630 Bezriziková úroková miera (p.a.): 0.0092 Tabul ka: Dáta k volatility smile Strike price: Cena opcie: Implikovaná volatilita: Historická volatilita: 3 3,10 1,7945915 0,5637662 4 2,09 1,0884839 0,5637662 5 1,12 0,6979950 0,5637662 6 0,29 0,4352147 0,5637662 7 0,05 0,5003206 0,5637662 8 0,02 0,6483384 0,5637662 9 0,02 0,8554960 0,5637662 10 0,01 0,9279170 0,5637662 11 0,01 1,0709545 0,5637662 Tabul ka: Dáta k volatility structure (X=6) Maturita Úrok. Miera Čas do maturity Impl. volat. Hist. volat. Máj 2008 0,0092334 0,0630137 0,4352147 0,5637662 Jún 2008 0,0097726 0,0958904 0,6079799 0,5637662 Júl 2008 0,0109408 0,1671233 0,6631768 0,5637662 Október 2008 0,0150745 0,4191781 0,6529944 0,5637662 17
18
19
3 Záver Daný experiment nám potvrdil, že trh nie je ideálny a nespĺňa predpoklady, za ktorých platí Black-Scholesova rovnica. Konkrétne na trhu existujú transakčné náklady, akcie vyplácajú dividendy, výnosy akcií nie sú normálne, nedá sa požičiavat si l ubovol ne vel a pri bezrizikovej úrokovej miere, a mnohé iné. Celkovo sme si všimly, že implikovaná volatilita nie je vodorovná krivka, ako predpokladá teória. Ďalej sme si všimli, že najmenšia implikovaná volatilita je v blízkosti ceny akcie, alebo inak povedané pre X S. Na nasledujúcom obrázku si môžeme všimnút, že výnosy akcií (na obrázku je akcia IBM) sú negatívne autokorelované. (Ak bol včera vynos, dnes bude strata :) - čo potvrdujú aj obrázky vývoja cien. 20
21
4 Prílohy 4.1 Zostrojenie volatility smile S = hodnota akcie; T = cas do expiracie; X = [ strike ] V = [ ceny opcii]; Prices = [ historicke ceny - denne]; vynos = log(prices(1:length(prices)-1)./prices(2:length(prices))); sigma_hist = sqrt(var(vynos)) * sqrt(255); r = getinterestrate(t) * 0.01; D = 0; sigmas = []; for i=1: length(v) temp = implikovana_sigma_bisekcia(v(i),s,d,t,x(i),r,0.00000001); sigmas = [sigmas, temp]; end sigmas = [ sigmas; sigma_hist * ones(1,length(sigmas)) ]; figure plot(x/s,sigmas) title( Volatility smile ( ) ) xlabel( X/S ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) figure plot(x,sigmas) title( Volatility smile ( ) ) xlabel( X/S ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) figure plot(length(prices):-1:1,prices) 22
title( Vývoj cien akce ( ) ) label( Cena akcie ) 4.2 Zostrojenie volatility structure S = cena akcie ; X = fixovany strike; V = [ ceny opcii ]; T = [ rozne casy expiracii ]; D = 0; sigmas = []; for i=1: length(v) r = getinterestrate(t(i)) * 0.01; temp = implikovana_sigma_bisekcia(v(i),s,d,t(i),x,r,0.00000001); sigmas = [sigmas, temp]; end sigmas = [ sigmas; sigma_hist * ones(1,length(sigmas)) ]; figure plot(t,sigmas) title( Volatility structure ( ) ) xlabel( T ) ylabel( \sigma ) legend( Implikovaná volatilita, Historická volatilita ) 23
4.3 Zistenie bezrizikovej úrokovej miery function r_time_depend = getinterestrate(time_to_maturity) a = 1.23-(1.64-1.23); T_time = [0 3/12, 6/12, 2,3,5,10]; r_time = [a 1.23 1.64 2.40 2.32 3.17 3.86 ]; is_end = false; i = 1; while ~is_end if ( time_to_maturity < T_time(i+1) )&& ( time_to_maturity > T_time(i) ) is_end = true; r_time_depend = r_time(i) + (r_time(i+1)-r_time(i))*... (time_to_maturity-t_time(i))/( T_time(i+1)-T_time(i) ); end if ( time_to_maturity == T_time(i) ) is_end = true; r_time_depend = r_time(i); end i=i+1; end end 24
4.4 Výpočet implikovanej volatility function sigma = implikovana_sigma_bisekcia(v,s,d,t,x,r,toll) sigma_a=0; sigma_b=20; while (sigma_b-sigma_a)>toll sigma_c= (sigma_a+sigma_b)/2; if end sigma value_of_europan_call(s,d,t,x, sigma_c, r) < V sigma_a = sigma_c; else sigma_b = sigma_c; end = sigma_c; 4.5 Výpočet ceny opcie function V = value_of_europan_call(s,d,t,x,sigma,r) V=S.*(( exp(-d*t)*0.5*( 1 + erf ( 1/(sqrt(2*T)*sigma)*... ( (r-d+sigma^2*0.5 )*T + log(s./x) ) )) )... - (X/S)*exp(-r*T)*0.5*( 1 + erf ( 1/(sqrt(2*T)*sigma)*... ( (r-d-sigma^2*0.5 )*T + log(s./x) ) ))); 25