UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Kaedra aplikovanej maemaiky a šaisiky DELTA HEDGING EXOTICKÝCH OPCIÍ Diplomová práca Jakub HAVELKA 1114 Aplikovaná maemaika Ekonomická a finančná maemaika Školiel : RNDr. Tomáš BOKES, PhD. BRATISLAVA 214
DELTA HEDGING EXOTICKÝCH OPCIÍ Bc. Jakub Havelka E-mail: jakubhav@gmail.com Kaedra aplikovanej maemaiky a šaisiky Fakula maemaiky, fyziky a informaiky Univerzia Komenského v Braislave Mlynská dolina 842 48 Braislava Slovenská republika c 214 Jakub Havelka Diplomová práca v odbore 1114 Aplikovaná maemaika Dáum kompilácie: 27. apríla 214 Typese in L A TEX
4952541 Univerzia Komenského v Braislave Fakula maemaiky, fyziky a informaiky ZADANIE ZÁVEREČNEJ PRÁCE Meno a priezvisko šudena: Šudijný program: Šudijný odbor: Typ záverečnej práce: Jazyk záverečnej práce: Bc. Jakub Havelka ekonomická a finančná maemaika Jednoodborové šúdium, magiserský II. s., denná forma 9.1.9. aplikovaná maemaika diplomová slovenský Názov: Cieľ: Dela hedging exoických opcií Šaisická a analyická analýza dynamickej dela hedgeing sraégie pre exoické opcie napr. ázijské, lookback,... vyplývajúcej z odvodenia parciálnej diferenciálnej rovnice. Vedúci: Kaedra: Vedúci kaedry: Dáum zadania: 25.1.213 RNDr. Tomáš Bokes, PhD. FMFI.KAMŠ - Kaedra aplikovanej maemaiky a šaisiky prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc. Dáum schválenia: 4.2.213 prof. RNDr. Daniel Ševčovič, CSc. garan šudijného programu šuden vedúci práce
Absrak V našej práci sa zaoberáme dela hedgingom exoických finančných deriváov a hlavne výpočom paramera dela pre ázijské a lookback opcie. Dela počíame klasickým spôsobom ako deriváciu epliciného vzorca ceny opcie podl a ceny akcie a novým spôsobom pomocou Malliavinovho kalkulu. Teno nový spôsob umožňuje počíanie dely opcie bez poznania expliciného vzorca pre jej cenu. Tako vypočíaná dela je v vare diskonovanej podmienenej srednej hodnoy zo súčinu výplanej funkcie opcie a nejakej váhy určenej pomocou vzorca Malliavinovho kalkulu. Pre konkréne ypy exoických deriváov uvádzame výpoče ich dely. Kl účové slová: dela hedging Malliavinov kalkul exoické finančné deriváy ázijské opcie lookback opcie derivácia ceny opcie Absrac In our work we invesigae dela hedging of exoic financial derivaives and mainly compuaion of parameer dela for asian and lookback opions. Dela is compued in a radiional way as derivaion of explici formula for opion price according o sock price and hrough new approach via Malliavin calculus. The laer approach enables us o compue dela of opion wihou knowing is explici price formula. In his manner compued dela is in he form of discouned condiional expeced value of produc of opion payoff funcion and some weigh given by Malliavin calculus. For specific ypes of financial derivaives, he compuaion of is dela is inroduced. Key words: dela hedging Malliavin calculus exoic financial derivaives asian opions lookback opions opion price derivaion
Pod akovanie Ďakujem Tomášovi za vedenie pri písaní diplomovej práce, ako aj jej dôkladné odborné posúdenie a vecné pripomienky, koré významne pomohli jej skvalineniu.
Obsah Zoznam symbolov a skraiek.......................... iii 1 Základy sochasického kalkulu 1 1.1 Sochasické procesy........................... 1 1.2 Iōv inegrál, izomeria a Iōva lema................... 4 1.3 Maringaly................................. 9 2 Opcie 13 3 Úvod do oceňovania opcií 17 3.1 Black-Scholesov vzorec.......................... 18 3.2 Oceňovanie pomocou maringalov................... 21 4 Exoické opcie 25 4.1 Ázijské opcie............................... 25 4.1.1 PDR pre ázijské opcie....................... 26 4.2 Lookback opcie.............................. 29 4.2.1 PDR pre lookback opcie..................... 3 5 Hedging 33 5.1 Dela hedging............................... 35 5.1.1 Dela opcie............................ 36 5.1.2 Dela pre exoické opcie..................... 38 6 Malliavinov kalkul a dela opcie 45 6.1 Operáor derivácie............................ 46 6.2 Skorohodov inegrál........................... 47 i
ii OBSAH 6.3 Malliavinova vážená schéma....................... 48 6.4 Dela pre exoické opcie......................... 49 Záver 59 Bibliografia 61 Lising programov 63
Zoznam symbolov a skraiek R b množina reálnych čísiel vekor X, Y náhodný vekor X, ω, X, X expx E[X] Var[X] Cov[X, Y ] X Y -paramerizovaný náhodný vekor e x sredná hodnoa náhodnej premennej X variancia náhodnej premennej X kovariancia náhodnej premennej X a Y náhodná premenná X podmienená Y N µ, Σ normálne rozdelenie so srednou hodnoou µ a kovariančnou maicou Σ f. df, df, df f x f 2 2 x fx,y 2 x y PDR SDR funkcia diferenciál f vzhl adom na derivácia f podl a x druhá derivácia f podl a x parciálna derivácia f podl a x a y parciálna diferenciálna rovnica sochasická diferenciálna rovnica S, S cena akcie v čase V, V cena opcie v čase E T Q-maringal expiračná cena opcie expiračný čas opcie, mauria opcie v rokoch maringal vzhl adom na prevdepodobnosnú mieru Q
Úvod As for everyhing else, so for a mahemaical heory: beauy can be perceived bu no explained. Arhur Cayley Na finančnom rhu sa bežne obchoduje s akívami, ako sú akcie, dlhopisy alebo komodiy. Okrem ýcho exisujú aj finančné deriváy, koré sa nazývajú derivámi, preože ich hodnoa závisí, resp. je odvodená z angl. derive odvodi od hodnoy bežných akív. Je zaujímavé, že v súčasnosi objem rhu s ýmio finančnými derivámi niekol konásobne prevyšuje objem rhu s bežnými finančnými akívami. Teno fak môže by dôsledkom oho, že na jedno akívum môže by vypísané vel ké množsvo deriváov ako aj vel kej populariy deriváov u invesorov, korí ich hojne používajú ako násroj na zabezpečenie angl. hedging svojich invesícií, alebo aj ako prosriedok na dosiahnuie špekulaívneho zisku. Táo práca sa zaoberá finančnými derivámi, konkréne opciami a dela hedgingom,.j. dela zais ovaním. Hlavným prínosom práce je počíanie paramera dela pre exoické opcie pomocou Malliavinovho kalkulu, korý poskyuje účinný násroj na derivovanie sochasických procesov. V prvej kapiole sú popísané základné elemeny sochasického kalkulu ako Brownov pohyb, Iōva lema, Iōv inegrál a maringaly. Tieo pojmy sú savebným kameňom a budú časo vysupova v d alších časiach práce. Druhá kapiola je venovaná všeobecnému úvodu do problemaiky o opciách. Je u vysvelený pojem opcie a ich základná klasifikácia. Ďalej sú popísané aribúy v
vi OBSAH opcií ako mauria, expiračná cena a výplaa. Obsahom reej kapioly je oceňovanie opcií pomocou klasického Black-Scholesovho vzorca, korý dosaneme vyriešením príslušnej parciálnej diferenciálnej rovnice. Ďalej je vysvelené o rochu náročnejšíe oceňovanie opcií cez maringaly, koré nám poskyne dôležiú oceňovaciu formulu. Vybrané exoické opcie sú popísané vo švrej kapiole. Konkréne sa jedná o ázijské a lookback opcie. Pre ceny ýcho opcií sú odvodené PDR, z korých vyplýva dela hedging. Piaa kapiola je o hedgingu, eda o zais ovaní vo všeobecnosi a d alej so zameraním na dela hedging. Podsaná čas je venovaná parameru dela pre rôzne ypy opcií. V šiesej kapiole uvádzame Malliavinov kalkul a jeho základné elemeny ako Malliavinov operáor derivácie a Skorohodov inegrál. Je u uvedený alernaívny posup na výpoče dely pomocou oho kalkulu spolu s názornými príkladmi pre rôzne ypy opcií.
KAPITOLA 1 Základy sochasického kalkulu 1.1 Sochasické procesy Definícia 1.1. [9] Sochasický proces je -paramerický sysém náhodných premenných X na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P s hodnoami v R n. Pre l ubovol né, ale pevné je zobrazenie ω X ω, ω Ω, náhodná premenná. Na druhej srane pre pevné ω Ω, sa zobrazenie X ω, <, nazýva rajekória procesu X. Sochasický proces je eda funkciou dvoch premenných: a ω. Definícia 1.2. [9] Wienerov proces je sochasický proces {W ω } s nasledujúcimi vlasnos ami: i P [{ω : W ω = }] = 1, ii W + ω W ω N,, iii pre každé delenie = < 1 < 2 <... < n sú prírasky W 1 ω W ω, W 2 ω W 1 ω,..., W n ω W n 1 ω nezávislé. 1
2 1. ZÁKLADY STOCHASTICKÉHO KALKULU Obr. 1.1: 3 náhodné realizácie Wienerovho procesu Náhodnos Wienerovho procesu je ilusrovaná pomocou jeho roch realizácií na obrázku 1.1 Z definície Wienerovho procesu dosávame následujúce vz ahy pre jeho srednú hodnou a disperziu: E[W ] = E[W W ] =, Var[W ] = Var[W W ] =. V následujúcej definícii zavedieme pojem, korý je zovšeobecnením Wienerovho procesu. Definícia 1.3. Nech {W ω } je Wienerov proces a σ, µ sú konšany, pričom σ >. Poom sochasický proces definovaný ako X ω = µ + σw ω sa nazýva Brownov pohyb s paramerami µ, σ. Z uvedeného vyplýva, že Wienerov proces je vlasne Brownov pohyb s paramerami µ = a σ = 1. L ahko sa dá nahliadnu, že prírasky Brownovho pohybu X + ω X ω sú, rovnako ako prírasky Wienerovho procesu, nezávislé nor-
1.1. STOCHASTICKÉ PROCESY 3 málne rozdelené náhodné premenné, avšak so srednou hodnoou µ a disperziou σ 2. V následujúcej definícii zavedenie zv. geomerický Brownov pohyb, korým, ako sa neskôr ukáže, budeme modelova vývoj ceny podkladového akíva. Definícia 1.4. [1] Nech {X } je Brownov pohyb a paramerami µ,σ a Y je kladná konšana. Poom sochasický proces {Y } Y ω = Y e X,, sa nazýva geomerický Brownov pohyb. V následujúcom poukážeme na d alšiu dôležiú vlasnos Wienerovho procesu, a o nediferencovael nos jeho rajekórií skoro všade. Najprv však zavedieme pojem kvadraickej variácie funkcie. Definícia 1.5. [7] Nech množina Π = {, 1,..., n } je delenie inervalu [, T ], aké, že = 1... n = T. Normu delenia Π označme Π = max k 1 k. k=,...,n 1 Poom kvadraická variácia funkcie f na inervale [, T ] je f [, T ] = n 1 lim Π, n k= f k+1 f k 2. Pre funkcie, koré sú po časiach diferencovael né, plaí že ich kvadraická varácia je rovná nule, čo je možné nahliadnu pomocou Lagrangeovej vey o srednej hodnoe. Táo vea zaručuje pre l ubovol nú diferencovael nú funkciu f na inervale a, b exisenciu bodu c a, b, pre korý plaí: fb fa = f cb a Nech bod ˆ k k, k+1. Poom pre kvadraickú variáciu diferencovael nej funkcie na inervale [a, b] dosávame: f [a, b] = n 1 lim Π, n k= f k+1 f k 2 = n 1 lim Π, n k= lim Π n 1 f ˆ k 2 k+1 k = lim Π Π, n Π k= f ˆ k 2 k+1 k 2 f 2 d =
4 1. ZÁKLADY STOCHASTICKÉHO KALKULU Ked že kvadraická variácia na inervale [a, b] je nezáporné číslo, poom z nerovnosi vyplýva, že sa musí rovna nule. Poom kvadraická variácia funkcie je iež nulová, preože sa rovná súču kvadraických variácií na inervaloch. A však pre rajekórie Wienerovho procesu plaí, že majú nenulovú kvadraickú variáciu, z čoho vyplýva že nie sú ani len po časiach diferencovael né. Ich kvadraická variácia je oiž rovná dĺžke časového úseku. Too vrdenie je sformulované v následujúcej leme, korej dôkaz je možné nájs v knihe [7]. Lema 1.6. [7] n 1 lim Π, n k= Wk+1 W 2 k = T, kde konvergencia je v zmysle L 2 Ω, P, čo je priesor merael ných funkcií s konečnou normou definovanou ako f := f 2 dp = E[f 2 ]. Ω Z oho vidíme, že sa u akoby sráca náhodnos, ked že súčy švorcov príraskov Wienerovho procesu konvergujú k dĺžke časového úseku, na korom prírasky sčiujeme. To môžeme eda v limie zapísa ako dw 2 = d. 1.1 Na obrázku 1.2 je znázornená áo konvergencia súču druhých mocnín príraskov Wienerovho procesu pri posupnom zjemňovaní časového delenia. Na l avom obrázku je časový inerval rozdelený na 1 časí a vidíme, že odchýlky od lineárnej funkcie prislúchajúcej pribúdaniu času sú väčšie ako na obrázku vpravo s jemnejším delením na 1 časí. 1.2 Iōv inegrál, izomeria a Iōva lema Iōv inegrál je základným elemenom sochasického kalkulu a môžeme ho zapísa, pre merael nú funkciu f :, T R, ako fdw.
1.2. ITŌV INTEGRÁL, IZOMETRIA A ITŌVA LEMA 5 Obr. 1.2: Konvergencia súču druhých mocnín príraskov Wienerovho procesu pri zjemňovaní časového delenia. Vl avo je hrubšie delenie na 1 časí a vpravo jemnejšie delenie na 1 časí Avšak eno inegrál nemôžeme definova analogicky ako Riemannov inegrál pre hladké funkcie reálnej premennej pomocou derivácie fdw = fw d, preože funkcia W je nediferencovael ná s pravdepodobnos ou 1 v každom bode. Iōv inegrál eda zavedieme inak a najprv začneme s definíciou pre funkcie, koré sú z jeho hl adiska elemenárne. Nech f C je konšanná funkcia, poom Iōv inegrál je rovný fdw = C dw = CW T CW = CW T a má eda normálne rozdelenie N, C 2 T = N, f 2 d Teraz môžeme prejs k definícii Iōvho inegrálu pre merael né funkcie reálnej premennej Definícia 1.7. [9] Nech f :, T R je merael ná funkcia a plaí f 2 d <. Poom Iōv inegrál fdw := fdw definujeme ako: n 1 lim Π, n i= f i W i+1 W i. 1.2
6 1. ZÁKLADY STOCHASTICKÉHO KALKULU Ak zráame srednú hodnou vo výraze 1.2 dosaneme [ n 1 ] n 1 E f i W i+1 W i = f i E[W i+1 W i ] =, i= preože sredná hodnoa príraskov Wienerovho procesu je nulová. Pri výpoče disperzie využijeme, že prírasky dw i sú nezávislé normálne rozdelené náhodné veličiny, a dosávame [ n 1 ] Var f i W i+1 W i i= i= = = n 1 f 2 i Var[W i+1 W i ] i= n 1 f 2 i i+1 i, a ak prejdeme k limie, pre Π, n, dosávame rovnos, korá sa nazýva Iōva izomeria: E [ i= 2 ] fdw = f 2 d 1.3 Pre rozdelenie Iōvho inegrálu eda môžeme sformulova nasledujúcu lemu. Lema 1.8. [9] Iōv inegrál fdw má normálne rozdelenie N, f 2 d. Teraz sa posunieme eše o krok d alej a o k funkciám X ω, koré sú samy o sebe sochasickým procesom a zavedieme pre ne Iōv inegrál. To môžeme urobi ak, že ich aproximujeme funkčnou hodnoou v nejakom bode deliaceho inervalu. Uvažujme dve vol by oho bodu a o l avý a pravý krajný bod oho inervalu. Nech 1 i/n,i+1/n je charakerisická funkcia inervalu i/n, i + 1/n,.j. 1 ak i/n, i + 1/n 1 i/n,i+1/n = ak / i/n, i + 1/n Poom pre l avý krajný bod máme aproximačnú funkciu a pre pravý kraný bod n 1 L ω = X i/n ω1 i/n,i+1/n i= n 1 R ω = X i+1/n ω1 i/n,i+1/n i=
1.2. ITŌV INTEGRÁL, IZOMETRIA A ITŌVA LEMA 7 Teraz môžeme vypočía, pre oba výbery bodov, inegrál X ωdw ω ako limiu súčov n 1 L ωw i+1 ω W i ω i= resp. n 1 R ωw i+1 ω W i ω Pri zjemňovaní delenia by nás inuícia mohla vies k omu, že oba inegrály k sebe konvergujú, ak ako v prípade Riemanovho inegrálu. To však nie je pravda, preože, ako je ukázané v knihe [7][sr.142], sredné hodnoy inegrálov k sebe nekonvergujú: [ E [ E i= ] L ωdw ω = 1.4 ] R ωdw ω = T Z oho vyplýva že ani inegrály samoné nemôžu k sebe konvergova a eda pre rôzne vol by bodov môžeme dosa rôzne výsledky. Daný inegrál je eda závislý od vol by oho bodu, pričom šandardnými vol bami z deliaceho inervalu i, i+1 je l avý bod i, pre korý dosávame Iōv inegrál X ωdw ω, a sredný bod i + i+1 /2, pre korý dosávame Sraonovichov inegrál X ω dw ω. Poznamenajme, že pre Sraonovichov inegrál plaia inegračné formulky podobne ako v prípade Riemannovho inegrálu. Od Iōvho inegrálu eraz prejdeme k definícii sochasickej diferenciálnej rovnice, korá sa bude časo objavova vo zvyšku práce. Definícia 1.9. [9] Sochasická diferenciálna rovnica SDR je diferenciálna rovnica, v korej jeden alebo viacero členov je sochasickým procesom. SDR môžeme zapísa pomocou Iōvho inegrálu ako X +s X = +s µx u, udu + +s čo možno ekvivalenne zapísa v diferenciálnom vare ako dx = µx, d + σx, dw. σx u, udw u,
8 1. ZÁKLADY STOCHASTICKÉHO KALKULU Vidíme, že SDR pozosáva z deerminisickej zložky µx, d a náhodnej zložky σx, dw. Vyiešením SDR dosávame opä sochasický proces. Obzvláš dôležié v eórii oceňovania finančných deriváov sú SDR pre funkcie, v korých je jedna alebo viacero náhodných premenných, určených nejakou inou SDR. V omo prípade vyvsáva oázka ako bude vyzera SDR pre vývoj funkcie fx,, ak poznáme SDR pre X. Tým sa dosávame k slávnej a dôležiej leme sochasického kalkulu - Iōva lema. Vea 1.1 Iōva lema [4]. Nech fx, je dosaočne hladká funkcia dvoch premenných, pričom X je riešením SDR kde W je Wienerov proces. Poom dx = µx, d + σx, dw, dfx, = f x dx + f + 1 2 σ2 X, 2 f d, x 2 dôsledkom čoho funkcia f vyhovuje SDR f df = + µx, f x + 1 2 σ2 X, 2 f d + σx x 2, f x dw. Ióva lema sa dá inuiívne dokáza cez Taylorov rozvoj funkcie f: df = f f d + x dx + 1 2 f 2 x 2 dx2 + 2 2 f x dx d + 2 f 2 d2 + od, kde od sú osané členy vyššieho rádu. Ďalej sa budeme zaobera výrazmi dx 2, dx d a d 2. Z predpokladu pre dx plaí dx 2 = σ 2 dw 2 + 2µσdW d + µ 2 d 2 Tu využijeme vz ah 1.1 pre dw, čím dosávame dx 2 σ 2 d + Od 3/2 + Od 2 a dx d = µd 2 + σdw d = Od 2 + Od 3/2. Členy, koré obsahujú d vyššieho rádu ako jedna, idú k nule. To znamená, že členy s dx d a d 2 môžeme zanedba a eda diferenciál funkcie f je: df = f f x dx + + 1 2 σ2 X, 2 f d. x 2
1.3. MARTINGALY 9 Nakoniec sačí za dx dosadi µx, d+σx, dw a dosavane SDR pre funkciu f z Iōvej lemy. 1.3 Maringaly Definícia 1.11. [9] Sochasický proces ω X ω; ω Ω na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P s hodnoami v R n, sa nazýva F-merael ný, ak pre všeky ovorené množiny U R n. X 1 U := {ω Ω; X ω U} F Definícia 1.12. [7] Nech na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P pre náhodnú premennú X : Ω R plaí E[ X ] <. Nech H F je σ-algebra H je eda menej bohaá ako F. Poom podmienená sredná hodnoa E[X H] je náhodná premenná s následujúcimi vlasnos ami: i E[X H] je H-merael ná ii E[X H]dP = XdP, pre všeky h H. h h Vidíme eda, že podmienená sredná hodnoa závisí od príslušnej σ-algebry,.j. od informácie o realizovaných hodnoách v danom čase. Základné vlasnosi podmienenej srednej hodnoy sú zhrnué v následujúcej vee. Vea 1.13. [7] Nech X a Y sú náhodné veličiny s konečnou srednou hodnoou na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P. Ďalej nech a, b R a G, H sú σ-algebry, pre koré plaí G H F Poom plaí: i E[aX + by H] = ae[x H] + be[y H] ii E[E[X H]] = E[X] iii E[E[X H] G] = E[X G]
1 1. ZÁKLADY STOCHASTICKÉHO KALKULU iv ak X je H-merael ná, poom E[X H] = X v ak Y je H-merael ná, poom E[Y X H] = Y E[X H] Teraz už môžeme zadefinova pojem filrácia a maringal. Definícia 1.14. [9] Filráciou na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P je sysém σ-algebier {F }, F F, akých, že s < F s F Sochasický proces {X } na Ω, F, P sa nazýva maringal vzhl adom k miere P a filrácii {F }, ak i X je F -merael ný pre všeky, ii E[ X ] < pre všeky, iii E[X s F ] = X pre všeky s. Z definície maringalu vidíme, že sa vždy vz ahuje k nejakej pravdepodobnosnej miere P a filrácii {F }. Táo filrácia zvyčajne predsavuje prirodzený sysém do seba zapadajúcich σ-algebier. Pre lepšie pochopenie pojmu maringal, si ho môžeme predsavi ako sekvenciu náhodných premenných, alebo model hry v korom očakávanie d alšej hodnoy je rovnaké ako súčasná známa hodnoa. To znamená akoby sa zabúdala minulos a predošlé hodnoy nemajú vplyv na očakávanie následujúcich. Takouo hrou je napr. ypovanie čísla pri hode kockou. Príkladom hry, korá nie je maringalom može by ypovanie vyiahnuej kary z balíčka bez jej vráenia, preože vedomos o už vyiahnuých karách zvyšuje šancu na uhádnuie. Ďalej uvedieme veu, korá nám pomože pri určovaní maringalu. Vea 1.15. Nech {X } T a {Y } T sú sochasické procesy na pravdepodobnosnom priesore Ω, F, P a nech pre [, T ] plaí Y = EX T F. Poom {Y } T je maringalom vzhl adom k miere P a filrácii {F }.
1.3. MARTINGALY 11 Dôkaz: Z iii vlasnosi podmienenej srednej hodnoy vea 1.13 a pre s T dosaneme Y = EX T F = EEX T F s F = EY s F, a eda {Y } T je maringal. Na záver ejo časi uvedieme veu, korá hovorí o zmene pravdepodobnosnej miery. Vea 1.16. [Girsanova vea [7]] Nech W ω, T, je Wienerov proces na Ω, F, P a γ ω je F W -adapovaný proces, pričom plaí 1 T ] E P [exp γ 2 ωd <. 2 Poom exisuje miera Q na Ω, F aká, že i P a Q su ekvivalenné, eda plaí P x > Qx >, ii dq ω = exp γ dp ωdw ω 1 T 2 γ2 ωd, iii W ω = W ω + γ sωds je Wienerov proces na Ω, F, Q. Výraz dq ω v Girsanovej vee sa nazýva Radon-Nikodymova derivácia miery Q dp vzhl adom na mieru P.
KAPITOLA 2 Opcie V ejo kapiole sa budeme zaobera opciami, koré paria medzi základné a najpoužívanejšie finančné deriváy. Najprv uvedieme ich klasickú definíciu. Definícia 2.1. Opcia je finančný konrak uzavreý medzi dvoma sranami - vypisovael a držiel opcie. Teno konrak dáva držiel ovi opcie právo na kúpu alebo predaj podkladového akíva, korým je akcia, vo vopred dohodnuý čas a cenu. Opcie paria medzi základné a najpoužívanejšie finančné deriváy. Poznamenajme, že opcie predsavujú len možnos predaja alebo kúpy danej akcie za vopred dohodnuú cenu v sanovenom čase, zaial čo pri forwardovom konrake sa zmluvné srany dohodnú na povinnosi predaja alebo kúpi daného akíva. Podl a oho či ide o právo na kúpu alebo predaj akcie rozlišujeme kúpne angl. call resp. predajné angl. pu opcie. Pre názornos uvedieme následujúci príklad: Príklad 2.2. Predpokladjme, že vlasníme kúpnu opciu call opciu na akciu IBM s expiračnou cenou 4 EUR a expiráciou o mesiac,.j. T = 1/12. Máme eda právo kúpi si o mesiac akciu IBM za 4 EUR. Predpokladajme, že dnešná cena akcie IBM je 4 EUR. Ked že vývoj cien akcií na rhu je náhodný, nevieme poveda kol ko bude sá akcia o mesiac. Uvažujme 3 prípady: cena akcie je väčšia ako 4 napr. 5, rovná 4 a menšia ako 4 napr. 3. V prvom prípade opciu uplaníme, preože akciu môžeme ma za 4, zaial čo na rhu sa predáva za 5, čím vlasne získame na rozdiele 1 EUR. V omo prípade hovoríme, že opcia je in he money, eda jej uplanenie nám 13
14 2. OPCIE prináša zisk. V druhom prípade, pri cene akcie 4 opciu nazývame a he money a zisk máme nulový v danom momene, či už opciu uplaníme alebo nie. V poslednom prípade je opcia ou off he money a eda ju neuplaníme, kedže rhová hodnoa akcie je 3 a opcia nám neprináša žiaden zisk. Z oho vidíme, že držanie opcie nám prináša určiú výhodu, ked že ju môžeme ale nemusíme uplani. Táo výhoda alebo právo je eda samo o sebe nejaká hodnoa, korá by mala by zaplaená pri uzaváraní konraku vypisovael ovi opcie. Oázka, kol ko by malo sá oo právo aby ani jedna zo srán nebola poškodená, je základným problémom eórie finančných deriváov. Pod výplaou alebo payoffom opcie budeme rozumie hodnou opcie v čase expirácie rozdiel medzi rhovou cenou akcie v čase expirácie a expiračnou cenou opcie v prípade call opcie a opačný rozdiel v prípade pu opcie. Ak je eno rozdiel záporný, poom výplaa je nulová. Teda výplau pre call opciu môžeme napísa ako V T = maxs T E, a pre pu opciu ako V T = maxe S T,. Na obrázkoch 2.1 a 2.2 je áo výplaa graficky znázornená. Obr. 2.1: Výplaa pre call opciu hrubá krivka. Obr. 2.2: Výplaa pre pu opciu hrubá krivka. Úlohou bude urči férovú cenu danej opcie v čase =, korá sa skladá z dvoch časí, a o z vnúornej hodnoy a prémie za riziko. Vnúorná hodnoa sa dá
15 l ahko vypočía ako pre call opciu a maxs E, maxe S, pre pu opciu. Je o eda rozdiel medzi rhovou cenou príslušnej akcie v čase = a expiračnou cenou opcie pre call opciu, ak je eno rozdiel nezáporný, inak je áo hodnoa nulová analogicky pre pu opciu. Urči druhú zložku ceny opcie je ale o dos náročnejšie a bude vyžadova aplikáciu sochasického kalkulu, ako uvidíme v d alších časiach práce. Opcie môžeme rozdeli na vanilla opcie, koré predsavujú jednoduché opcie ak ako v príklade vyššie a exoické opcie s vlasnos ami, koré ich robia viac komplexnejšími ako bežne obchodované vanilla opcie. Vieme, že výplaa vanilla opcií závisí len od rozdielu rhovej ceny akcie a expiračnou cenou opcie v čase expirácie. Oproi omu je výplaa exoických opcií závislá od viacerých fakorov, pričom vo väčšine z ýcho deriváov je zohl adnený hisorický vývoj podkladového akíva akcie. Takéo opcie sa nazývajú dráhovo-závislé zv. pah-dependen a paria medzi ne napr. ázijske, lookback a bariérové opcie. Pri exoických opciách sa môžeme iež srenú s inými ypmi podkladového akíva ako sú akcie napr. zložené opcie na opcie, opcie na index a iež s väčším počom podkladových akív napr. košíkové opcie. Jednolivé ypy opcií podrobnejšie rozoberieme vo švrej kapiole.
KAPITOLA 3 Úvod do oceňovania opcií Oceňovanie opcií, alebo vo všeobecnosi finančných deriváov, je predmeom súčasného výskumu vo finančnícve. Finančný derivá je cenný papier, korého hodnoa závisí od podkladového akíva, korého cena má sochasický charaker. Príkladom podkladového akíva môže by napr. akcia spoločnosi Google. Náhodný vývoj ceny ejo akcie za rok 211 je zobrazený na obrázku 3.1. V spojiosi zo sochasickým kalkulom môžeme cenu akcie v čase označi ako sochasický proces X ω a množinu hisorických cien akcie {X ; T } za časové obdobie T ako rajekóriu oho procesu. Obr. 3.1: Cena akcie Google Inc. 17
18 3. ÚVOD DO OCEŇOVANIA OPCIÍ Základný princíp oceňovania vanilla opcií je možné ukáza pomocou binárneho sromového modelu. Je o jednoduchý model s diskrénym časom, korý môže čiael nájs v knihe [7]. My prejdeme rovno k oceňovaniu so spojiým časom, korým je klasický Black-Scholesov model a oceňovanie pomocou maringalov. 3.1 Black-Scholesov vzorec Black-Scholesov model je maemaickým modelom finančného rhu, z korého bol odvodený zv. Black-Scholesov vzorec na ocenenie vanilla opcií. Teno populárny vzorec bol publikovaný v roku 1973 Fisherom Blackom a Myronom Scholesom publikácia [1] a znamenal prelom v oceňovaní a obchodovaní opcií. Black a Scholes odvodili parciálnu diferenciálnu rovnicu určujúcu cenu opcie použiím zais ovacieho bezrizikového princípu. Riešením ejo PDR je Black-Scholesov vzorec, korého najväčšou prednos ou je zrejme fak, že je funkciou niekol kých priamo pozorovael ných paramerov. Teno model, hoci má viacero nedosakov, ako uvidíme neskôr, je považovaný za základ pre oceňovanie finančných deriváov. V následujúcom exe ukážeme odvodenie Black-Scholesovho vzorca, koré môžeme iež nájs napr. v známej knihe od Kwoka [5]. Odvodenie urobíme pre európsku kúpnu opciu použiím priebežného zais ovania. Povedzme, že nieko vypíše predá kúpnu opciu na akciu. Vypisovael opcie sa ako vysaví riziku že cena akcie súpne vysoko nad realizačnú cenu a spôsobí mu vel kú srau. Avšak vypisovael sa môže poisi voči akejo siuácii kúpením príslušnej akcie. Poom srau spôsobenú vypísaním opcie kompenzuje držanie akcie, korej cena rasie. Takáo zaisená pozícia sa eda dá dosiahnu nákupom a predajom určiého množsva akcií a opcií ak, aby prípadný pokles v jednej položke bol vyvážený nárasom v druhej položke. Teno princíp zaiseného porfólia bol známy už predým, ale narozdiel od svojich predchodcov si Black a Scholes uvedomili, že výnos z oho porfólia by sa mal rovna bezrizikovej úrokovej miere. Predpokladajme, že cena akcie sa riadi podl a sochasickej diferenciálnej rovnice ds = µs d + σs dw, 3.1 kde paramere µ a σ sú očakávaný výnos a volailia ceny akcie. Ďalším predpo-
3.1. BLACK-SCHOLESOV VZOREC 19 kladom na cenu akcie je, že jej vývoj predsavuje náhodný výber z lognormálneho rozdelenia,.j. C = S /S 1, = 1, 2,..., T, sú nezávislé, rovnako rozdelené náhodné premenné s lognormálnym rozdelením a paramerami µ a σ 2. Ak označíme Y = ln C, = 1, 2,..., T, poom áo náhodná premenná má normálne rozdelenie s rovnakými paramerami µ a σ 2 a aplikáciou Iôvej lemy pre jej diferenciál dosávame a eda dy = 1 ds 1 σ 2 S 2 S 2S 2 d = µd + σdw 1 2 σ2 d, Y = Y + µ + σw 1 2 σ2 ln S = ln S + µ + σw 1 2 σ2, z čoho dosávame riešenie rovnice pre cenu akcie 3.1 v podobe geomerického Wienerovho procesu: S = S exp µ + σw 1 2 σ2. 3.2 Teraz prejdeme k vyvoreniu zaiseného porfólia, koré bude pozosáva z predaja jednej vanilla call opcie a nákupu α akcií poče akcií sa bude priebežne meni. Nech V = V S, je cena kúpnej opcie v závislosi od ceny akcie. Poom hodnou oho zaiseného porfólia HS, v čase môžeme zapísa ako HS, = V + α S. Opä použijeme Iōvu lemu, enoraz pre sochasickú funkciu V S,, čím dosávame jej diferenciál dv = V V ds + S + 1 2 σ2 S 2 2 V d. S 2 Poom difernciál hodnoy porfólia môžeme napísa ako dv + α ds = V 1 2 σ2 S 2 2 V d + α S 2 V ds S [ = V 1 2 σ2 S 2 2 V + α S 2 V ] µs d + α V σs dw, S S
2 3. ÚVOD DO OCEŇOVANIA OPCIÍ a eda zisk Π z oho porfólia v čase je ΠHS, = = + dv + [ V α u ds u u 1 2 σ2 Su 2 2 V + Su 2 α u V σs u dw u. S u α u V ] µs u du S u Vidíme, že náhodnos zisku je spôsobená členom α u V σs u dw u. S u Našou snahou pri vorbe bezrizikového porfólia je, aby eno sochasický člen vypadol a zisk sa ak sal deerminisickým. To sa nám podarí ak v každom čase u < zvolíme poče akcií rovný α u = V S u. Teno zisk by sa mal rovna zisku z držania bezrizikového porfólia bezarbirážny princíp, korého hodnoa H je V + V S u S u a jeho výnos je rovný bezrizikovej úrokovej miere r. Poom zisk z oho porfólia v čase je ΠH S, = r V + V S u du. S u Ked že deerminisické zisky ΠHS, a ΠH S, sa rovnajú, dosávame V u 1 2 σ2 Su 2 2 V S 2 u a eda cena opcie V S, je daná rovnicou = r V + V S u, < u <, S u V + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + rs V S rv =. Poznamenajme, že rovnakú rovnicu by sme dosali aj v prípade vanilla pu opcie. Ak eda označíme cenu vanilla opcie ako V = V S, a pridáme eše predpoklad, že akcia priebežne vypláca dividendu, korej ročná miera je D, poom cena opcie je daná rovnicou V + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 + r DS V S rv =, S >, [, T ]. 3.3 Dosali sme ak Black-Scholesovu parabolickú parciálnu diferenciálnu rovnicu pre cenu vanilla opcie. Pre európske opcie sa k ejo rovnici eše pridáva erminálová
3.2. OCEŇOVANIE POMOCOU MARTINGALOV 21 koncová podmienka, korá hovorí o cene opcie v čase expirácie. Pre vanilla call opciu s realizačnou cenou E je áo podmienka resp. koncová cena zrejme V S T, T = maxs T E, 3.4 a pre vanilla pu opciu V S T, T = maxe S T,. 3.5 Black scholesova rovnica 3.3 má riešenie v vare následujúceho vzorca, zv. Black- Scholesovho vzorca: ln S V S, = S e DT E Φ + r D + 1 2 σ2 T σ 3.6 T ln S Ee rt E Φ + r D 1 2 σ2 T σ. 3.7 T Prechod od Black-Scholesovej parabolickej parciálnej diferenciálnej rovnice k omuo vzorcu spočíva v posupnosi niekol kých ransformácií na základný var parabolickej rovnice a aplikovaní Greenovej funkcie. Komplený posup je možné nájs v učebnici [1]. Nakoniec eše spomenieme nedosaky Black-Scholesovho modela, korými sú predovšekým ieo nereálne predpoklady na finančný rh: i rh bez ransakčných nákladov a daní ii možnos obchodova l ubovol né množsvo cenných papierov iii exisencia konšannej bezrizikovej úrokovej miery iv ceny akcie sa vyvíjajú podl a rovnice 4.2 v podobe geomerického Wienerovho procesu v konšanná volailia akcií. 3.2 Oceňovanie pomocou maringalov V ejo časi odvodíme všeobecnejší vzorec pre cenu opcie, korý narozdiel od Black- Scholesovho vzorca, bude plai aj pre zložiejšie ypy opcií. Ako uvidíme d alej,
22 3. ÚVOD DO OCEŇOVANIA OPCIÍ eno vzorec bude v vare srednej hodnoy z diskonovanej výplay opcie pri určiej bezrizikovej pravdepodobnosnej miere, korá zaručí bezarbirážnu cenu opcie. Ukážeme, že pre určenie bezarbirážnej ceny opcie je nuné aby diskonovaný proces vývoja ceny akcie bol maringalom pri určiej pravdepodobnosnej miere Q. Túo mieru Q, pri korej je daný proces maringalom, budeme nazýva rizikovo neurálna miera. Poznamenajme, že miera Q je odlišná od pôvodnej miery P spojenej s pravdepodobnosným popisom budúceho vývoja ceny akcie, korý je popísaný Brownovým pohybom. Problém ako nájs a zaruči exisenciu rizikovo neurálnej miery Q rieši Girsanovova vea a Radon-Nikodymova derivácia. Týmio sa ale nebudeme zaobera a posúpime d alej k bezarbirážnemu oceneniu opcie pomocou maringalov. Girsanovej vea a exisencia miery Q je popísaná v knihe [7]. Cez samofinancovanú obchodnú sraégiu ukážeme ako exisencia miery Q, pri korej sú diskonované ceny akcií a deriváov maringalmi, zaručuje správnu cenu opcie. Ak označíme cenu peňažného dlhopisu angl. bond ako B = e r, poom diskonovaná cena opcie e r V je vlasne relaívna cena opcie vzhl adom na cenu dlhopisu,.j. e r V = V B. Takéo akívum dlhopis v omo prípade, ku korému sa vz ahujú ceny osaných akív sa nazýva numeraire. Uvažujme model finančného rhu, na korom sa obchoduje s k + 1 cennými papiermi v časovom inervale [, T ]. Náhodný vývoj na rhu budeme modelova pomocou pravdepodobnosného priesoru Ω, F, P s filráciou {F } T, pričom ceny daných cenných papierov S i, i =, 1,..., k sú F -adapované sochasické procesy. Obchodná sraégia bude vekor sochasických procesov x, x 1,..., x k T, kde x i, i =, 1,..., k udáva poče jednoiek i-eho cenného papiera v porfóliu v čase. To znamená, že hodnoa akejo sraégie, alebo porfólia v čase je H = k x i S, i T, i= a zisk z neho je Π = k i= x i uds i u, T.
3.2. OCEŇOVANIE POMOCOU MARTINGALOV 23 Poom samofinancovanos oho porfólia môžeme zapísa ako H = H + Π, T, čo znamená, že do porfólia neprichádzajú a ani z neho neodchádzajú finančné prosriedky, a eda zmena jeho hodnoy je závislá len od zmeny pôvodných cenných papierov. Za numeraire zvolíme peňažný dlhopis B cenného papiera je poom = e r, a eda relaívna cena i-eho S i = S i /B, i = 1, 2,..., k, Ďalej vieme, že exisuje určiá bezriziková pravdepodobnosná miera Q, pri korej sú ieo relaívne ceny cenných papierov Q-maringalmi. To znamená, že aj hodnoa celého diskonovaného porfólia H = H/B je iež Q-maringal. Poznamenajme eše, že samofinancovanos porfólia sa zachová aj pri diskonácii. Pre diskonovanú hodnou porfólia eda plaí H = E Q H T. Teraz ukážeme neexisenciu arbiráže sporom. Predpokladajme preo, že na začiaku máme nulovú hodnoou porfólia H = H = a zároveň vrdíme, že nakonci je H T, čo eda predsavuje arbiráž. Z planosi = H = E Q H T a Qω > poom dosávame, že H T sa musí rovna nule. Ak by plailo H T, pričom pri niekorých realizáciách je HT >, poom E QHT > a ým sa dosávame k sporu. Z oho vyplýva, že H T = a exisencia arbiráže je eda vylúčená. Namieso hodnoy porfólia H eraz môžeme zobra cenu opcie V s koncovou výplaou V T. Poom výplaa V T generovaná samofinancovanou sraégiou je F T - merael ná náhodná premenná. Cena opcie V je poom Q-maringal a pre jej bezarbirážnu cenu dosávame V = B V = B E Q [V T F ] = B E Q [V T /B T F ]. Kedže B = e r, pre všeobecnú cenu opcie deriváu v čase dosávame dôležiý vz ah V = E Q [e rt V T F ] = e rt E Q [V T F ] 3.8
24 3. ÚVOD DO OCEŇOVANIA OPCIÍ Na záver eše poznamenajme, že oceňovanie opcií pomocou maringalov a Black- Scholsovej PDR je konzisenné a áo súvislos sa dá ukáza pomocou Feynman- Kacovej formuly, korá hovorí o vz ahu medzi sochasickými procesmi a PDR. Viac o omo je napísané v knihe [5].
KAPITOLA 4 Exoické opcie V ejo kapiole sa budeme venova oceňovaniu exoických opcií, akými sú napr. ázijské a lookback opcie. Tieo opcie sa nazývajú exoické, kvôli geografickej polohe opčných búrz, na korých sa s nimi začalo obchodova. Exoické opcie, korými sa budeme následne zaobera, zohl adňujú hisorický vývoj podkladového akíva - akcie, kvôli čomu dosali prívlasok dráhovo závislé zv. pah-dependen. Hlavný význam ýcho dráhovo závislých opcií spočíva v om, že umožňujú invesorom zníži riziko spojené s výkyvmi ceny podkladového akíva v blízkosi času expirácie, koré môžu ma aj špekulaívny charaker cenová manipulácia zo srany vypisovael a. 4.1 Ázijské opcie Pri výplae ázijských opcií je zohl adnená akuálna cena akcie a iež jej hisorický vývoj. V omo prípade sa hisorický vývoj ceny akcie zohl adňuje pomocou jeho priemeru počas planosi príslušnej opcie. Teno priemer sa môže ráa viacerými spôsobmi, napr. ako arimeický alebo geomerický priemer, a vo všeobecnosi ho budeme označova ako A pre nejaký čas. Ďalej môžeme priemer počía bud z diskrénych dá, alebo spojio cez inegrál. Vidíme eda, že exisuje viacero ypov ázijských opcií a ich klasifikáciu spravíme na základe ýcho kriérií: 1. základné delenie : a call opcia b pu opcia 25
26 4. EXOTICKÉ OPCIE 2. yp spriemerovania podkladového akíva : arimeický priemer geomerický primer spojiý prípad A = 1 diskrény prípad A n = 1 n n S τ dτ S i i=1 ln A = 1 ln A n = 1 n ln S τ dτ n ln S i, pričom v diskrénom prípade je 1 < 2 <... < n nejaké delenie časového inervalu planosi opcie. 3. pozícia spriemerovnej veličiny vo výplanej funkcii : a v pozícii ceny akíva - zv. average rae call resp. pu opcia,.j. výplaa pre i=1 call opciu: V arc S T, A T, T = maxa T E, pu opciu: V arp S T, A T, T = maxe A T, b v pozícii expiračnej ceny opcie - zv. average srike call resp. pu opcia,.j. výplaa pre call opciu: V asc S T, A T, T = maxs T A T, pu opciu: V asp S T, A T, T = maxa T S T, Vídime, že celkovo ak môžeme dosa rôzne ypy ázijských opcií s relaívne dlhými názvami, napr. ázijská spojie geomericky spriemerovaná average srike call opcia. Na obrázku 4.1 je zobrazený príklad vývoja ceny akcie a príslušného arimeického a geomerického priemera vypočíaného z diskrénych dá. 4.1.1 PDR pre ázijské opcie V ejo časi odvodíme parciálnu diferenciálnu rovnicu pre ázijské opcie, podobne ako sme dosali Black-Scholesovu PDR pre vanilla opcie v predchádzajúcej časi. Avšak hodnoa ázijskej opcie V = V S, A, závisí nielen od ceny akcie S a času [, T ], ale aj od priemernej ceny akcie A. Preo pri výpoče diferenciálu ceny opcie dv budeme porebova pozna diferenciál priemernej ceny akcie da.
4.1. ÁZIJSKÉ OPCIE 27 Obr. 4.1: Vývoj ceny akcie spolu s arimeickým a geomerickým priemerom Pre arimeický priemer dosávame a pre geomerický priemer 1 da A d = d ln A d da d = 1 S 1 2 = 1 ln S 1 2 S τ dτ = S A, ln S τ dτ = ln S ln A. Odial dosávame diferenciál da pre arimeický a geomerický priemer v vare da = S A ln S ln A d a da = A d. To môžeme pre oba prípady zapísa pomocou funkcie fx, ako da = Af S A, d, 4.1 kde fx, = x 1/ pre arimeický priemer a fx, = ln x/ pre geomerický priemer. Podsané je, že v oboch prípadoch je diferenciál priemeru da v prvom ráde aproximácie rádu d. Teraz môžeme prejs k výpoču difernciálu dv S, A,. Použiím Iōvej lemy, vz ahu 4.1 a faku, že da a d sú ronakého rádu, dosávame dv = V S = V S ds + V V ds + A da + + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 V S A f A, d + V + 1 2 σ2 S 2 2 V S 2 d
28 4. EXOTICKÉ OPCIE PDR pre ázijské opcie odvodíme pomocou zaiseného porfólia, podobne ako v predchádzajúcej časi. Pre cenu akcie budeme opä uvažova SDR ds = µ DS d + σs dw, 4.2 kde µ a σ je drif a volailia ceny akcie a D je miera spojie vyplácanej dividendy. Zaisené porfólio vyvoríme predajom jednej ázijskej call opcie a nákupom α akcií, a eda jeho hodnoa HS, v čase je HS, = V + α S. Poom pre diferenciál hodnoy oho porfólia dosávame dv + α ds = V S f, A A [ V S = f, A A + α C S V 1 2 σ2 S 2 2 V V 1 2 σ2 S 2 σs dw, a pre zisk Π z oho porfólia v čase máme ΠHS, = = + dv + [ V f A u Su α u V S u Pri vol be poču akcií α u = V S u 2 V S 2 S 2 + α u ds u, u V A u u 1 2 σ2 Su 2 2 V + Su 2 σs u dw u. d + α V S α V S ds µs ] d α u V ] µs u du S u v každom čase u <, sochasický člen vypadne a zisk sa sane deerminisickým. Z bezarbirážneho princípu vyplýva, že eno zisk by sa mal rovna zisku z bezrizikového porfólia, korého hodnoa H je V + V S u S u a jeho výnos je rovný bezrizikovej úrokovej miere r. Ked že deerminisické zisky ΠHS, a ΠH S, = r V + V S u S u du sa rovnajú, dosávame Su V f, u V A u A u u 1 2 σ2 Su 2 2 V = r V + V S u, < u <, S u S 2 u a eda cena ázijskej opcie V S, A, pre arimeické alebo geomerické spriemerovanie ceny akcie je daná rovnicou S V f A, A + V + 1 2 σ2 S 2 2 V V + r DS rv =. 4.3 S2 S Riešenie ejo rovnice V S, A, je definované na množine S, A,,,, T a s erminálovou podmienkou výplanou funkciou podl a príslušného ypu opcie napr. V S T, A T, T = maxa T S T,.
4.2. LOOKBACK OPCIE 29 Všimnime si, že v rovnici 4.3 vysupuje len prvá parciálna derivácia V podl a premennej A, a eda áo PDR nie je až ak vhodná pri aplikovaní numerickej aproximácie. Teno problém sa však dá vyrieši zavedením ransformácie x = S, x, a V S, A, = AW x,. A Po dosadení ransformovaných premenných do rovnice 4.3 a erminálovej podmienky pre príslušnu opciu, dosávame po krákych úpravách ransformovanú PDR pre W x, fx, W x W + W x + 1 2 σ2 x 2 2 W x 2 + r Dx W x rw =, 4.4 korej riešenie W x, je definované na oblasi x,,, T a erminálová podmienka výplaná funkcia pre napr. average srike pu opciu má var W x, T = max1 x, pre osané ypy ázijských opcií analogicky. 4.2 Lookback opcie Lookback opcie paria iež medzi dráhovo závislé opcie. Pri ýcho deriváoch je hisorický vývoj ceny podkladového akíva zohl adnený pomocou maximálnej M a minimimálnej m ceny oho akíva, nadobudnuej počas živonosi opcie.j. od vypísania opcie do jej expirácie. Na obrázku 4.2 je znázornený príklad vývoja ceny akcie spolu s maximálnou horná a minimálnou dolná nadobudnuou cenou. Lookback opcie môžeme, podobne ako ázijské opcie, rozdeli podl a výplanej funkcie na dva základné ypy: a lookback opcie s pevnou expiračnou cenou E - zv. exreme rae call resp. pu opcia, kde v pozícii akíva je bud maximum M = M T T = maxs, [T, T ]., alebo ako minimum m = m T T = mins, [T, T ] ceny akíva v časovom inervale [T, T ]. To znamená, že výplaná funkcia je v prvom prípade pre maximum a pre call opciu: V erc M = maxm E,
3 4. EXOTICKÉ OPCIE pu opciu: V erp M a vdruhom prípade je pre minimum a pre = maxe M, call opciu: V erc m = maxm E, pu opciu: V erp m = maxe m, b lookback opcie s pohyblivou expiračnou cenou - zv. exreme srike call resp. pu opcia, kde maximum M alebo minimum m ceny akíva je v pozícii expriačnej ceny srike, eda výplaná funkcia je pre call opciu: V esc m = maxs m, pu opciu: V esp M = maxm S, Poznamenajme, že pre exreme srike opciu máme len dva uvedené ypy, preože nemá zmysel ma exreme srike pu opciu pre minimálnu cenu a call opciu pre maximálnu cenu, ked že ich výplané funkcie V esp m maxs M, sú vždy nulové. = maxm S, a V esc m = 4.2.1 PDR pre lookback opcie V ejo časi odvodíme parciálnu diferenciálnu rovnicu pre look back, podobným spôsobom ako sme dosali PDR pre ázijské opcie. Odvodenie spravíme pre exreme srike lookback pu opciu, korej cena V S, M, je závislá okrem ceny akcie S a Obr. 4.2: Vývoj ceny akcie spolu s priebežným maximom a minimom
4.2. LOOKBACK OPCIE 31 času [T, T ] aj od maximálnej nadobudnuej ceny akcie M. Teda v omo prípade budeme pri výpoče diferenciálu ceny opcie dv porebova pozna diferenciál maximálnej ceny akcie dm. Najprv zavedieme novú premennú [ ] 1/n M n = S τ n dτ, > T, T korá bude aproximova maximálnu cenu akcie M. Plaí oiž, že lim M n = max S τ = M. n T τ Derivovaním premennej M n dosávame dm n = 1 [ ] 1 S τ n n 1 dτ S n = 1 [ S τ n dτ d n T n T a eda pre diferenciál ejo premennej máme S n ] 1 n n S n S n = 1 n M n, n 1 dm n = 1 d. 4.5 n M n n 1 Difernciál dv S, M, poom dosaneme použiím Iōvej lemy a pomocou vz ahu 4.5 a faku, že dm n a d sú ronakého rádu, následovne: dv = V V V ds + dm n + S M n + 1 2 σ2 S 2 2 V d S 2 = V 1 S ds + S n V + V n M n n 1 M n + 1 2 σ2 S 2 2 V d S 2 Ďalšie kroky pri odvádzaní PDR pre lookback opcie sú akmer rovnaké ako pre ázijské opcie, a eda niekoré z nich preskočíme. Pomocou bezarbirážneho princípu a konšrukcie zaiseného porfólia, koré bude pozosáva z kúpy jednej exreme srike lookback pu opcie a predaja α akcií, sa dosaneme, rovnakým posupom ako pri ázijských opciách, k rovnici: 1 S n V + V n M n n 1 M n + 1 2 σ2 S 2 2 V V + r DS rv = 4.6 S2 S Teraz prejdeme k limie pre n, pričom vieme že S M. V prípade S < M dosávame 1 S n lim n n M n = n 1
32 4. EXOTICKÉ OPCIE a pre S = M plaí, že cena ejo lookback pu opcie je nezávislá od akuálne realizovanej maximálnej ceny, a eda V M = bližšie vysvelenie v knihe [5], sr. 26. Z oho vyplýva, že prvý člen v rovnici 4.7 vypadne, čím sa dosávame k rovnici V + 1 2 σ2 S 2 2 V V + r DS S2 S rv =, < S < M, T <, 4.7 čo je vlasne klasická Black-Scholesova PDR pre vanilla opcie, až nao, že áo obsahuje horné ohraničenie M na cenu akcie S. Príslušná erminálová podmienka má var V S, M, T = M S.
KAPITOLA 5 Hedging Pojem hedging, eda zais ovanie je vo finančnícve zaužívaný ako vyváranie invesičnej pozície, korá vyrovnáva kompenzuje poenciálne sray alebo zisky spojené s invesovaním. Hlavnou úlohou oho zaisenia, koré môžeme nazva aj menežmen rizika, je eda eliminácia rizika sray, korému sú vysavený účasníci finančného rhu. Ako príklad uvažujme finančnú inšiúciu, korá vypíše predá vanilla call opciu na 1 akcií bez dividend za 25 EUR. Táo opcia má expiračnú cenu 9 EUR a mauriu o 3 mesiace, pričom súčasná hodnoa jednej akcie je 86 EUR. Očakávaný výnos akcie je 1%, jej volailia je 2% a bezriziková úroková miera je 2% per annum. Poom cena opcie na jednu akciu vypočíaná pomocou Black- Scholesovho vzorca je 2 EUR, a eda eoreická Black-Scholesova cena opcie, korú vypísala inšiúcia je 2 EUR. Inšiúcia eda predala úo opciu za cenu o 5 EUR vyššiu ako je jej eoreická, avšak vysavila sa riziku sray, koré chce eliminova. Jednou z možnosí pre inšiúciu je nerobi nič, eda zauja zv. naked posiion. Táo pozícia je výhodná, ak cena akcie v dobe expirácie neprekročí 9 EUR, preože v omo prípade call opcia nebude uplanená a eda inšiúcia bude ma zisk z predaja ejo opcie 25 EUR. V druhom prípade, ak cena akcie prekročí 9 EUR sa ale áo pozícia sáva nevýhodnou. Ak by bola cena akcie v dobe expirácie napr. 1 EUR, poom call opcia bude uplanená a inšiúcia sraí rozdiel medzi 33
34 5. HEDGING ouo cenou a expiračnou cenou, vynásobený počom akcií, čo je 1 EUR. Táo pozícia eda neposkyuje spol ahlivé zaisenie. Druhou možnos ou je zauja zv. covered posiion,eda pokryú pozíciu, korá pozosáva z nákupu 1 akcií pri predaji opcie. Táo pozícia je naopak výhodná ak cena akcie v dobe expirácie bude vyššia ako expiračná cena 9 EUR, preože opcia bude v om prípade uplanená a inšiúcia predá 1 akcií držiel ovi opcie, koré si na začiaku kúpila a dosiahne ak zisk z predaja opcie 25 EUR. Ak by však cena akcie klesla o 8 na 78 EUR, poom opcia nebude uplanená, ale inšiúcia sraí na poklese ceny akcie 8 EUR, čo je ovel a viac ako 25 EUR, koré získa za predaj opcie. To znamená, že ani áo alernaívna pozícia neposkyuje uspokojivé zaisenie. Dômyselnejšou pozíciou by mohlo by skombinovanie predošlých dvoch. Takáo pozícia, alebo sraégia, zv. sop-loss sraegy je založená na om, že akonáhle súpne cena akcie nad expiračnú cenu, ak vypisovael call opcie si kúpi príslušnú akciu, resp. množsvo akcií na koré je vypísaná opcia. Naopak pri poklese ceny akcie pod expiračnú cenu vypisovael call opcie predá príslušné množsvo akcií. Ide eda o sriedanie naked a covered pozície, v závislosi od ceny akcie a expiračnej ceny. Táo sraégia má ale iež viacero neýhod podrobnejšie v knihe [3] ako napr. rozdiel medzi cenou za korú sa kupuje a predáva. Čím viac krá by cena akcie pre ala expiračnú cenu, ým vyššie by boli ransakčné náklady. To znamená, že náklady na akéo zaisenie sú závislé od priebehu ceny akcie. Vidíme, že pri zais ovaní pomocou uvedených pozícií sú náklady na oo zaisenie závislé od konkréneho vývoja ceny akcie a eda nepredvídael né. V uvedenom príklade s call opciou majú náklady na zaisenie vysokú volailiu, môže o by alebo aj 1 EUR a viac. V ideálnom prípade by mala by volailia nákladov nulová, eda náklady by boli deerminisické a výška ýcho nákladov pre zv. perfekné zaisenie by mala by rovná Black-Scholesovej cene opcie. Vyplýva o z odvodenia Black-Scholesovho vzorca, kde sme použili bezarbirážny princíp, korý zaručuje "férovú" cenu opcie,.j. ani jedna zo srán by nemala by zvýhodnená. V našom príklade by o znamenalo, že náklady na zaisenie opcie by boli vždy 2 EUR. Avšak akéo perfekné zaisenie na reálnom finančnom rhu neexisuje.
5.1. DELTA HEDGING 35 Exisujú ale rôzne pokročilé meódy, koré môžeme v zásade rozdeli na dve skupiny: zv. preference-free meódy, koré nezávisia od subjekívnych očakávaní a preferencií. Tieo meódy, alebo sráegie sú časovo lokálne v om zmysle, že závisia len na zložení zais ovacieho porfólia a na podkladovom akíve v danom čase, bez ohl adu na minulý a budúci vývoj. meódy opimalizujúce nejakú veličinu, napr. maximalizácia očakávaného úžiku alebo minimalizovanie rizika. Tieo meódy naopak závisia na subjekívnom pohl ade účasníka finančného rhu na budúci vývoj akíva. Vyvsáva prirodzená oázka, že korá zais ovacia meóda je najlepšia. Samozrejme jednoduchá odpoved na úu oázku neexisuje, ked že rôzny l udia majú rôzne názory na o čo znamená "najlepšia". Základnou myšlienkou je však o, že invesor vie, že zais ovanie je nákladné a musí si ex-ane zvoli svoju úžikovú funkciu, korá čo najlepšie charakerizuje jeho preferencie. 5.1 Dela hedging V ejo časi sa budeme bližšie zaobera zv. dela hedgingom, eda dela zais ovaním. S ýmo zais ovaním sme sa už sreli v predchádzajúcej kapiole pri odvádzaní Black-Scholesovej parabolickej PDR pre cenu vanilla opcie, kde množsvo akcií v zaisenom porfóliu bolo rovné derivácii ceny opcie podl a ceny akcie. Písmeno parí do skupiny zv. "greeks", čo sú grécke písmená zaužívané pre meranie cilivosi ceny opcie na rôzne paramere. Každé z ýcho písmen meria odlišnú čas rizika v opčnej pozícii a úlohou invesora je ich menežmen ak aby boli všeky riziká preňho prija el né. Medzi greeks parí: - Dela,.j. závislos zmeny ceny opcie na zmene ceny akcie: = V S
36 5. HEDGING Γ - Gama,.j. závislos zmeny fakora na zmene ceny akcie: Γ = S = 2 V S 2 Θ - Théa,.j. závislos zmeny ceny opcie na zmene expiračnej doby T, resp. času do expirácie T-: Θ = V T = V - Vega,.j. závislos zmeny ceny opcie na zmene volailiy ceny akcie: = V σ ρ - Ró,.j. závislos zmeny ceny opcie na zmene bezrizikovej úrokovej miery: 5.1.1 Dela opcie = V r Tu sa budeme bližšie zaobera paramerom, korý je azda najdôležiejším z pomedzi spomenuých paramerov pri analýze rhových dá. Ako už bolo spomenué, opcie meria cilivos ceny opcie na zmenu ceny akcie. Pre názornos, ak by call opcie na akciu bolo.8, poom zmena ceny akcie o malú hodnou x bude ma za následok zmenu ceny opcie o približne 8% ejo hodnoy x. V následujúcom odvodíme expliciný vzorec pre vanilla opcie a pre vybraných exoických opcií. Posup je jednoduchý a spočíva v derivovaní expliciného vzorca pre cenu daných opcií podl a ceny akcie. Pre odvodenie pre vanilla call a pu opciu sačí ak zderivujeme Black-Scholesov vzorec pre ceny ýcho opcií podl a ceny akcie. Pre úspornos zápisov napíšeme Black-Scholesov vzorec pre call opciu v vare a pre pu opciu v vare V call S, = Se DT Φd 1 Ee rt Φd 2 V pu S, = Ee rt Φ d 2 Se DT Φ d 1,
5.1. DELTA HEDGING 37 kde d 1 = d 2 = S ln + r D + 1 E 2 σ2 T σ T S ln + r D 1 E 2 σ2 T σ T = d 1 σ T. V d alšom budeme porebova deriváciu kumulaívnej disribučnej funkcie normalizovaného normálneho rozdelenia Φx, čo vieme že je husoa oho rozdelenia a budeme ju označova φx = 1 2Π e x2 /2 Následujúca lema hovorí o rovnosiach, koré plaia pre veličiny v Black-Scholesovom vzorci. Lema 5.1. Plaí: d 1 S = d 2 S = 1 Sσ T 5.1 Se DT φd 1 Ee rt φd 2 = 5.2 Dôkaz: Rovnos 5.1 sa dá l ahko nahliadnu, a preo prejdeme k druhej rovnosi. 5.2 plaí práve vedy ked : Se DT φd 1 = Ee rt φd 2 S E et r D = φd 2 φd 1 ln S E + T r D = d2 1 d 2 2, 2 pričom pravá srana poslednej rovnice je: d 2 1 d 2 2 2 = 1 2 d 1 + d 2 d 1 d 2 = 1 2 2d 1 σ T σ T = ln S E + r D + 1 2 σ2 T 1 2 σ2 T = ln S E + T r D Pre delu call opcie poom dosávame call = V call S = Se DT φd 1 d 1 S + e DT Φd 1 Ee rt φd 2 d 2 S = e DT Φd 1 + d 1 S [Se DT φd 1 Ee rt φd 2 ] = e DT Φd 1,